Endomorphisme
dans Algèbre
U un endomorphisme sur E (espace vectoriel de dimension finie), U est nilpotent si et seulement si toutes ses valeurs propres sont égales à 0. Est-ce que cette propriété est vrai en dimension infinie ?
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Réponses
Considère l'endomorphisme de $\R^3$ : $u:(x,y,z)\mapsto (0,-z,y)$.
Je ne sais absolument pas de quoi vous parlez, je me permets de m'incruster 1 seconde (après je m'en vais) pour demander ce que signifie $\R^3$. Est-ce que $\R$ est l'ensemble des réels ou bien "Réalité" ? Promis, après, je m'en vais.
@zeitnot : calcule $u^n (0, 1 , -1)$ (:P)
Un endomorphisme $u$ est nilpotent si et seulement l'ensemble de ses valeurs propres complexes est réduit au singleton $\{0\}$.
Je te laisse t'en convaincre, la démonstration utilise Cayley-Hamilton.
Dans l'exemple de bisam, les valeurs propres complexes de $u$ ne sont pas toutes nulles.
La propriété que j'ai écrite est fausse en dimension infinie : considère la dérivation dans $\mathbb{R}[X]$