Équations et inéquations [débutant]
dans Algèbre
Bonjour à toutes et tous
Ce fil fait suite à ce fil.
Équations de 1er degré :
$2x + 4 = 8$
$2x + 4 - 8 = 0$
$2x - 4 = 0$
$2x = 4$
$x = \frac{4}{2}$ = $\frac{2}{1} = 2$
Donc $x = 2$
Je réussi à utiliser MathJax ! (partiellement)
Est-ce que quelqu'un aurait une autre équation de 1er degré plus compliquée à me proposer ? (sans pousser mémé dans les orties non plus...)
Merci !
Ce fil fait suite à ce fil.
Équations de 1er degré :
$2x + 4 = 8$
$2x + 4 - 8 = 0$
$2x - 4 = 0$
$2x = 4$
$x = \frac{4}{2}$ = $\frac{2}{1} = 2$
Donc $x = 2$
Je réussi à utiliser MathJax ! (partiellement)
Est-ce que quelqu'un aurait une autre équation de 1er degré plus compliquée à me proposer ? (sans pousser mémé dans les orties non plus...)
Merci !
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
$2+3 = 6x-5$
Euh... 8-)
$5 = 6x-5$
$6x = 10$
$x = \frac {10}{6}$
$x = \frac {5}{3}$
$Sol = {1,666...7}$
Bon ?
Ensuite, si on oublie cette coquille, c'est assez correct (on aura des choses à dire...) jusqu'à cette maudite valeur approchée que tu donnes comme solution.
La fin est : La solution est $\frac{5}{3}$.
5 = 6x - 5
-6x = -5 + 5
-6x = 0
x = -0/6
Bien vu Nico. Et merci pour le recadrage par zéro.
$2x+6x = -5 - 3$
$2x + 6x = -8$
On ne peut pas aller plus loin (du moins, moi). Dans un lancé de dés, il est évident que x+x = 2x ; mais ce n'est pas applicable ici, je pense ?
A moins que l'on additionne les x :
$2x + 6x = -8$
$8x = -8$
$x = 1$
Bon ?
Je te déconseille quand tu résous une équation les égalités à "rallonge" comme:
$x=\frac{4}{2}=\frac{2}{1} = 2$
préfère:
$x=\frac{4}{2}$
$x=\frac{2}{1}$
$x= 2$
(par ailleurs, tu ne sais pas que diviser 4 par 2 donne 2?)
$2x+3 = 6x-5$
$2x+6x = -5-3$ erreur de calcul !
Si tu ajoutes 6x au premier membre, ça en rajoute 6 au deuxième, et tu as 12 x.
Cordialement.
Sinon (en oubliant mon erreur de signe), le calcul est valide, non ?
@gerard0, je ne vois pas pourquoi ajouter 6x au 1er membre. Il suffit de mettre tous les "x" d'un côté (gauche) et tous les nombres normaux (entiers) à droite. J'ai simplement intervertit 6x de droite en -6x à gauche et +3 à gauche en -3 à droite.
Ce qui donne :
$2x+3=6x-5$
$2x-6x=-5-3$
$-4x=-8$
$x= $$\frac {-8}{4}$
$x=-4$
Correct ?
Là par contre, je ne comprends pas. Je n'ai jamais été soumis à deux équations à deux inconnues. Est-ce un système ?
Cordialement,
Ton calcul n°1 :
$$\begin{cases}x + y = 7 \\ 3x - 10y = -5\end{cases}$$
Si mes souvenirs sont bons (et ils datent de l'antiquité, je dirais même 10 millions d'années), résoudre un système, c'est trouver le "couple solution" de ce système. Ce couple (x ; y) vérifie les 2 équations en même temps. Ceci par la méthode de substitution, si mes souvenirs antiques sont exacts.
