Produit semi-direct de groupes

flar-tsi
flar-tsi
dans Algèbre
Bonjour,

J'essaie de comprendre ce que sont les produits semi-directs de groupes grâce au cours d'algèbre de Monsieur Patrice Tauvel. Cependant, il y a un point flou pour moi. Voici la proposition sur laquelle j'ai besoin de précision :

Soient $H$ ,$K$ des groupes et $\sigma:K \mapsto Aut(H)$ ,$k \mapsto \sigma_{k}$ un morphiqme de groupes. On définit une loi interne sur $H \times K$ en posant : $(h,k)(h',k') = (h \sigma_{k}(h'), kk')$

Ce qui est flou pour moi c'est la notation $\sigma_{k}$. Définit-on par là l'automorphisme intérieur à $H$ du type $khk^{-1}$ ou un tout autre automorphisme ?

Merci de votre aide

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    $\mathrm{Aut}(H)$ est le groupe de tous les automorphismes de $H$ (pas seulement les automorphismes intérieurs). La notation $\sigma_k$ désigne l'image de l'élément $k$ de $K$ par le morphisme $\sigma$, qu'il vaudrait peut-être mieux noter $\sigma(k)$. En tout cas, c'est un élément de $\mathrm{Aut}(H)$, c.-à-d. un automorphisme de $H$, qui peut être intérieur ou ne pas être intérieur.
    Par exemple $\Z/5\Z \rtimes_{\sigma} \Z/2\Z$ avec $\sigma : \Z/2\Z \to \mathrm{Aut}(\Z/5\Z)$ qui envoie l'élément non nul de $\Z/2\Z$ sur l'automorphisme d'ordre deux de $\Z/5\Z$ défini par $x\mapsto -x$. Cet automorphisme n'est forcément pas intérieur, puisqu'un groupe commutatif comme $\Z/5\Z$ a pour seul automorphisme intérieur l'identité.

    Edit : oubli du $\mathrm{Aut}$ corrigé.
  • flar-tsi
    flar-tsi
    Très bien c'est plus clair pour moi ainsi.

    Merci pour votre aide GaBuZoMeu :) .
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bon, maintenant je vais t'embrouiller.
    Identifions $H$ et $K$ respectivement aux sous-groupes $\{(h,1)\mid h\in H\}$ et $\{ (1,k)\mid k\in K \}$ du produit semi-direct $H\rtimes_{\sigma} K$. Alors $\sigma_k$ est la restriction à $H$ de l'automorphisme intérieur de $H\rtimes_{\sigma} K$ qui consiste à conjuguer par $k$. En effet, dans le produit semi-direct :
    $$(1,k)(h,1)(1,k)^{-1} = (\sigma_k(h),k)(1,k^{-1})=(\sigma_k(h),1)\;.$$
    On pourrait presque dire que le produit semi-direct est une machine à rendre intérieurs des automorphismes qui ne le sont pas forcément.
  • Poirot
    Poirot
    Les américains ont un jeu de notation sympathique à propos de ça. Ils notent $x^g$ le conjugué de $x$ par $g$, et $K$ agit par automorphismes sur $H$, ils notent $x^g$ pour $g(x)$, avec $x \in H$ et $g \in K$. Les deux notations se rejoignent alors dans le produit semi-direct comme l'a expliqué GBZM.
  • flar-tsi
    flar-tsi
    Bonjour,

    Si j'applique ce que tu me dis GaBuZoMeu à $\Z/2\Z \times \Z/5\Z$ on obtient ceci :

    On assimile $\Z/2\Z$ à $\left\{ (\bar 0, \bar 0) , (\bar 1, \bar 0) \right\}$

    On pose $\delta : \Z/2\Z \rightarrow \Z/5\Z$ , $ (\bar h , \bar k ) \mapsto (\bar 0, \bar k)(\bar h, \bar 0)(\bar 0, \bar k )^{-1}$

    Où $ (\bar 0, \bar k)(\bar h, \bar 0)(\bar 0, \bar k )^{-1} = (\sigma(\bar h) , \bar 0 )$

    Alors $\sigma = \delta \mid_{\Z/2\Z}$
    Ai-je juste ?

