Produit de matrices inversibles

Bruce
Bruce
dans Algèbre
Bonjour ; voici ma question.

Soient A, B deux matrices carrées d'ordre n non nulles.
AB=C avec C inversible ; cela implique que A et B sont inversibles ? Je crois que c'est le cas ssi A et B sont semblables

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Qu'est-ce qui te fait croire ça ?
    Soit $C^{-1}$ l'inverse de $C$ : $CC^{-1}=C^{-1} C=I_n$.
    Trouver $?$ tel que $A ? =I_n$
  • Bruce
    Bruce
    en réalité j'avais besoin de ça pour vérifier cette propriété : une matrice réelle symetrique A est positive ssi il existe une matrice M tq A=tM.M
    avec tM la transposée de M . et j'ai besoin de l'inversion de M pour montrer cette propriété
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    ??? Si $A$ est seulement positive et pas définie positive, il n'y a aucune raison qu'elle soit inversible. Et quel est le rapport avec ton histoire de $A$ et $B$ semblables ?
  • Chalk
    Chalk
    Je n'ai pas compris la réponse de GBZM, Si $C$ est inversible alors $A$ et $B$ le sont aussi. En effet, le rang de $A$ et de $B$ est au moins égal à celui de $AB=C$ qui vaut $n$.
  • Bruce
    Bruce
    très belle démo skyffer ; en effet rg(AB)<=min(rg(A);rg(B)) donc min(rg(A);rg(B))>=n et donc =n
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    @skyffer : c'est sans doute que tu n'as pas lu attentivement.
    Bruce a écrit:
    Je crois que c'est le cas ssi A et B sont semblables
    moi a écrit:
    Qu'est-ce qui te fait croire ça ?

    Puisqu'il me faut mettre les points sur les i : $I_n=CC^{-1}= A(BC^{-1})$
  • Chalk
    Chalk
    Ah oui, excuse moi, effectivement c'est vrai en toute généralité, je n'avais pas vu que tu répondais à cela.
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