questions sur structures algébriques
Bonjour,
J'ai quelques questions sur les structures algébriques (j'y suis pas fort) :
1) On me demande un générateur du sous-groupe de $(\mathbb Q,+)$ engendré par $\frac{21}{4}$ et par $\frac{35}{6}$; j'ai du mal à comprendre la notion de générateur. Je sais que cela doit s'écrire $<g>$ mais pas plus.
2) On me demande de montrer que tout sous-groupe $G$ de $(\mathbb Q,+)$ engendré pas un nombre fini d'éléments est cyclique donc qu'il ne possède qu'un générateur $g \in G$ et tous les éléments de ce sous-groupe sont des multiples de ce générateur. Ce que je me demande déjà, c'est la notion de multiple implique un coefficient multiplicateur donc pour tout $h \in G$, il existe $n \in \mathbb N $ tel que $h=n.g$.
Mais comment le montrer?
3) On me demande de trouver un sous-groupe de $(\mathbb Q,+)$ qui ne soit pas engendré par un nombre fini d’éléments. Je déduis de ce qui précède que je dois trouver un sous-groupe qui possède plus de 1 générateur donc qui n'est pas cyclique.
4) on me demande de calculer le corps des fractions des deux sous-anneaux de $\mathbb C$ qui sont $\mathbb Z[i\sqrt(3)]=\{ a+bi \sqrt(3) | a,b \in \mathbb Z\}$ et $ A = \{ a + b\theta | a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$
Je ne sais pas par où commencer, j'ai vu une technique théorique lourde et abstraite qu'il ne m'a pas aidé.
5) est-ce que l'écriture $A/(-3)$ signifie $\{ \frac{a}{-3} | a \in A\}$ ? dans ce cas, on me demande si $A/(-3)$ est intègre je pense que oui car c'est in sous-anneau de $\mathbb C$. exacte ?
Je vous remercie de l'aide que vous pourrez m'apporter.
Merci pour vos pistes
J'ai quelques questions sur les structures algébriques (j'y suis pas fort) :
1) On me demande un générateur du sous-groupe de $(\mathbb Q,+)$ engendré par $\frac{21}{4}$ et par $\frac{35}{6}$; j'ai du mal à comprendre la notion de générateur. Je sais que cela doit s'écrire $<g>$ mais pas plus.
2) On me demande de montrer que tout sous-groupe $G$ de $(\mathbb Q,+)$ engendré pas un nombre fini d'éléments est cyclique donc qu'il ne possède qu'un générateur $g \in G$ et tous les éléments de ce sous-groupe sont des multiples de ce générateur. Ce que je me demande déjà, c'est la notion de multiple implique un coefficient multiplicateur donc pour tout $h \in G$, il existe $n \in \mathbb N $ tel que $h=n.g$.
Mais comment le montrer?
3) On me demande de trouver un sous-groupe de $(\mathbb Q,+)$ qui ne soit pas engendré par un nombre fini d’éléments. Je déduis de ce qui précède que je dois trouver un sous-groupe qui possède plus de 1 générateur donc qui n'est pas cyclique.
4) on me demande de calculer le corps des fractions des deux sous-anneaux de $\mathbb C$ qui sont $\mathbb Z[i\sqrt(3)]=\{ a+bi \sqrt(3) | a,b \in \mathbb Z\}$ et $ A = \{ a + b\theta | a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$
Je ne sais pas par où commencer, j'ai vu une technique théorique lourde et abstraite qu'il ne m'a pas aidé.
5) est-ce que l'écriture $A/(-3)$ signifie $\{ \frac{a}{-3} | a \in A\}$ ? dans ce cas, on me demande si $A/(-3)$ est intègre je pense que oui car c'est in sous-anneau de $\mathbb C$. exacte ?
Je vous remercie de l'aide que vous pourrez m'apporter.
Merci pour vos pistes
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Réponses
Le groupe engendré par ${21 \over 4}$ et par ${35 \over 6}$ est par "définition" l'ensemble des nombre rationnels de la forme : $ {21 \over 4}a + {35 \over 6}b = \frac{63 a + 70b}{12}$ avec $a$ et $b$ dans $\Z$.
Ce que j'ai envie de dire c'est que le numérateur est également l'ensemble des nombres de la forme $7c$ car le pgcd de $63$ et $70$ est $7$.
Finalement, $7/12$ est un générateur de ton groupe.
coquille. $6 \times 2 = 12$ et non pas $6$.
Pour la $4$, $\Q[i \sqrt{3}]$ semble être un bon candidat.