Donc... euh... :-S
$$\begin{cases}x + y = 7 \\ 3x - 10y = -5\end{cases}$$
Je choisis l'option de facilité avec $y$ en remplaçant l'inconnue dans l'autre équation. Elle devient une équation du 1° à une seule inconnue.
$$\begin{cases}y = 7 - x \\ 3x - 10(7-x) = -5\end{cases}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{cases}y = 7 - x \\ 3x - 70-10x = -5\end{cases}$$ $$\Leftrightarrow$$ \begin{cases}y = 7 - x \\ -7x - 70 = -5\end{cases}
$$\begin{cases}y = 7 - x \\ -7x - 65 = 0\end{cases}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{cases}y = 7 - x \\ -7x = 65\end{cases}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{cases}y = 7 - x \\ x = \frac{65}{7}\end{cases}$$
$$\begin{cases}y = 7 - \frac{65}{7} \\ x = -7(\frac{65}{7})\end{cases}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{cases} y = \frac{-16}{7}\\ x = -65\end{cases}$$
Sauf que -65 + (-16/7) n'est pas égal à 7.
Où me suis-je trompé ?
$-4x=-8$
$x=\frac{-8}4$ est faux !!
Si tu divises -8 par 4 c'est que tu divises -4x par 4 et ça ne fait pas x.
Je n'ai pas regardé le reste de tes calculs, mais tu ne peux pas te permettre de faire autant de fautes de calcul sur un seul exercice. Sinon tu ne feras rien de bon.
Désolé !
D'ailleurs, on intervertit pas des nombres autour du "=".
On ajoute le même nombre aux deux membres.
On soustrait le même nombre aux deux membres.
On multiplie par le même nombre non nul les deux membres.
On divise par le même nombre non nul les deux membres.
Courage !
Alors que faire dans cette situation ?
@Dom :
Une fois encore j'exposerais tout par la fonction puissance 0 et le calcul est réglé d'entrée de jeu, mais comme on m'a tapé sur les doigts et qu'on a grincé des dents, je vais me plier aux règles, comme promis.
Ce que tu viens de me dire n'a aucun sens pour moi. Pourrais-tu me fournir des exemples ?
@Lupulus :
Quel était le problème dans la résolution du système ?
Fraternellement, dans l'union de la prière,
Frère David (oui, je finis par lâcher mon blase).
Sauf que -65 + (-16/7) n'est pas égal à 7.
Quand quelqu'un n'est pas d'accord avec toi, tu le tues ? Quand un calcul est difficile à faire, tu le remplaces par un autre ?
"Ce que tu viens de me dire n'a aucun sens pour moi."
= veut dire que ce qui est avant et ce qui est après sont la même chose.
Si -4x=-8, c'est bien que -4x et -8 désignent le même nombre. Donc si tu divise par 4 d'un côté et par -4 de l'autre, ce ne sera plus le même nombre des deux côtés, donc tu ne peux plus mettre =.
Dom te rappelle les règles élémentaires évidentes de manipulation des égalités. On n'est pas dans le baratin philosophique ou l'à-peu-près littéraire ici, on veut être sûr : On ne fait que ce qui permettra d'être totalement sûr.
Si tu ne comprends pas que ces manipulations proposées par Dom permettent d'être sûr, inutile de continuer, tu ne feras pas des maths. Et c'est facile à comprendre, si on ne met rien de plus que ce qui est dit, si on se contente de voir. Si on comprend que = veut dire "est la même chose que".
Ah ! tu parles de l'autre calcul ? Moi pas. Tu t'es trompé, cherche où. Et fais déjà correctement celui avec $2x+3=6x-5$.
Deuxièmement, une égalité de la forme $a = b=$ est équivalente à l'égalité $-a = -b$. Et une égalité de la forme $a = -b$ est équivalente à $-a = b$. Pas besoin de multiplier par $-4x$. Donc ici, tu voulais résoudre $-4x = -2$ et donc $4x = 2$ ce qui donne $x = 1/2$. Mais ce n'est pas la bonne réponse à cause de cette faute de signe.
Merci de votre aide les gars. Lapulus et Dom pour votre gentillesse, et gerard0 pour sa rudesse.
J'abandonne pour aujourd'hui, je commence à confondre chiffres et lettres, surtout après le système de Lupulus sous MathJax, où, j'ai encore commis une erreur d'inattention...
Merci des encouragements les copains.
