Salut.
Énoncé : Si $G$ est un groupe infini et $G-H$ est fini, ($H<G$) alors $G = H$.
Une solution consiste à utiliser que $G$ est réunion disjointe de classe à gauche modulo $H$.
Est-ce que quelqu’un pourrait, d'une manière ou d'une autre, me la détailler s'il vous plaît ?
Réponses
Quel sens donnes-tu à $G-H$ ?
Alain
Si $G-H$ veut dire $G\setminus H$, alors c'est fini.
En effet, $G$ est infini et $G\setminus H$ est fini donc $H$ est infini, mais alors s'il existe $x\in G\setminus H$, la classe à gauche $xH$ est dans $G\setminus H$ donc est finie et admet d'autre part le cardinal de $H$. Contradiction. Donc $H=G$.
Alain
Merci pour vos réponses.
Poirot votre réponse est très claire, c'est ce que je voulais voir. Cependant vous précisez $a\ne1$, ne doit-on pas imposer de choisir $1$ comme représentant de $cl(1)$ ?