Pour la 5 : qui est $A$ ? $A/(-3)$ est sans aucun doute le quotient de l'anneau $A$ par l'idéal engendré par $-3$.
1) @moduloP je pense que tu t'es trompé car ${21 \over 4}a + {35 \over 6}b = \frac{63 a + 70b}{12}$ et non ${21 \over 4}a + {35 \over 6}b = \frac{63 a + 70b}{6}$. Donc un générateur de ce groupe est $\frac{7}{12}.$ Non ??
2) Pour montrer que tout sous-groupe $G$ de $(\mathbb Q, +)$ qui est engendré par un nombre fini de d’éléments ne possède qu'un générateur, ne faudrait-il pas généraliser la méthode du 1) pour un sous-groupe engendré par $n$ éléments ? avec Bézout généralisé ?
3) N'y a t'il a-t-il que $\mathbb Q$ qui soit un sous-groupe de $(\mathbb Q, +)$ qui ne soit pas engendré par un nombre fini d’éléments ?
4) Pour trouver le corps des fractions de $\mathbb Z[i\sqrt 3]=\{ a+bi \sqrt 3 \mid a,b \in \mathbb Z\}$, je pense qu'il s'agit de $$\Big\{ \frac{a}{b} \mid (a,b) \in Z[i\sqrt 3] \times Z[i\sqrt 3 ]^* \Big\}
$$ Pour trouver le corps des fractions de $A = \{ a + b\theta \mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$ , je pense qu'il s'agit de $$\Big\{ \frac{a}{b} \mid (a,b) \in A \times A^* \Big\}.$$ Peut-on rajouter autre chose ?
5) Soit $A/(-3)$ avec $A = \{ a + b\theta \mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$, Quelle est la signification de $A/(-3)$ ? Est-ce bien $\{ \frac{a}{-3} \mid a \in A\}$ ou autre chose ? Comment montrer que $A/(-3)$ est intègre ?
Merci de votre aide.
(2) On continue avec le concept de $PPMC$
(3) Ce sont des sous-groupes nécessitant une infinité de générateurs. Par exemple les fractions dont le dénominateur, sous forme réduite, est une puissance de 2.
Tu peux essayer de prouver que :
$\Q [ i\sqrt{ 3}] := \{ a+ib\sqrt{3} \mid a,b \in \Q \}$ est le corps des fractions.
1) finalement alors le générateur est $\frac{1}{12}$ ou $\frac{7}{12}$?
2)Si $G$ est engendré par $\{f_i=\frac{n_i}{d_i} | n_i,d_i \in \mathbb Z\}$
Alors pour tout $g \in G$, il existe ${a_i \in \mathbb Z}$ tel que
$g = \sum_{i=0}^{n}a_i\frac{n_i}{d_i}$ où intervient le $PPMC$?
3) D'après Soland, si $G=\{\frac{m}{2^n} | m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N\}$ alors $(G,+)$ est un sous-groupe non cyclique de $(\mathbb Q, +)$???
4) @moduloP comment le prouver?
5) $A/(-3) = \{ a(-3) | a \in A\}$??
merci pour vos pistes
> 5) $A/(-3) = \{ a(-3) | a \in A\}$??
Une nouvelle fois, revois dans ton cours ce qu'est le quotient d'un anneau commutatif par un idéal.
Est-ce que tu peux le prouver ?
Pour le (3) Le sous-groupe engendré par $a/2^m$ ne contient pas $b/2^n$ si $n > m$
alors pour tout $g \in G$, il existe des $a_i \in \mathbb Z$ tel que $\quad\displaystyle g = \sum_{i=0}^{n}a_i\frac{n_i}{d_i}.$
Soit $p=PPCM(d_i \mid i \in [1;n]) $ et $q_i=\dfrac{p}{d_i}$
$\displaystyle g = \frac{\sum_{i=0}^{n}a_i n_i q_i}{p}$
Soit $\quad\displaystyle r_i=\frac{n_i q_i }{PGCD(n_i q_i \mid i \in [1;n])}$
$\displaystyle g = PGCD(n_i q_i \mid i \in [1;n]) \frac{\sum_{i=0}^{n}a_i r_i}{p}.$
Tous les $r_i$ sont premiers entre eux donc $\dfrac{PGCD(n_i q_i \mid i \in [1;n])}{p}$ est générateur de $G$ et $G$ est cyclique.
Est-ce le bon raisonnement ?
[Ne pas abuser des expressions centrées ! AD]
Plus sérieusement, tu fais effectivement un raisonnement erroné : tu montres $\forall g \in G, \exists f \in \mathop{Générateurs}(G), \exists k \in \mathbb Z$ tel que $g = k f$.