Frère David
Là je regrette mais l'erreur ne vient pas de ma part : si on change +3 de côté il devient -3, donc -5-3 = -8.
Je refais une dernière fois le calcul :
$2x-3=6x-5$ (et PAS 2x+3), alors ça devient logique :
$2x - 6x = -5 + 3$
$-4x = -2$
$4x = 2$
$x = 2/4$
$x = 1/2$
Bonne soirée et n'hésitez pas à m'attaquer lourdement demain sur les problèmes que vous ciblez chez moi (notamment les fautes d'inattention, les signes, etc).
Frère David
L'équation initiale était $2x + 3 = 6x - 5$ donc $2x = 6x - 5- 3$ donc $2x - 6x = - 5 - 3$. Et ensuite tu peux résoudre comme d'habitude.
En revanche la suite est correcte (c'est à dire tu as donné une solution correcte de l'équation à la première ligne).
$2x-6x = -5-3$
$-4x = -8$
$x = -8/4$
$x = -2$
Vérification :
$2(-2) + 3 = 6(-2) - 5$
$-4 + 3 = -12 - 5$
$-1 = -17$
Équation erronée.
Alors qu'avec $x=2$ :
$2x2+3 = 6x2-5$
$4+3 = 12-5$
$7 = 7$
Qu'est-ce qui a planté ? Ca marche avec 2, pas avec -2. Alors que $-8/4 = -2$ ! Qu'est-ce que c'est que ça ?
et :
$2x-3=6x-5$
$2x - 6x = -5 + 3$
$-4x = -2$
$4x = 2$
$x = 2/4$
$x = 1/2$
Vérification :
$2(1/2)-3 = 6(1/2)-5$
$1 - 3 = 3 - 5$
$-2 = -2$
Équation valide.
Et là, pas d'erreur de signe de ma part. Effectivement l'erreur venait de moi, j'ai plombé un signe. Sinon le reste est correct, excepté ma première équation qui donne $-1 = -17$.
Mea maxima culpa. Des explications SVP ? Laissez tomber l'aide, j'ai trouvé. Voir les posts suivants.
Frère David
$2x+3=6x-5$
$2x-6x=-5-3$
$-4x=-8$
C'est là que j'ai oublié de faire :
$4x=8$
Ce qui donne logiquement :
$x=8/4$
$x=2$
Ainsi, tout se vérifie.
Équation valide.
oui mais il y a une raison
je m'inquiète de ton -4x=-8 se transformant (comme par magie) en 4x=8
c'est exact oui mais...
essaye de voir sur wiki groupes,anneaux et corps
edit : j'interviens juste pour dire que je suis inquiet mais je ne dirai plus rien d'autre.....(les autres et wiki sont là)
comme pédagogue je peux repasser (c'est une catastrophe mon cas)
Pas besoin de Wiki & consorts. Il suffit d'utiliser sa tête.
Comment transformer :
$-4x = -8$ en $4x = 8$ , c'est assez simple quand on réfléchit bien. C'est con comme la lune, c'est du cheat basique.
En exposant les deux membres de l'équation à la fonction puissance carrée, on obtient deux positifs des deux côtés, il ne suffit plus ensuite que faire racine carrée des deux côtés pour en revenir aux deux membres égaux positifs.
$(-4x)² = (-8)²$
$16x² = 64$
$\sqrt {16x²} = \sqrt {64}$
$4x = 8$
$x = 2$
Simple comme bonjour. Il m'a fallu un petit temps de réflexion avant de trouver.
Donc, pour résumer : $n²$ donnera toujours un positif. On retourne ensuite la manoeuvre (en faisant l'inverse) via la racine carrée $\sqrt n$ des deux côtés, tes deux membres étant déjà transformés automatiquement en positifs, tu en reviens aux valeurs initiales négatives, en positives.
Donc nous avons bien :
$-4x=-8$ $\Leftrightarrow$ $4x=8$
Théoriquement :
$-n²=+n$
Il suffit ensuite de $\sqrt n$, et on obtient automatiquement les valeurs initialement négatives en valeurs positives.
