Groupe symétrique et action transitive

df
df
dans Algèbre
Bonjour,

J'ai trouvé sur le net un exemple très éclairant d'action transitive:

L'ensemble $\mathfrak{S}_n$ des bijections de $\{1, ...,n\}$ vers $\{1, ...,n\}$ agit sur $\{1, ...,n\}$ de la façon suivante:

\begin{equation}
\mathfrak{S}_n \times \{1, ...,n\} \longrightarrow \{1, ...,n\} \\
(\sigma , j) \longmapsto \sigma(j).
\end{equation}

L'orbite d'un élément $j \in \{1, ...,n\}$ est l'ensemble des $\sigma (j)$ pour $\sigma \in \mathfrak{S}_n$.
Cet ensemble est l'ensemble $\{1, ...,n\}$ tout entier: la seule orbite pour l'action ainsi définie.
...

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Et si on remplace $\mathfrak{S}_n$ par le groupe alterné $\mathfrak{A}_n$, ça marche encore ?
  • moduloP
    moduloP
    GaBuZoMeu :Pour le groupe $\mathfrak A_n$, je dis oui sauf si $n=2$.

    Si $n$ est impair, alors $(1,2,\dots,n)$ est paire.
    Si $n$ est pair, on regarde $(1,\dots,n-1)$ et $(2,\dots,n)$ qui sont paires et dont les supports ne sont pas disjoints.
  • df
    df
    hé hé: je sens une légère perfidie dans la question de GBZM...

    Si $H$ est une sous-groupe distingué de $\mathfrak{A}_n$ non réduit à $e$ et ($n \geq 3$) alors $H$ opère transitivement sur $\{1, ...,n\}$. Il faut rechercher les sous-groupe distingués de $\mathfrak{A}_n$ pour $n \geq 4$ non ?
    Je ne saurais en dire plus (pour l'instant) mais cela dit, je serais curieux d'avoir les détails.
    ...
  • moduloP
    moduloP
    Pour $\mathfrak A_4$ les doubles transpositions et l'identité forment un sous-groupe distingué mais je ne vois pas vraiment ce que tu veux faire.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Correction.
    Si $n\geq 3$, $\mathfrak{A}_n$ agit transitivement sur $X_n=\{1,\ldots,n\}$.
    En effet, montrons que l'orbite de $1$ sous $\mathfrak{A}_n$ est $X_n$ tout entier : pour tout $i\neq 1$ dans $X_n$, on peut trouver $j\neq 1,i$ dans $X_n$ ; le 3-cycle $(1,i,j)$ est dans $\mathfrak A_n$ et envoie $1$ sur $i$.
    Pour $n=2$, $\mathfrak{A}_2$ est réduit à l'identité et il y a deux orbites dans $X_2$. L'action n'est pas transitive.
    Pour $n=1$, $\mathfrak{A}_1$ agit transitivement sur $X_1$ : il y a une et une seule orbite !
    Pour $n=0$, ni $\mathfrak{A}_0$ ni $\mathfrak{S}_0$ n'agit transitivement sur $X_0$ : il n'y a aucune orbite. ;-)
  • moduloP
    moduloP
    Mince, je me suis fait avoir avec $n=1$ et $n=0$ :)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 22

FoysTOTO25TonmVrfssgerard0john_johnrakam +15 Invités