Tu n'as aucune chance de démontrer la cyclicité comme ça puisque la cyclicité requiert $\exists f \in G$ tel que $\forall g \in G, \exists k \in \mathbb Z$ avec $g = k f$.
C'est comme si tu voulais montrer que l'ensemble des polynômes (à coefficient dans $\mathbb K$) forment un ($\mathbb K$-)espace vectoriel de dimension finie sous prétexte que chaque polynôme est somme d'un nombre fini de monômes...
Petite remarque : ta formule $PGCD(n_i q_i \mid i \in [\![1,n]\!]) \sum_{i=0}^{n}a_i r_i \times \frac{1}{p}$, ce ne serait pas l'un des éléments $f_i$ que tu as pris comme générateur par hasard?
Non, $\displaystyle PGCD(n_i q_i \mid i \in [\![1,n]\!]) \sum_{i=0}^{n}a_i r_i \times \frac{1}{p} = g = \sum_{i=0}^{n}a_i\frac{n_i}{d_i} $
$\displaystyle PGCD(n_i q_i \mid i \in [\![1,n]\!]) \sum_{i=0}^{n}a_i r_i \times \frac{1}{p} $ est donc la somme des $a_if_i$
Pour moi, j'ai effectivement montrer $\exists f \in G$ tel que $\forall g \in G,\ \exists k \in \mathbb Z$ avec $g = k f$.
Ici $f=\dfrac{PGCD(n_i q_i \mid i \in [1;n])}{p}$, et $\displaystyle k=\sum_{i=0}^{n}a_i r_i$
($f$ ne dépend que des $f_i$)
Est-ce que quelqu'un peut confirmer ? Merci.
Ça m'apprendra à prendre un fil de discussion en cours de route sans relire les messages avant ><
Vu comme ça, c'est bien. Effectivement $f$ ne dépend que des $f_i$.
Si on récapitule :
1) réglé
2)réglé
3) sous-groupe de $(\mathbb Q,+)$ engendré par un nombre infini d’éléments? une piste?
4) Est-ce que le corps des fractions de $\mathbb Z[i\sqrt 3]=\{ a+bi \sqrt 3 \mid a,b \in \mathbb Z\}$ est tout simplement :
$$\Big\{ \frac{a}{b} \mid (a,b) \in Z[i\sqrt 3] \times Z[i\sqrt 3 ]^* \Big\}$$
Est-ce que le corps des fractions de $A = \{ a + b\theta \mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$ est tout simplement :
$$\Big\{ \frac{a}{b} \mid (a,b) \in A \times A^* \Big\}$$.
Je ne pense pas que $\Q[ i\sqrt{3}]=\bigl\{a+ib\sqrt3,\ (a,b)\in\Q^2\bigr\}$ est le corps des fraction de $A$ ou $\mathbb Z[i\sqrt 3]$
5) comment montrer que $A/(-3)$ avec $A = \{ a + b\theta \mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$ est intègre?
Merci de votre aide
Soient $\theta $ et $\theta ^{~\prime }$ les racines complexes de $z^{2}+pz+q=0$, en sorte que : $\theta +\theta ^{~\prime }=-p$, $\theta \theta ^{~\prime }=q$.
Ces racines $\theta$ et $\theta ^{~\prime }$ peuvent être ou non réelles, mais sont toujours distinctes.
On a : $\forall x\in \mathbb{Z},\forall y\in \mathbb{Z},x+y\theta =0\Leftrightarrow x=0$ et $y=0$, et idem pour $\theta ^{~\prime }$.
Soit $\mathbb{Z}[\theta ]=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\theta =\{x+y\theta /x\in \mathbb{Z},y\in \mathbb{Z}\}$, qui est à l'évidence un anneau commutatif intègre.
Le corps des fractions de cet anneau est : $K=\{\frac{z}{t}/z\in \mathbb{Z}[\theta ],t\in \mathbb{Z}[\theta ],t\neq 0\}$.
Comme pour tout anneau commutatif intègre.
Soit $\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\theta =\{x+y\theta /x\in \mathbb{Q},y\in \mathbb{Q}\}$. La notation « $\mathbb{Q}[\theta ]$ » ne me semble pas convenir.
Il est clair que : $\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\theta \subset K$.
Soit $w\in K$, alors $w=\frac{a+b\theta }{c+d\theta }$, avec $a,b,c,d$ entiers, $c+d\theta \neq 0$. Alors $(c,d) \neq (0,0)$, d'où $c+d\theta ^{~\prime }\neq 0$, et $(c+d\theta )(c+d\theta ^{~\prime })\neq 0$.
