Polynômes de K[X]

Bonjour,

J'ai quelques questions à vous poser à propos des polynômes de $\mathbb{K} [X]$.
En cours, on a fait un exercice sauf que j'ai un petit soucis au niveau de la correction. Voici l'énoncé :
Soient $A$ et $B$ deux polynômes unitaires de de $\mathbb{K} [X]$. Soit $P$ un polynôme, on note $\mathcal{I}_p$ l'idéal des polynômes de $\mathbb{K} [X]$ divisibles par $P$.

La première question nous demande de montrer que $\mathcal{I}_A \cap \mathcal{I}_B$ est un idéal. Ça j'ai compris.
Ensuite, on note $A \vee B$ le polynôme unitaire tel que $\mathcal{I}_A \cap \mathcal{I}_B = (A \vee \mathbb{K} [X]$.

Montrer que $(A \wedge (A \vee =AB$

Dans la correction, on pose :
$A(X)=C_{1} (X- \alpha_1)(X- \alpha_2)...(X- \alpha_n)$
$B(X)=C_{2} (X- \beta_1)(X- \beta_2)...(X- \beta_m)$

Or, en posant cela, on part du principe que $A$ et $B$ sont scindés. Mais comment le sait-on ?

Autre question, voici l'énoncé :

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes de $\mathbb{K} [X]$. Soit $\alpha \in \mathbb{K}$.

En premier lieu, on a montré que si $\alpha$ est racine de $P \wedge Q$ alors $\alpha$ est racine de $P$.

Ensuite, on prend $Q=P'$ et on pose $ R = \frac{P}{P \wedge Q}$. Soit $k \in \mathbb{N}$.
Il faut montrer que "$(X - \alpha)^k$ divise $P$" est équivalent à "$(X - \alpha)^{k-1}$ divise $P'$".

Dans la correction, on part de $P(X)=C (X- \alpha)^k (X- \alpha_1)^{k_1} (X- \alpha_2)^{k_2}...(X- \alpha_n)^{k_n}$ où

$C (X- \alpha)^k = u $
$ (X- \alpha_1)^{k_1} (X- \alpha_2)^{k_2}...(X- \alpha_n)^{k_n} = v$

Or, je ne comprends pas d'où viennent les puissances successives, ainsi que le $u$ et le $v$..

Merci d'avance pour votre aide.