Distance d'un point à un hyperplan

student2
student2
dans Géométrie
Bonjour,

En souhaitant résoudre ce problème tout simple;
https://snag.gy/GlF4XS.jpg
je me suis aperçu que je ne savais plus vraiment d'où venait ma formule apprise au lycée... J'espère que vous pourrez m'aider à formaliser tout ça.

Je cherche le point qui réalise $d(B,(d))$ (par définition il s'agit,s'il existe, de $Argmin_{A\in (d)}d(B,A)$) . Ici on se trouve dans $R^2$ donc un espace affine euclidien. Un théorème nous dit qu'il existe bien un unique point $H$ qui réalise cette distance; il s'agit du projeté orthogonal de $B$ sur $(d)$. Ce projeté orthogonal est caractérisé par $HB \in (d)^{\perp}$. Est ce juste ? J'ai appliqué mon cours sur les espace vectoriel euclidiens, or je suis dans un espace affine donc je ne sais pas si j'ai dit des bêtises...

Vu que je ne connais pas grand chose en géométrie affine j'aimerai me replacer dans le cadre des espace vectoriel; je considère donc le point $A$ comme l'origine de $R^2$ (et donc l'origine de $(d)$.

Réponses

  • Crapul
    Crapul
    Une droite n'a pas d'origine, ça n'a pas de sens.
    J'imagine que w est un vecteur orthogonal à (d) ? dans ce cas tu cherches H sur (d) tel que BH et w sont colinéaires.
  • student2
    student2
    Une droite a ue origine dans un espace vectoriel non ? Donc il suffit de vectorialisé (grâce à l'opérateur de translation) non ?
  • Crapul
    Crapul
    Quelle serait ta définition de l'origine d'une droite ?
  • student2
    student2
    Quel est la définition de l'origine d'un espace vectoriel ?
    En l'occurence j'ai fait exprés de prendre l'origine de ^2 sur la droite $d$...

    Bon de toute manière je ne sais pas si ça a une importance pour la suite revenons au problème.
    Erreur d'énoncé: je cherche la distance de $B$ à $(d)$ (et non le projeté H)
  • student2
    student2
    Oui $w$ est un vecteur fixé appartenant au supplémentaire orthogonal de $(d)$
    $d(B,H):=\sqrt{<BH,BH>}=\|BH\|$
    En posant $BH= \lambda w$ on trouve $d(B,H)=\lambda \|w\|$. (c'est drôlement plus complexe que ce que j'imaginais^^)

    Il nous faut donc trouver ce $\lambda$
  • Crapul
    Crapul
    Tu parles d'une formule du lycée, rappelle-la et on pourra essayer de la démontrer.
  • student2
    student2
    La formule que j'ai est $d(B,d)=<AB,w/\|w\|>$ (je crois que sans le point auxiliaire $A$ je ne suis pas en mesure de calculer cette distance).

    Mais j'aimerai surtout que quelqu'un connaissant bien les espaces affines me montre les étapes pour trouver $d(B,(H))$ avec $B$ un point de l'espace euclidien $E$ et $H$ un hyperplan de $E$.



    Rmq: je continue en parallèle sur ma lancée; On peut exprimer $B$ d'une unique manière en le décomposant sur $d$ et son orthogonal: $B=P_d(B)+(B-P_d(B))=P_d(B)+\lambda w$ Comme $w$ est orthogonal à $P_d(B)-A$ je trouve ...
  • student2
    student2
    Mon problème est que je n'ai jamais travaillé en affine mais toujours en vectoriel et là je suis bien emm...

    Je considère ici des projecteur affine, distance dans un espace affine...
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Si l'hyperplan est donné par un point $A$ et un vecteur $w$ normal à l'hyperplan, cette formule est pertinente.
    Si l'hyperplan est donné par une équation dans un repère orthonormé, équation que l'on peut écrire sous la forme $\langle w,x\rangle +c=0$, alors la distance du point $B$ de vecteur de coordonnées $b$ à l'hyperplan est $\dfrac1{\Vert w\Vert}\vert\langle w,b\rangle +c\vert$. On retrouve la formule que tu as écrite en sachant qu'une équation de l'hyperplan passant par $A$ de vecteurs de coordonnées $a$ et de vecteur normal $w$ est $\langle w,x\rangle-\langle w,a\rangle=0$.

    Edit : mise en valeur absolue.
  • student2
    student2
    Bon je crois que j'ai la solution ici: https://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/ge/node10.html pour relier ce que je connais en vectoriel au cadre des espaces affines.

    @Gabuzomeu: ah!!! Effectivement tu as vu juste; c'est en fait la sconde formulation par une équation d'hyperplan qui m'est donnée...

    Voici la preuve:
    https://snag.gy/m1IGtu.jpg

    Si l'on se donne un hyperplan H et A un point de l'hyperplan et w un vecteur normal à cet hyperplan: on utilise donc 1) la relation de Chasles en introduisant le projeté orthogonal affine de B sur H ; 2) On utilise le fait que w est orthogonal à BP(B). Bien sûr Il fallait également prouver que BP(B) réalise la distance de B à H


    Et voici la suite de la preuve de l'énoncé de GBZ
    https://snag.gy/xI1fMD.jpg
  • student2
    student2
    Comment prouver que $BP(B)$ où $P(B)$ désigne le projeté affine orthogonal de $B$; réalise la distance de $B$ à $H$ ? (on peut utiliser les résultat des espaces eucliens vectoriels)
  • moduloP
    moduloP
    Bonjour,

    Pythagore, peut être
  • student2
    student2
    En tout cas l'application de la formule me donne quelque chose d'incohérent. Je veux connaitre la distance du point $D (2,2)$ à la droite rouge $d:x=1.5$. En faisant le calcul avec $w=(1,0)$ j'obtiens $\dfrac1{\Vert w\Vert}\vert\langle w,d\rangle +b\vert=1/1<(1,0),(2,2)>+(-1.5)=-0.5$ alors que sur le dessin c'est évidèmment $1$
    https://snag.gy/8aq5AP.jpg

    Tout est ok en fait! ;)
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    tu considères dans l'espace à 4 dimensions un hyperplan d'équation cartésienne

    $ax + by + cz +dt + e = 0$ dont un vecteur normal a pour coordonnées $(a;b;c;d)$

    et soit A le point de coordonnées $(x_A, y_A, z_A ; t_A)$
    qui ne figure pas dans l'hyperplan (ses coordonnées ne satisfont pas l'équation)

    la distance d du point A à l'hyperplan est donnée par

    $$d = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + dt_A + e|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}}$$

    la démonstration passe en effet par le produit scalaire

    cordialement
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 11

Cidrolindiriklym.c1 +8 Invités