En conséquence : $w=\frac{(a+b\theta )(c+d\theta ^{~\prime })}{(c+d\theta )(c+d\theta ^{~\prime})}=\frac{ac+ad(-p-\theta )+bc\theta +bdq}{c^{2}-cdp+d^{2}q}\in \mathbb{Q}+\mathbb{Q}\theta$.
Il est ainsi prouvé que : $ K \subset \mathbb{Q}+\mathbb{Q} \theta $.
Bonne journée.
Fr. Ch.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Par contre je ne comprends pas ce que c'est que $A/(-3)$, question 5.
Prenons plutôt $\theta = \frac{-1 +i \sqrt{3}}{2}=j$, c'est le même anneau, qui est l'anneau des entiers d'Eisenstein.
L'élément $3$ n'est pas irréductible dans cet anneau puisque $3=(1-j)(1-j^2)$, produit de deux éléments irréductibles. L'anneau-quotient n'est donc pas intègre.
il doit bien avoir un sous-groupe de $(\mathbb Q,+)$ qui soit engendré par un nombre infini d’éléments et qui ne soit pas $(\mathbb Q,+)$ lui-même...
4) @Merci Chaurien
> Il est clair que : $\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\theta \subset K$.
Pour moi cela n'est pas clair. Je ne comprends pas.
5) Donc $(-3) = \{ -3a | a \in A \} $
@ Chaurien
je trouve $1=(1-j)(1-j^2)$ avec $\theta = \frac{-1 +i \sqrt{3}}{2}=j$
J'ai vu que
Pour $I$ un idéal d'un anneau $A$, $A/I$ est intègre si et seulement si $I \neq A$ et pour tout $x, y \in A $ , $( x*y \in I) \implies ( x \in I$ ou $ y \in I)$
comment l'utiliser?
6)
Avec
$$\phi : \mathbb C\_\{0\}\rightarrow \mathbb R^*_+, x \rightarrow x\bar{x}$$
On me demande de montrer que $(A, \phi|_{A\_\{0\}})$ est euclidien
Question 4)
Soit $w\in \mathbb{Q}+\mathbb{Q}\theta $, alors : $ w=\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\gamma}{\delta}\theta $, avec $\alpha\in \mathbb{Z}$, $\beta\in \mathbb{N}^{\ast }$, $\gamma\in \mathbb{Z}$, $\delta\in \mathbb{N}^{\ast }$. Achève le calcul.
Question 5)
Si $ \theta =- \frac{1}{2} +i \frac {\sqrt{3}}{2}=j$, calcule soigneusement $j^2,j^3$, et $(1-j)(1-j^2)=...$.
Question 6)
Soit $\mathbb E= \mathbb{Z}[j ]=\mathbb{Z}+\mathbb{Z} j =\{x+y j/x\in \mathbb{Z},y\in \mathbb{Z}\}$. C'est l'anneau des entiers d'Eisenstein.
Pour $z\in \mathbb E$ soit $N(z)= z\bar{z}=|z|^2$, c'est la notation classique.
Il faut prouver que dans cet anneau on peut définir une division euclidienne analogue à celle qui est connue dans $\mathbb Z$ ou $K[X]$ :
$\forall a\in \mathbb{E},\forall b\in \mathbb{E}\backslash \{0\},\exists q\in \mathbb{E},\exists r\in \mathbb{E},a=bq+r$ et $N(r)<N(b)$.
On en a parlé plusieurs fois sur ce forum.
N'hésite pas à demander des éclaircissements si besoin est. Bon courage.
Fr. Ch.
Si on récapitule :
3) $\{1/2^k,\ k\in\N\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb Q,+)$ engendré par un nombre non fini d’éléments
4) @Chaurien
J'ai compris, merci.
On a montré que si $K=\mathbb Z[i\sqrt 3]=\{ a+bi \sqrt 3 \mid a,b \in \mathbb Z\}$ ou $K=A = \{ a + b\theta \mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$
On a, grâce à la double inclusion, $K=\mathbb{Q}+\mathbb{Q} \theta$ avec respectivement $\theta = i\sqrt 3$ ou $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$
5) @Chaurien, merci effectivement, j'avais du faire une erreur de calcul.
