Actions de groupe, groupes quotients
Bonjour,
j'aurai besoin de quelques éclaircissements relativement aux notions d'actions de groupes et de groupes quotients.
Je sais qu'une action de groupe s'exerce d'un groupe sur un ensemble et associe à un couple d'éléments issus l'un du groupe G l'autre de l'ensemble X, le produit des deux éléments par la loi interne du groupe.
Relativement à cette action, on peut définir l'orbite d'un élément x de l'ensemble X comme l'ensemble des {gx, g appartenant à G} et le stabilisateur comme l'ensemble des {g de G tq gx = x} (l'élément neutre e du groupe étant commun à tous les stabilisateurs).
J'ai vu ensuite qu'on parlait d'action transitive lorsque on avait "une unique orbite". Que veut-on dire par là exactement ? Que l'orbite de chaque élément est X tout entier ? Sous quelle(s) condition(s) cela est-il vrai ?
J'ai également noté dans mon cours qu'une action est fidèle si : pour tout g appartenant à G, (pour tout x de X, gx = x) => g = e. Mais je n'arrive pas à traduire ça...
Pareil pour une action libre : pour tout g de G, il existe x de X tq gx=x => g=e. Là je comprends encore moins.
Par ailleurs, peut-on en retirer des informations sur G ou X ? Parce qu'à priori, orbites et stabilisateurs vont être différents pour chaque action donc si étudie une action arbitraire, cela va-t-il nous renseigner sur la structure de G ou X ?
En ce qui concerne la notion de groupe quotient, j'ai également du mal à cerner ce qu'elle représente. Si j'ai bien on peut quotienter G uniquement par un de ses sous-groupes distingués H.
Et alors G/H = {gH, g de G} ce qui est également l'ensemble des orbites des éléments de H sous l'action à gauche de G sur H. Donc étudier un groupe quotient revient à étudier les orbites de l'action précédemment décrite.
Mais du coup j'en reviens à la question d'avant : à quoi ça sert tout ça concrètement ? Quels sont les résultats types à connaître ?
J'ai conscience que ça fait beaucoup à m'expliquer mais comme vous pouvez le voir, je suis un peu (beaucoup) dans le flou.
Merci par avance
j'aurai besoin de quelques éclaircissements relativement aux notions d'actions de groupes et de groupes quotients.
Je sais qu'une action de groupe s'exerce d'un groupe sur un ensemble et associe à un couple d'éléments issus l'un du groupe G l'autre de l'ensemble X, le produit des deux éléments par la loi interne du groupe.
Relativement à cette action, on peut définir l'orbite d'un élément x de l'ensemble X comme l'ensemble des {gx, g appartenant à G} et le stabilisateur comme l'ensemble des {g de G tq gx = x} (l'élément neutre e du groupe étant commun à tous les stabilisateurs).
J'ai vu ensuite qu'on parlait d'action transitive lorsque on avait "une unique orbite". Que veut-on dire par là exactement ? Que l'orbite de chaque élément est X tout entier ? Sous quelle(s) condition(s) cela est-il vrai ?
J'ai également noté dans mon cours qu'une action est fidèle si : pour tout g appartenant à G, (pour tout x de X, gx = x) => g = e. Mais je n'arrive pas à traduire ça...
Pareil pour une action libre : pour tout g de G, il existe x de X tq gx=x => g=e. Là je comprends encore moins.
Par ailleurs, peut-on en retirer des informations sur G ou X ? Parce qu'à priori, orbites et stabilisateurs vont être différents pour chaque action donc si étudie une action arbitraire, cela va-t-il nous renseigner sur la structure de G ou X ?
En ce qui concerne la notion de groupe quotient, j'ai également du mal à cerner ce qu'elle représente. Si j'ai bien on peut quotienter G uniquement par un de ses sous-groupes distingués H.
Et alors G/H = {gH, g de G} ce qui est également l'ensemble des orbites des éléments de H sous l'action à gauche de G sur H. Donc étudier un groupe quotient revient à étudier les orbites de l'action précédemment décrite.
Mais du coup j'en reviens à la question d'avant : à quoi ça sert tout ça concrètement ? Quels sont les résultats types à connaître ?
J'ai conscience que ça fait beaucoup à m'expliquer mais comme vous pouvez le voir, je suis un peu (beaucoup) dans le flou.
Merci par avance
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Réponses
Une action est transitive lorsqu'en effet, l'orbite de n'importe quel élément est l'ensemble $X$ tout entier. C'est équivalent à dire qu'en se donnant $x$ et $y$ dans $X$, on peut toujours trouver un élément $g$ de $G$ qui permet de passer de l'un à l'autre (d'où le nom de transitive) : $g.x=y$.
Une action est fidèle lorsque le morphisme $G \to Sym(X)$ dont j'ai parlé au-dessus est injectif. Cela veut dire qu'aucun n'élément du groupe n'agit trivialement, hormis le neutre. Une action est libre quand aucun élément $g$ de $G$ autre que le neutre n'admet de point fixe. C'est bien entendu plus fort qu'une action fidèle.
Les actions du groupe $G$ sur $X$ donnent en effet des renseignements sur $G$ (et un peu sur $X$). D'un côté, $X$ est partitionné selon les orbites. De l'autre côté, si $G$ est fini il y a pas mal de relation combinatoire liant les cardinaux de $G$, des stabilisateurs, des orbites etc. C'est une manière très puissante d'obtenir des informations sur $G$ en choisissant une bonne action.
Pour la notion d'ensemble quotient, elle existe pour n'importe quel sous-groupe $H$, c'est l'ensemble des classes à gauche modulo $H$, dont tu as donné une formule. Cependant, l'ensemble quotient est surtout intéressant lorsque $H$ est distingué dans $G$. Il est alors muni naturellement d'une structure de groupe telle que la projection $G \to G/H$ soit un morphisme de groupes. C'est une notion très importante puisqu'elle permet également d'étudier le groupe $G$. Des informations sur $H$ et sur le quotient $G/H$ permet souvent d'obtenir des informations sur $G$. Il y a également des théorèmes très puissants donnant des isomorphismes entre certains groupes et certains quotients. Le plus connu porte souvent le nom de premier théorème d'isomorphisme : si $f : G \to H$ est un morphisme de groupes alors $G/\ker f$ est isomorphe à $Im f$.
Bon ça fait beaucoup d'informations, pour comprendre tout cela il faut manipuler quelques exemples. La théorie des groupes est une théorie très riche et très belle, ça vaut le coût de s'y intéresser ;-)
$$\exists x\in X\quad\forall y\in Y\quad \exists g\in G\quad g\cdot x=y\;.$$
Si $G$ est un groupe agissant sur $X$ et $x$ un élément de $X$, alors il existe une bijection entre l'orbite $G.x = \{g.x \mid g \in G\}$ de $x$ et l'ensemble des classes à gauche de $G$ modulo $G_x$, avec $G_x = \{g \in G \mid g.x = x\}$ (le stabilisateur de $x$ pour l'action de $G$).
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