Groupe cyclique ordre

CechLM · November 2017

Salut à tous !

Je chercher dénombre le nombre d'élément d'un certain ordre dans un groupe cyclique.

1) Dans $Z/p^nZ$ comment déterminer vous le nombre d'éléments d'ordre $p$ ?
2) Dans $Z/36Z$ comment déterminer les éléments d'ordre $6$ ?
Pour la question 2) je proposait de résoudre l'équation $pgcd(36,k) = 6, k \le 36$.
Et en appliquant ce résultat à 1) je peux conclure aussi et je peux même donner les éléments $\{kp^{n-1} ; 1\le k < p\}$

Idée pour la 2) : On peut regarder le nombre de racines du polynôme $X^p - 1$, ce polynôme divise-t-il $X^{p^{n-1}(p-1)}-1$ ?
Si oui il est scindé à racine simple et donc admet p racines.

Et vous qu'en dite vous ?

moduloP · November 2017

Bonsoir,

Je ne comprends pas l'histoire des polynômes $X^p-1$ et l'autre, en fait je ne comprend pas le lien que tu fais avec la seconde question. Est-ce que tu peux détailler ?

Maxtimax · November 2017

Soit $G$ un groupe cyclique que je noterai multiplicativement, $d\mid |G|$. Alors $H= \{x \in G\mid x^d = 1\}$ est l'unique sous-groupe de $G$ d'ordre $d$ (exercice)

Tout élément d'ordre $d$ est dans $H$, et un élément de $H$ est d'ordre $d$ si et seulement si il génère $H$ (exercice)

Ainsi $H$ a autant de générateurs qu'il y a d'éléments d'ordre $d$ dans $G$.

Or $H$ est cyclique d'ordre $d$, il a donc ... générateurs. Donc $G$ a ... éléments d'ordre $d$. Exercice: quel est ... ?

moduloP · November 2017

Soit $x \in \Z$, $d$ un diviseur de $n$ et on note $n'$ le quotient de $n$ par $d$.

On a : $dx = 0 \pmod n$ si et seulement si $x=0 \pmod {n'}$.
Notons pour tout $k \in \Z$, $x_k = k n' \in \Z$.

Notons : $\overline{x}_k = x_k \pmod {n}$.
Alors $\overline{x}_k = \overline{x}_{k'}$ si et seulement si $k = k' \pmod{d}$.

Ainsi les solutions sont : $\overline{x}_k$ avec $k=0,\dots,d-1$.

CechLM · November 2017

Or $H$ est cyclique d'ordre $d$, il a donc $\phi(d)$ générateurs. Donc $G$ a $\phi(d)$ éléments d'ordre $d$.

Poirot · November 2017

Sinon tu pourrais écrire explicitement ce qu'est un élément d'ordre $p$. C'est le classe d'un entier $k$ non divisible par $p^n$ telle que $pk$ est divisible par $p^n$. Ça ne laisse pas beaucoup de possibilités...

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