Pour montrer que $A/I$ n'est pas intègre,
J'ai remarqué que $-3 =(-2+\theta)(1+\theta)$
Donc $(-2+\theta)(1+\theta) \in I$ mais $(-2+\theta) \notin I$ et $(1+\theta) \notin I$
Or une condition nécessaire et suffisante pour que $A/I$ soit intègre est que pour tout $x,y \in A$, (si $x*y \in I$) alors ($x \in I$ ou $y \in I$)
Donc $A/I$ n'est pas intègre
6) @Chaurien Voilà ma démonstration pour prouver que
$(A, \phi|_{A\_\{0\}})$ est euclidien
avec $\phi : \mathbb C\_\{0\}\rightarrow \mathbb R^*_+, x \rightarrow x\bar{x}$
Soit $a, b \in A$ avec $b \neq 0$ avec $A = \{ a + b\theta \mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$
On sait que $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}+\mathbb{Q} \theta$ donc il existe $c, d \in \mathbb{Q} $ tels que $\frac{a}{b}=c + d\theta$
Je pose alors $q=Ent(c)+Ent(d)\theta$ et $r=a-qb=(c+d\theta)b-(Ent(c)+Ent(d)\theta)b=((c-Ent(c))+(d-Ent(d))\theta)b$
On voit que $q,r \in A$
Néanmoins, je n'arrive pas à montrer que $\phi(r)<\phi(b)$ ai-je mal choisi q et r?
Merci de votre aide
7) On me demande de trouver les idéaux de $\mathbb R \times \mathbb R$, de $\mathbb R[X]/(x^2)$, de $\mathbb R[X]/(x^2-3x+2)$, de $\mathbb R[X]/(x^2+x+1)$
Lesquels sont maximaux?
Bravo, tu progresses.
Pour la question 6), je reprends ma terminologie, qui est classique.
On peut définir ton $\phi$ sur $\mathbb C$ tout entier et l'appeler $N$ : $N(z)=z\overline{z}=|z|^{2}$.
Notre anneau est l'anneau des entiers d'Eisenstein : $\mathbb{E}=\{x+yj|x\in \mathbb{Z},y\in \mathbb{Z}\}$, où $j=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
On veut prouver : $\forall a\in \mathbb{E},\forall b\in \mathbb{E}\backslash \{0\},\exists q\in \mathbb{E},\exists r\in \mathbb{E},a=bq+r$ et $N(r)<N(b)$.
Tu as bien compris que la question tourne autour de $\frac ab$, qui est élément de $K=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}j$.
L'idée de la division euclidienne, c'est que dans un anneau intègre commutatif comme $\mathbb{E}$ ou d'autres, le quotient $\frac ab$ n'est pas toujours possible, alors on l'effectue de manière « approchée », et l'on cherche un élément de cet anneau qui soit « proche » de ce quotient. Ce qui mesure cette
« proximité » c'est une fonction à valeurs dans $\mathbb{N}$ qu'on appelle stathme. Pour la division dans $\mathbb{N}$ c'est le nombre lui-même, pour la division dans les polynômes c'est le degré, et ici c'est $N(...)$.
Ici, il faut partir du fait que pour tout élément $z \in K=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}j$, et même pour tout $z \in \mathbb{C}$, il existe $q \in \mathbb{E}$ tel que : $|z-q|<1$. Pour démontrer ceci, tu as bien vu qu'il fallait utiliser la partie entière des coordonnées de $z$, mais il faut aller un peu plus loin. Au lieu d'associer à un réel sa partie entière qui peut être à une distance de lui presque égale à $1$, ce qui est trop, considère pour ce réel l'entier le plus proche de lui, qui est à une distance au plus $\frac 12$
Tu y es presque. Bon courage.
Fr. Ch.
Prouvons que $(A, \phi|_{A\_\{0\}})$ est euclidien
avec $\phi : \mathbb C\_\{0\}\rightarrow \mathbb R^*_+, x \rightarrow x\bar{x}$
Soit $a, b \in A$ avec $b \neq 0$ avec $A = \{ a + b\theta \mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$
On sait que $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}+\mathbb{Q} \theta$ donc il existe $c, d \in \mathbb{Q} $ tels que $\frac{a}{b}=c + d\theta$
Je pose alors $q=Ent(c+\frac{1}{2})+Ent(d+\frac{1}{2})\theta$ et $r=a-qb=(c+d\theta)b-(Ent(c+\frac{1}{2})+Ent(d+\frac{1}{2})\theta)b=((c-Ent(c+\frac{1}{2}))+(d-Ent(d+\frac{1}{2}))\theta)b$
On a $-\frac{1}{2}\leq d-Ent(d+\frac{1}{2})<\frac{1}{2}$ et $-\frac{1}{2}\leq c-Ent(c+\frac{1}{2})<\frac{1}{2}$
On peut alors montrer que $|(c-Ent(c+\frac{1}{2}))+(d-Ent(d+\frac{1}{2}))\theta|^2<1$
Ainsi $|((c-Ent(c+\frac{1}{2}))+(d-Ent(d+\frac{1}{2}))\theta)b|^2<|b|^2$
et $\phi(r)<\phi(b)$
On voit que $q,r \in A$
On en déduit donc que $(A, \phi|_{A\_\{0\}})$ est euclidien
Merci de votre aide
7) On me demande de trouver les idéaux de $\mathbb R \times \mathbb R$, de $\mathbb R[X]/(x^2)$, de $\mathbb R[X]/(x^2-3x+2)$, de $\mathbb R[X]/(x^2+x+1)$
Pour $\mathbb R \times \mathbb R$ (qui est muni des opérations $\oplus$ et $\otimes$) les idéaux sont $\{0\} \times \mathbb R$ et $ \mathbb R \times \{0\}$. Il sont maximaux. Mais pourquoi?