    @Poirot : Cette notation me semble un peu périlleuse. Elle peut porter à confusion je pense. Merci de la précision cependant, me voila prévenu.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    flar-tsi écrivait:

    > On pose $\delta : \Z/2\Z \rightarrow \Z/5\Z$ , $(\bar h , \bar k ) \mapsto (\bar 0, \bar k)(\bar h, \bar 0)(\bar 0, \bar k )^{-1}$
    > Où $ (\bar 0, \bar k)(\bar h, \bar 0)(\bar 0, \bar k )^{-1} = (\sigma(\bar h) , \bar 0 )$

    Cette définition est complètement incohérente.
    Laissons tomber les barres qui ne font qu'obscurcir les choses ($k$ est un élément de $\Z/5\Z$ et $h$ un élément de $ \Z/2\Z$, point barre ;-)).
    Tu dis que $\delta$ va de $\Z/2\Z$ dans $\Z/5\Z$, et tu décris l'image par $\delta$ de $(h,k)$ qui n'est pas un élément de $\Z/2\Z$, même si on identifie $\Z/2\Z$ à un sous-groupe du produit semi-direct.

    Non, tu n'as pas juste, et j'ai réussi dans ma tentative de complètement t'embrouiller.
  • flar-tsi
    flar-tsi
    flar-tsi écrivait:
    > On pose $\delta : \Z/2\Z \times \Z/5\Z \rightarrow \Z/2\Z \times \Z/5\Z$ , $
    > (\bar h , \bar k ) \mapsto (\bar 0, \bar k)(\bar
    > h, \bar 0)(\bar 0, \bar k )^{-1}$
    >
    > Où $ (\bar 0, \bar k)(\bar h, \bar 0)(\bar 0,
    > \bar k )^{-1} = (\sigma(\bar h) , \bar 0 )$

    En rectifiant ainsi cela semble déjà plus cohérent ( d'autant plus que c'est ce que j'ai écris sur ma feuille :-S )
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Non, ça n'est pas beaucoup plus cohérent (pas seulement à cause des $>$ intempestifs). D'abord, tu écris $\sigma(h)$, kesako ? $\sigma$ serait défini sur $H$ ? À valeurs dans quoi ? Ensuite ton $\sigma = \delta \mid_{\Z/2\Z}$ ne fait aucun sens !
  • flar-tsi
    flar-tsi
    Je récapitule :
    One pose $H=\Z/2\Z$ et $K=\Z/5\Z$

    On définit ensuite $\sigma : K=\Z/5\Z \rightarrow Aut(H=\Z/2\Z)$ , $k \mapsto \sigma_{k}$

    On identifie $\Z/2\Z$ à $\left\{ (0,0) , (1,0) \right\}$ et $\Z/5\Z$ à $\left\{(0,k), k \in \Z/5\Z \right\}$

    On pose $\delta : \Z/2\Z \times_{\sigma} \Z/5\Z \rightarrow \Z/2\Z \times_{\sigma} \Z/5\Z$ , $(h,k) \mapsto (0,k)(h,0)(0,k)^{-1}$

    Or, puisque l'on est dans $\Z/2\Z \times_{\sigma} \Z/5\Z$ alors $(0,k)(h,0)(0,k)^{-1} = (\sigma_{k}(h),0)$

    On définit l'application suivante : $\pi : \Z/2\Z \times_{\sigma} \Z/5\Z \rightarrow \Z/2\Z$ , $(h,k) \mapsto h$

    Alors, $\forall k \in \Z/5\Z, \forall h \in \Z/2\Z, \sigma_{k}(h) = \pi(\delta(h,k))$

    Est-ce mieux ? ::o
  • Poirot
    Poirot
    C'est quoi $\delta$ ? Et sais-tu donner une description du groupe $Aut(\mathbb Z/2 \mathbb Z)$ ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Non, ça commence très mal. Si tu essaies de reprendre l'exemple que j'ai donné (le groupe diédral $D_5$ comme produit semi-direct), tu te mélanges les pinceaux entre le $H$ et le $K$.
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