Anneau et corps finis

moduloP
moduloP
dans Algèbre
Bonjour

Soit $A$ un anneau (commutatif, unitaire). Je cherche une condition suffisante (assez générale) pour que : pour tout corps finis $GF(q)$ avec $q=p^r$ l'ensemble des morphismes d'anneau de $A$ dans $GF(q)$ soit un ensemble fini.

Est-ce que vous avez une condition ?

Lorsque $A$ est de la forme $\Z[X_1,\dots,X_n] / I$ avec $I$ un idéal de $\Z[X_1,\dots,X_n]$ je pense que c'est bon. Mais y a-t-il plus général ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    J'ai bien une condition mais elle risque de te décevoir : $A$ fini. ;-)
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    La condition suffisante donnée par Poirot est bien sûr moins générale que celle déjà donnée par moduloP.
    Une condition suffisante qui n'est pas moins générale : $A$ n'importe quelle $\Q$-algèbre.
  • moduloP
    moduloP
    Oui, effectivement déception :)

    Je ne connais pas très bien les algèbres mais j'ai l'impression que dans le cas de GabuZoMeu il n'y a pas de morphisme d'anneau.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    L'ensemble vide n'est-il pas fini ?
  • moduloP
    moduloP
    Si bien sûr. Je ne dis pas le contraire.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Si $A$ a un nombre fini d'idéaux maximaux, cela marche aussi. Mieux : un nombre fini d'idéaux maximaux d'indice fini.
  • moduloP
    moduloP
    Merci Maxtimax, je viens de comprendre !

    à un morphisme tu lui associe son noyau qui est maximal (car la structure de corps).

    Si je comprends on peut aussi dire : pour tout premier $p$, il existe un nombre fini d'idéaux maximaux de l'anneau $A$ dont "l'intersection" avec $\Z$ est l'idéal $(p)$.
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