$\mathbb R[X]/(x^2)$ a pour unique Idéal $x + (x^2)$ qui est maximal
$\mathbb R[X]/(x^2-3x+2)$ a pour idéal $x-1 + ((x-1(x-2))$ et $x-2 + ((x-1(x-2))$ qui sont tous les deux maximaux
$\mathbb R[X]/(x^2+x+1)$ a pour idéal $0$ qui est maximal
Ai-je raté des idéaux ici?
J'ai trouvé ces réponse sur internet mais pour les déterminations, si quelqu'un peut m'indiquer un mode opératoire. merci...
8) On me demande de montrer que $2$ est associé à $1 + i\sqrt(3)$ dans $ A = \{ a + b\theta | a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$ et non dans $Z[i\sqrt(3)]=\{ a+bi \sqrt(3) | a,b \in \mathbb Z\}$
Si quelqu'un a des pistes...
Pour la partie entière classique (« plancher»), la bonne notation est je pense : $ \left\lfloor ...\right\rfloor$.
Le cœur me manque pour regarder dans le détail, mais j'ai l'impression que ça va. Ça marche pour d'autres anneaux quadratiques.
Question 7)
Je n'ai pas compris quelle est la multiplication dans l'anneau $\mathbb R \times \mathbb R$.
Bon courage, bonne journée, brrr..., couvrons-nous bien.
Fr. Ch.
Merci effectivement , j'ai croisé cette notation $[...]$ plutôt que celle que j'utilise $Ent(..)$
Je pense aussi que ce que j'ai fait est bon. Donc cette question est réglée.
7)@ Chaurien
$\otimes$ correspond à (bien que cela ne soit pas précisé dans l'énoncé) $(x,y)\otimes(x',y')=(xx'-yy',xy'+x'y)$
Je pense que mes réponses précédentes sont bonnes pour le 7) mais pour avoir tous les idéaux, il faut rajouter ${0}$ et l'anneau lui-même.
Merci
8) On m'a demandé de trouver les inversible de $ A = \{ a + b\theta | a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$ et de $Z[i\sqrt(3)]=\{ a+bi \sqrt(3) | a,b \in \mathbb Z\}$.
Puis de montrer que $2$ est associé à $1 + i\sqrt(3)$ dans $ A$ et non dans $Z[i\sqrt(3)]$
Que signifie "associé"?
Question 6)
Attention, je parle de la notation de la fonction « plancher» $\left\lfloor ...\right\rfloor$, et non de la notation ancienne avec les crochets $[...]$.
Il y a aussi la fonction « plafond » $\left\lceil ...\right\rceil$ dont il est question dans le fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1562542,1562932#msg-1562932. C'est la partie entière par excès.
Ce sont des notations anglo-saxonnes, que pour le coup je trouve bonnes. https://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions
Question 7)
Il est bizarre de supposer que cette multiplication sur $\mathbb R \times \mathbb R$ soit celle qui lui confère la structure de corps commutatif, le corps des complexes. Tu sais ce que sont les idéaux d'un corps commutatif. Pour le reste, je vais regarder ça tantôt.
Question 8)
Dans un anneau commutatif intègre, deux éléments sont dits associés si chacun d'eux est diviseur de l'autre, ce qui équivaut au fait que l'un est le produit de l'autre par un élément inversible de l'anneau, que l'on appelle aussi une unité de l'anneau. Par exemple dans notre anneau $\mathbb E$, les éléments $2+j$ et $-1+j$ sont associés.
Bonne continuation.
Fr. Ch.
7) Si la multiplication est effectivement $\otimes$ alors $\mathbb R \times \mathbb R$ est un corps et donc les idéaux sont $\mathbb R \times \mathbb R$ et $\{0\}\times\{0\}$.