CQFD : magie chinoise. B-)
Frère D.
non ça va pas
-4x=-8 possède une unique solution
$(-4x)^2=(-8)^2$ en possède deux
une dernière fois
essaye de voir sur wiki groupes,anneaux et corps
essaye de voir polyn(o accent circonflexe)mes et équations
racines et solutions(nuance des définitions)
important: j'interviens juste pour dire que je suis inquiet mais je ne dirai plus rien d'autre.....(les autres et wiki sont là)
comme pédagogue je peux repasser (c'est une catastrophe mon cas)
Tu peux ajouter 1, soustraire 81/4, exposer par zéro, multiplier par $e$ si ça te chante, tant que c'est EGAL des deux côtés. Tu me suis ?
Donc si tu exposes les deux membres au carré tu obtiens automatiquement des positifs. Ensuite, manoeuvre inverse, racine carrée des deux côtés. Valeurs initiales négatives transformées en valeurs positives.
C'est ça le truc.
Frère D.
Imaginons que tu résous l'équation $x=1$ et tu te dis je vais mettre au carré $x^2=1$ (je suis ok) mais dans la première équation tu as une seule solution tandis que dans la deuxième $2$ solutions car : $x^2 = 1$ si et seulement si $x^2-1 = 0$ si et seulement si $(x-1)(x+1) = 0$ si et seulement si $x=1$ ou $x=-1$.
Bilan : au départ $x=1$ donc $1$ nombre et à la fin $x=1$ ou $x=-1$ deux nombres.
C'est un cas exceptionnel que tu cites. Tout ce qui compte est le résultat : la vérification de l'équation.
Sans mon trick, je ne serais pas parvenu à résoudre ni vérifier $2x+3=6x-5$ avec $x=-2$, sinon $x=-8/4$, ce qui donne $-1 = -17$.
Puisque :
$2x+3=6x-5$
$2x-6x=-5-3$
$-4x=-8$
Avec le "cheat" de la fonction puissance carrée combinée juste avant son contraire ($\sqrt n$), $x=2$, et pas $x=-8/4$... Car ce qui vérifie l'équation est bel et bien $x=2$, pas $x=-2$. Il m'a juste suffi de trouver un moyen de rendre n'importe quel négatif positif dans une équation basique (hors cas exceptionnels). Et cela est mathématiquement valide.
$2x+3=6x-5$
$2x-6x=-5-3$
$-4x=-8$
$(-4x)² = (-8)²$
$16x² = 64$
$\sqrt {16x²} = \sqrt {64}$
$4x = 8$
$x = 2$
Vérification :
$2x2+3 = 6x2-5$
$7 = 7$
Équation valide.
Ce qui compte, c'est la validité et le résultat.
Frère D.
Je préfère multiplier par $-1$ de chaque côté (puisque c'est égal, ça reste égal). Après tu fais comme tu veux !
Nos méthodes opératoires divergent, mais convergent vers le même résultat.
La multiplication par $-1$ me semble remplir mes deux conditions et je suis content. Voilà tout.
il y a des choses pas nettes dans votre cheminement, prenez-en conscience.
Par exemple $\sqrt{x^2}=x$ est un raccourci qui vous arrange mais n'est pas vérifié pour n'importe quel nombre.
Que signifie pour vous le symbole $\iff$ ?
S
Avoue que mon écriture a plus de gueule que tout multiplier par -1. Ca en jette, un carré puis sa racine carrée. Tous les élèves restent sur le carreau, bouche bée, mais le prof me coince dans des situations exceptionnelles.
Bon allez, je déconne. Ta solution est la plus simple (évidemment) et la plus économique au niveau de la conservation d'informations, mais j'aimerais l'avis des autres sur l'exposant -1 et sur ma façon de procéder (j'en arrive naturellement à la combinaison de la fonction puissance carrée et son contraire, je n'ai même pas pensé à multiplier les 2 membres par -1).
Petite chanson après je vais dormir :
Frère D.
PS : @samok, ce symbole représente une équivalence logique.
$$
x^2+2x+1 = 0
$$
toujours aucun sérieux de la part de l'auteur de ce fil, je laisse tomber. Et je conseille à tous d'en faire autant, vous perdrez votre temps.
