Polynômes de K[X]
Bonjour,
J'ai quelques questions à vous poser à propos des polynômes de $\mathbb{K} [X]$.
En cours, on a fait un exercice sauf que j'ai un petit soucis au niveau de la correction. Voici l'énoncé :
Soient $A$ et $B$ deux polynômes unitaires de de $\mathbb{K} [X]$. Soit $P$ un polynôme, on note $\mathcal{I}_p$ l'idéal des polynômes de $\mathbb{K} [X]$ divisibles par $P$.
La première question nous demande de montrer que $\mathcal{I}_A \cap \mathcal{I}_B$ est un idéal. Ça j'ai compris.
Ensuite, on note $A \vee B$ le polynôme unitaire tel que $\mathcal{I}_A \cap \mathcal{I}_B = (A \vee \mathbb{K} [X]$.
Montrer que $(A \wedge (A \vee =AB$
Dans la correction, on pose :
$A(X)=C_{1} (X- \alpha_1)(X- \alpha_2)...(X- \alpha_n)$
$B(X)=C_{2} (X- \beta_1)(X- \beta_2)...(X- \beta_m)$
Or, en posant cela, on part du principe que $A$ et $B$ sont scindés. Mais comment le sait-on ?
Autre question, voici l'énoncé :
Soient $P$ et $Q$ deux polynômes de $\mathbb{K} [X]$. Soit $\alpha \in \mathbb{K}$.
En premier lieu, on a montré que si $\alpha$ est racine de $P \wedge Q$ alors $\alpha$ est racine de $P$.
Ensuite, on prend $Q=P'$ et on pose $ R = \frac{P}{P \wedge Q}$. Soit $k \in \mathbb{N}$.
Il faut montrer que "$(X - \alpha)^k$ divise $P$" est équivalent à "$(X - \alpha)^{k-1}$ divise $P'$".
Dans la correction, on part de $P(X)=C (X- \alpha)^k (X- \alpha_1)^{k_1} (X- \alpha_2)^{k_2}...(X- \alpha_n)^{k_n}$ où
$C (X- \alpha)^k = u $
$ (X- \alpha_1)^{k_1} (X- \alpha_2)^{k_2}...(X- \alpha_n)^{k_n} = v$
Or, je ne comprends pas d'où viennent les puissances successives, ainsi que le $u$ et le $v$..
Merci d'avance pour votre aide.
J'ai quelques questions à vous poser à propos des polynômes de $\mathbb{K} [X]$.
En cours, on a fait un exercice sauf que j'ai un petit soucis au niveau de la correction. Voici l'énoncé :
Soient $A$ et $B$ deux polynômes unitaires de de $\mathbb{K} [X]$. Soit $P$ un polynôme, on note $\mathcal{I}_p$ l'idéal des polynômes de $\mathbb{K} [X]$ divisibles par $P$.
La première question nous demande de montrer que $\mathcal{I}_A \cap \mathcal{I}_B$ est un idéal. Ça j'ai compris.
Ensuite, on note $A \vee B$ le polynôme unitaire tel que $\mathcal{I}_A \cap \mathcal{I}_B = (A \vee \mathbb{K} [X]$.
Montrer que $(A \wedge (A \vee =AB$
Dans la correction, on pose :
$A(X)=C_{1} (X- \alpha_1)(X- \alpha_2)...(X- \alpha_n)$
$B(X)=C_{2} (X- \beta_1)(X- \beta_2)...(X- \beta_m)$
Or, en posant cela, on part du principe que $A$ et $B$ sont scindés. Mais comment le sait-on ?
Autre question, voici l'énoncé :
Soient $P$ et $Q$ deux polynômes de $\mathbb{K} [X]$. Soit $\alpha \in \mathbb{K}$.
En premier lieu, on a montré que si $\alpha$ est racine de $P \wedge Q$ alors $\alpha$ est racine de $P$.
Ensuite, on prend $Q=P'$ et on pose $ R = \frac{P}{P \wedge Q}$. Soit $k \in \mathbb{N}$.
Il faut montrer que "$(X - \alpha)^k$ divise $P$" est équivalent à "$(X - \alpha)^{k-1}$ divise $P'$".
Dans la correction, on part de $P(X)=C (X- \alpha)^k (X- \alpha_1)^{k_1} (X- \alpha_2)^{k_2}...(X- \alpha_n)^{k_n}$ où
$C (X- \alpha)^k = u $
$ (X- \alpha_1)^{k_1} (X- \alpha_2)^{k_2}...(X- \alpha_n)^{k_n} = v$
Or, je ne comprends pas d'où viennent les puissances successives, ainsi que le $u$ et le $v$..
Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
Montrer que $AB=(A\vee (A\wedge $ peut bien sûr se faire sans supposer les polynômes $A$ et $B$ scindés. Ça se fait exactement comme pour les entiers, une fois qu'on a établi la base de l'arithmétique des polynômes.
As-tu vu ça (division euclidienne, pgcd, polynômes premiers entre eux ...) ?
PS. Cette discussion a sa place dans la rubrique "Algèbre" et pas dans la rubrique "Analyse".
Désolé pour l'erreur de rubrique.
Soit $D=A\wedge B$. Alors $A=DA_1$ et $B=DB_1$, avec $A_1$ et $B_1$ premiers entre eux. Le polynôme $M=A_1B_1D$ est un multiple commun (unitaire) de $A$ et $B$. Si $C$ est un multiple commun de $A$ et $B$, alors $C=AE=BF$, d'où $A_1E=B_1F$ et donc $A_1$ divise $F$ puisqu'il est premier avec $B_1$. Ceci montre que $M$ divise $C$. On conclut que $M=A\vee B$ et donc $AB=(A\wedge (A\vee $.