J'ai vu pourtant des cas où $\{0\} \times \mathbb R$ et $ \mathbb R \times \{0\}$ sont des idéaux de $\mathbb R \times \mathbb R$. Cela doit être pour l'opération $(x,y)\times(x',y')=(x\times x',y\times y')$ ai-je raison ?
Pour les autres anneaux, j'ai trouvé exactement la démonstration ici : http://crystal.ou.edu/~tprzebin/5363_exam2_sol.pdf
8) Pour trouver les inversibles de $ A = \{ a + b\theta \mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$ et de $Z[i\sqrt 3]=\{ a+bi \sqrt 3 \mid a,b \in \mathbb Z\}$
J'ai vu une démonstration qui consiste à utiliser $\phi : \mathbb C\_\{0\}\rightarrow \mathbb R^*_+, x \rightarrow x\bar{x}$
De cette manière j'ai trouver que les inversibles de $Z[i\sqrt 3]=\{ a+bi \sqrt 3 \mid a,b \in \mathbb Z\}$ sont $1$ et $-1$
Et les inversibles de $ A = \{ a + b\theta mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$ sont $1$,$-1$,$\theta$, $-\theta$, $1-\theta$, $-1+\theta$.
Et donc $2\times\theta=1 + i\sqrt 3$ et $2$ est associé à $1 + i\sqrt 3$ dans $A$.
9) On me demande de voir si $(A, \phi|_{A\_\{0\}})$ est factoriel. Oui car on a vu plus haut qu'il est euclidien.
On me demande de prouver que $Z[i\sqrt 3]=\{ a+bi \sqrt 3 \mid a,b \in \mathbb Z\}$ n'est pas factoriel. Mais je ne vois pas comment faire même en ayant vu la définition...
Merci.
Question 7)
Attention à l'orthographe. Corrige « j'ai trouver ». Un truc, c'est de changer le verbe en un autre, pour lequel l'infinitif et le participe passé ne soient pas homonymes. Par exemple, tu ne dis pas « j'ai finir ». J'ai appris ce truc sur ce forum.
Question 8)
C'est très bien d'avoir déterminé l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau des entiers d'Eisenstein $\mathbb E$, qu'on appelle aussi les unités de cet anneau. Ce sont les racines sixièmes de l'unité $\pm 1, \pm j, \pm j^2$. Ce n'était pas indispensable pour savoir seulement si deux éléments donnés sont ou ne sont pas associés, mais c'est intéressant.
Question 9)
Une possibilité c'est de regarder les anneaux d'entiers quadratiques imaginaires $\mathbb Z + \mathbb Z \theta $ comme des réseaux dans le plan complexe, qu'on peut dessiner. On a par là un curieux rapprochement entre anneaux euclidiens et géométrie euclidienne. La norme $N(z)=z\overline{z}=|z|^{2}$ devient visible. (Attention, ce n'est pas la « norme » des espaces vectoriels normés, c'est un autre contexte). J'en reparlerai quand tout ça sera fini. Dans ton anneau $\mathbb Z[i \sqrt 3]$ regarde les éléments de plus petites normes, et trouve un élément qui ait deux factorisations essentiellement distinctes.
Une remarque. Tu nous distilles tes questions au goutte à goutte. Pourquoi ne pas nous donner ton énoncé en entier, une fois ?
Bonne journée, bon travail,
Fr. Ch.
15/11/2017
Une remarque incidente sur la question 9). On te demande, dis-tu, si l'anneau $ (A, \phi|_{A\_\{0\}})$ est factoriel. Ça n'a pas de sens. Un anneau $A$ tout court est factoriel ou bien il ne l'est pas, la définition ne nécessite pas cette bizarre fonction $\phi|_{A\_\{0\}}$, qui d'ailleurs est mal notée, à la place de $N$.
Moi je sais que je ne suis pas un très bon algébriste, en comparaison avec certaines pointures de ce forum, mais apparemment il y en a de pires. Les collègues devraient faire attention.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
9) j'ai vu quelque part que EUCLIDIEN implique FACTORIEL
Je pensais que c'était un problème en plusieurs questions. Mais il semble que ce soient des questions que tu te poses à la suite pour une étude d'algèbre. Bon, comme tu veux. Tu peux aussi étudier dans des livres.
Question 9) $\bullet$ Un anneau euclidien est principal. Dans un anneau principal, on a le théorème de Bézout et en conséquence le théorème de Gauss : si $a$ divise $bc$ et si $a$ est premier avec $b$ alors $a$ divise $c$. Il s'ensuit que l'anneau est factoriel. Tout ceci se prouve peu ou prou comme dans $\mathbb Z$ ou $K[x]$. Mais ce n'est pas nécessaire pour prouver que ton anneau $ \mathbb Z[i \sqrt 3]$ n'est pas factoriel, puisque justement il ne l'est pas !