Pour information,
$\sqrt{(-1)^2}=1\neq -1$
Pour résoudre l'équation:
$-2x=4$
On n'élève pas au carré car on n'obtiendrait pas une équation qui a exactement les mêmes solutions que l'équation initiale: on dit qu'elles ne sont pas équivalentes (et on n'a pas pour tout $x$ réel $\sqrt{x^2}=x$).
Mais on multiplie à gauche et à droite par le nombre $\dfrac{-1}{2}$ , cela permet d'obtenir une équation qui est équivalente à l'équation initiale.
(Tout ceci t'as déjà été rappelé plus haut)
Si tu penses que tu es plus malin que tout le monde et que tu ne tiens pas compte des informations déjà données pourquoi continuer à poster?
PS:
Pourquoi multiplier par $\dfrac{-1}{2}$?
Parce que c'est le seul moyen de se débarrasser du coefficient -2 devant le x du membre de gauche tout en obtenant une équation qui a exactement les mêmes solutions que l'équation initiale.
Ce n'est pas le fait que -2 soit un nombre négatif qui nous gêne mais le fait que ce ne soit pas le nombre 1.
Je n'en veux à personne mais, parfois, comme ici, je n'aime pas parler en même temps que tout le monde.
@moduloP :
$x²+2x+1=0$
Équation du 2nd degré spotted. Inutile de se servir du $\Delta$ : une simple factorisation suffit largement.
$(x+1)² = 0$
$x = -1$ [1]
$x = 1$ [2]
En vertu des identités remarquables qui nous disent que : $(a+b)²=a²+2ab+b²$ et $a²-b²=(a-b)(a+b)$
@Shah d'Ock :
$x = 3(7x+1)-4(5x+1)$
On distribue :
$x = 21x+3-20x-1$
$x = 21x-20x+3-1$
On remet tout en ordre :
$x - 21x + 20x = 3 - 1$
$x - -x = 2$
$2x = 2$
$x = 0$
J'ai bon ou pas ?
Frère D.
$-2x=3$ ?
La problématique est la même. On voudrait avoir 1 devant x et pas -2.
Le seul moyen d'obtenir 1 est, en effet, de multiplier les deux membres de l'équation par la fraction $\frac{-1}{2}$ car:
$\displaystyle \frac{-1}{2}\times -2=1$
La nouvelle équation est, en effet,
$x=-\frac{3}{2}$
Tu dis:
et rien ne nous dit qu'elle vérifie l'équation.
C'est une farce?
On a une valeur qui est candidate pour être solution de l'équation (en fait, le raisonnement que j'ai fait est correct et donc on sait que c'est une solution et que c'est la seule solution).
Comment vérifier, par ailleurs, que c'est bien une solution?
On remplace x par cette valeur et on vérifie que l'égalité est bien vérifiée.
Le membre de gauche de l'équation quand on a remplacé $x$ par $-\frac{3}{2}$ est:
$-2\times -\frac{3}{2}=\dfrac{2\times 3}{2}=3$
Le membre de droite de l'équation est....3
Donc on vient de vérifier que le nombre $-\frac{3}{2}$ est solution.
Je pense que l'un de tes problèmes que tu rencontres en mathématiques est que tu as "peur" des nombres parce que tu n'es pas à l'aise avec le calcul sur les fractions , le calcul sur les nombres relatifs. Tu sais ce qui te reste à faire.
Face à une équation comme:
-2x=met le nombre entier réel qui te fait plaisir ici
la problématique sera toujours de faire disparaitre le coefficient -2 qui est la seule entrave pour terminer de résoudre l'équation donnée et il n'y a qu'un seul moyen de le faire, multiplier les deux membres de l'équation par le nombre $\dfrac{-1}{2}$
NB:
La forme d'une équation:
membre de gauche=membre de droite.
Est-ce que j'ai bon pour $x² + 2x + 1 = 0$ ?
Est-ce que j'ai bon pour $x = 3(7x+1)-4(5x+1)$ ?