Résoudre sur $\mathbb{R}$ le système
$|x|+E(y)+F(z)= 4.1$
$|y|+E(z)+F(x)= -1.6$
$|z|+E(x)+F(y)= 1.7$
où $|\centerdot |$ est la valeur absolue, $E$ la partie entière et $F$ la partie fractionnaire : Pour tout $r\in\mathbb{R}$
$r=E(r)+F(r)$ avec $0\leq F(r) < 1$.
Réponses
Par exemple, $x=-2.7$, $y=2.1$, $z=-3.6$ environ ?
Cordialement,
Rescassol
On s'intéresse d'abord à la partie fractionnaire. Les équations (1), (2) et (3) impliquent respectivement :
\begin{align*}
F(x)+F(z) \in \{0.1, 1.1\} & \hspace{2cm} (1F)\\
F(x)+F(y) \in \{0.4, 1.4\} & \hspace{2cm} (2F)\\
F(z)+F(y) \in \{0.7, 1.7\} & \hspace{2cm} (3F)
\end{align*}
I/ $F(x)+F(z) = 1.1$
En effet, si $F(x)+F(z) = 0.1$, alors on a :
$F(z) \in [0,0.1]$
$F(x) = 0.1-F(z) \in [0,0.1]$
$F(y) \in [0.3, 0.4] \cap [0.6, 0.7] = \emptyset$ par (2F) et (3F)
II/ Si $F(x)+F(y) = 0.4$, alors $F(x) = 0.4$, $F(y) = 0$ et $F(z) = 0.7$ par un calcul similaire.
III/ Si $F(x)+F(y) = 1.4$, alors :
$F(y) \in ]0.4,0.6[$,
$F(x) = 1.4-F(y) \in ]0.8,1[$ et
$F(z) = 0.7-F(y) \in ]0.1,0.3[$
par un calcul similaire.
IV/ La somme des équations (1), (2) et (3) donne $x+y+z+|x|+|y|+|z| = 4.2$. Or $z\leqslant-1.6<0$ par (2).
Donc $|x|+|y|+x+y = 4.2$. Si $(x,y)$ est solution, il appartient donc à l'une de ces trois composantes :
Or :
$x=2.1$ n'a pas la bonne partie fractionnaire,
$y=2.1$ non plus,
$x+y=2.1$ non plus.
Donc il n'y a pas de solutions à ce système.
Bon ben la partie IV/ tient encore la route ($(x,y)$ solution appartient à l'un des trois morceaux).
Ah ben oui, cet andouille de Python ne donne pas $E(x)$ quand on lui demande $int(x)$ avec $x<0$.
Cordialement,
Rescassol
Edit: D'accord, Jandri, pour ma typo: $x=-1.7$
(2) $a+|a| = 0$ ou $2a$
(3) Les membres de gauche de ces équations comportent
un seul terme potentiellement négatif.
> Ah ben oui, cet andouille de Python ne donne pas
> $E(x)$ quand on lui demande $int(x)$ avec $x<0$.
Est-ce Python l'andouille, alors qu'il prévient clairement que " If x is floating point, the conversion truncates towards zero." ?
Si on veut la partie entière de x, on demande floor(x). ;-)
On ne peut pas avoir $x<0,y<0$, car la somme des trois équations donnerait $0=4.2$.
On ne peut pas avoir $x>0,y<0$, car la somme des trois équations donnerait $x=2.1$.
On ne peut pas avoir $x>0,y>0$, car la somme des trois équations donnerait $x+y=2.1$, alors que la première équation impose $|x|+y>3.1$.
Il ne reste que le cas $x<0,y>0$. La somme des trois équations donne $y=2.1$, la deuxième équation donne ensuite $E(z)=-4$, $F(x)=.3$. La première équation se réécrit alors $x=F(z)-2.1$, ce qui impose $F(z)=.4$, d'où $x=-1.7$ et $z=-3.6$.
La bonne réponse est tout à côté chez GBZM.