$\bullet$ Soit $\mathbb Z [i \sqrt 3]= \mathbb Z +\mathbb Z i \sqrt 3= \{ x+yi \sqrt 3/x \in \mathbb Z, y \in \mathbb Z \}$, qui est évidemment un sous-anneau de $\mathbb C$.
Le bon outil est la norme $N(...)$, dont nous avons pas mal parlé.
Pour $z \in \mathbb Z [i \sqrt 3]$, soit $ N(z)= z\bar{z} $. C'est un nombre entier naturel, strictement positif si $z \neq 0$, qui vérifie : $N(zz')=N(z)N(z')$.
Un élément $z \in \mathbb Z [i \sqrt 3]$ est une unité de l'anneau (autrement dit un élément inversible) si et seulement si $ N(z)= 1 $. Tu as vu que ces unités sont seulement $\pm 1$.
Par suite un élément $z \in \mathbb Z [i \sqrt 3]$, autre que $0$, $\pm1$, est irréductible si et seulement si il n'existe pas $z_1 \in \mathbb Z [i \sqrt 3]$ et $z_2 \in \mathbb Z [i \sqrt 3]$ tels que : $z=z_1 z_2$, $N(z_1)>1$, $N(z_2)>1$.
Regarde les éléments de l'anneau de petites normes, tu trouveras vite un élément qui s'exprime de deux manières comme produit de deux éléments irréductibles.
Bon courage.
Fr. Ch.
9) Donc il est bon de dire que A est factoriel parce qu'il est euclidien?
J'ai déterminé que $1+i, 1-i, -1+i, -1-i$ sont irréductibles.
l’élément $2$ peut s'écrire de la manière $2=(1+i)(1-i)=(-1-i)(-1+i)$
Donc l'élément 2 peut s'écrire de deux manières différentes comme produit de deux irréductibles.
$\mathbb Z [i \sqrt 3]= \mathbb Z +\mathbb Z i \sqrt 3= \{ x+yi \sqrt 3/x \in \mathbb Z, y \in \mathbb Z \}$ n'est donc pas factoriel
10) (nouvelle question) Démontrer que $(\mathbb Q, +)$ ne peut pas être isomorphe à $(\mathbb Q_+^*,.)$ (penser à $\sqrt(2)$)
Question 9)
$\bullet$ Le mieux me semble de dire que l'anneau $A$ est euclidien, donc principal, donc factoriel.
$\bullet$ Oulah !
Un anneau est factoriel si tout élément qui n'est pas nul et n'est pas une unité admet une décomposition unique en produit de facteurs irréductibles, mais à l'ordre près et à multiplication près par des unités de l'anneau.
Par exemple dans notre bon vieux $\mathbb Z$, les unités sont $\pm 1$ et les irréductibles sont les nombres premiers (positifs ou négatifs). Tu ne vas pas dire que $6= 2 \times 3$ et $6= (-3) \times ( -2)$ sont deux factorisations distinctes. Sinon, personne ne serait factoriel !
Regarde un cours sur les anneaux factoriels, par exemple ici
http://www.les-mathematiques.net/b/a/f/node3.php
ou ailleurs.
$\bullet$ De plus tu dis que $1+i$ et tutti quanti sont irréductibles, mais dans quel anneau ? Dans l'anneau $\mathbb G=\mathbb Z$ des entiers de Gauss, d'accord, anneau qui est euclidien comme l'anneau $\mathbb E=\mathbb Z [j ]$ des entiers d'Eisenstein. Mais certainement pas dans $\mathbb Z [i \sqrt 3]$, puisqu'ils n'en sont pas éléments...
Il faut revoir tout ça.
Le jour qui va se lever y sera propice je pense. Qu'il soit bon pour toi.
Fr. Ch.
Bon courage.
Fr. Ch.
Question : Montrer que si $p^2-4q <-4$ alors il existe uniquement deux inversibles dans l'anneau $\Z[\theta]$.
Jolie question. Encore une application de la Forme Canonique du Trinôme, dont on ne dira jamais assez l'utilité, en complément du Delta, au profit de qui on la néglige trop.
Mais je me demande s'il ne vaudrait pas mieux ouvrir un nouveau fil pour laisser notre pote math65 venir à bout de sa liste de questions dont on ne sait pas encore le nombre total.
C'est ce que je vais sans doute faire, car cette plongée dans l'Algèbre m'a remémoré une curieuse question.
Bonne soirée.
Fr. Ch.