Sous-module

C'est bien pour cela que j'ai mis la copie d'écran de l'exercice, car il y a des ambiguïtés et je ne voulais pas les mettre sur le compte de la traduction.

En modifiant l'énoncé en "$a$ est le plus petit entier naturel supérieur ou égal à 1", je pense qu'on obtient un énoncé qui tient la route, non ?

En effet, il faudrait autoriser $a=0$ dans ce cas. Que suggères-tu ? De jeter le bébé avec l'eau du bain, ou de mettre de côté les cas $I=\mathbb{Z}$ et $I=\mathbb{Z}\sqrt{D}$ (à moins que tu aies d'autres contre-exemple ?).

C'est ennuyeux car le résultat est utilisé à de nombreuses reprises dans d'autres exos et dans le cours.

Rajoutons l'hypothèse sous-module de rang 2.

Effectivement l'histoire du $b$ me tracassais, je suggère de l'appeler $d$ pour la fin de l'énoncé : $c$ is the smallest naturel number such that $d+c\sqrt{D}\in I$ for some $d\in \mathbb{Z}$.

J'essaie un exemple concret : soit $I=(x,y)$, avec $x=3\sqrt{7}$ et $y=1+5\sqrt{7}$. Tout élément de $I$ est de la forme $ax+by$, avec $a,b\in \mathbb{Z}$. Je n'ai pas de mal en annulant la partie en $\sqrt{7}$ de $ax+by$ à trouver que le plus petit entier strictement positif appartenant à $I$ est $3$.
Ensuite je ne parviens pas à trouver la démarche systématique pour déterminer le second élément.
En bricolant, je me suis convaincu que c'est $2y-3x=2+\sqrt{7}$, et j'ai vérifié qu'en effet $I=(3,2+\sqrt{7})$.
Quel est l'algorithme pour trouver ce $c$ ? Pour $b$ il n'y a aucun problème, il suffit d'ajouter $a$ à $d+c\sqrt{D}$ autant de fois que nécessaire pour que $0\leq b <a$.

L'image de ce morphisme $\varphi$ est $\{y \in \mathbb{Z} \mid \exists x\in \mathbb{Z}, \ x+y\sqrt{D}\in I\}$ et le noyau est $I\cap \mathbb{Z}$. Mais je ne vois pas trop où tu veux venir, si ce n'est deux ensembles sont des des sous-groupes de $\mathbb{Z}$, donc de la forme $k\mathbb{Z}$ où l'on peut choisir $k\in \mathbb{N}$, ce qui prouverait l'existence de $a$ et $c$ ?
J'ai l'impression que le théorème d'isomorphisme serait utile, mais je ne vois pas à quoi.