questions sur structures algébriques
Réponses
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D'accord Chaurien, n'hésite pas pour les questions concernant ce jolie domaine.
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9) @Chaurien Pardon, je voulais dire que $1+i\sqrt(3)$, $1-i\sqrt(3)$, $-1-i\sqrt(3)$, $-1+i\sqrt(3)$, $2$ et $-2$ sont irréductibles dans $\mathbb Z [i \sqrt 3]$
Donc, $4\in\mathbb Z [i \sqrt 3] $ peut s'écrire comme $4=2\times2$ mais aussi comme $4=(1+i\sqrt(3))(1-i\sqrt(3))$.
Donc $4$ peut s'écrire comme 2 décompositions différentes d'irréductibles de $\mathbb Z [i \sqrt 3] $ donc $\mathbb Z [i \sqrt 3] $ n'est pas factoriel. est-ce bon?
10) Démontrer que $(\mathbb Q, +)$ ne peut pas être isomorphe à $(\mathbb Q_+^*,.)$ (penser à $\sqrt(2)$) quelqu'un a une piste?
11)Démontrer que l'idéal $I= (x+y^2, y+x^2+2xy^2+y^4)$ de l'anneau $\mathbb C[x,y]$ coïncide avec (x,y)
Merci beaucoup -
10) L'indication est claire ! C'est quoi $\sqrt 2$ ? C'est un nombre $x$ tel que $x^2=2 \in \mathbb Q^{+*}$. Mais est-ce que ce nombre est lui-même dans $\mathbb Q^{+*}$ ?
11) Tu peux commencer par calculer $(x+y^2)^2$ puis procéder par double inclusion. -
Question 9) D'accord, si tu sais justifier que $1+i\sqrt 3 $ et $2$ sont irréductibles.
Questions 10) et 11) Poirot me pique mon boulot ;-) -
Hello,
Juste une petite remarque pour la 11). Je ne veux surtout piquer le boulot de personne. On dispose d'un certain idéal $I$ de $\C[X,Y]$ (je me permets de mettre des majuscules, on va pourquoi ci-dessous), à savoir $I = \langle X+Y^2,\ Y + X^2 + 2XY^2 + Y^4\rangle$ et on veut montrer que $X, Y \in I$. Pour éviter le bricolage, je trouve que c'est plus facile de passer dans le quotient modulo $I$ i.e. dans $\C[x,y] = \C[X,Y]/I$ et de montrer que $x,y$ sont nuls dans ce quotient (bien sûr $x$ est la classe de $X$ modulo $I$ et $y$ la classe de $Y$ modulo $I$). Et dans ce quotient, on a :
$$
x + y^2 = 0, \qquad y + x^2 + 2xy^2 + y^4 = 0, \qquad \quad (\star)
$$
Et le but du jeu est de montrer que ces deux relations $(\star)$ entraînent $x=y=0$. Un tout petit travail achève la chose.
PS1 : $\C$ n'a pas un grand rôle dans l'histoire.
PS2 : Comment inventer de tels exemples ? -
Non, je blaguais, l'émoticône le disait bien. Surtout à l'égard de quelqu'un dont la compétence n'est pas discutable.
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Si l'on veut rédiger sans quotienter.
Soit $U= X+Y^2$ et $V= Y + X^2 + 2XY^2 + Y^4$.
Alors : $V=Y+ (X+ Y^2)^ 2=Y+U^2$, d'où : $Y=V-U^2$, et $X=U-Y^2= U-(V-U^2)^2$.
Il me semble que ça suffit pour prouver que $X$ et $Y$ sont éléments de l'idéal $ \langle U,V \rangle$.
Ou bien je n'ai pas vu quelque chose ? -
9) @Chaurien, J'ai montré que $1+i\sqrt(3)$, $1-i\sqrt(3)$, $-1-i\sqrt(3)$, $-1+i\sqrt(3)$, $2$ et $-2$ sont irréductibles dans $\mathbb Z [i \sqrt 3]$ dans une autres questions que je n'ai pas mentionné ici, où ils me demandaient de montrer que tout $z \in \mathbb Z [i \sqrt 3]$ tel que $N(z)=4$ (avec $N$ la fonction $\phi$ que je mentionne depuis le début) est irréductible (fait grâce à un exemple trouvé sur le net)
10)
Je ne sais pas si c'est bon mais :
Si on raisonne par l'absurde, soit $f$ un isomorphisme de $(\mathbb Q, +) $ dans $(\mathbb Q^*, .) $
l'équation $f(2x)=2$ admet une unique solution or $f(2x)=(f(x))^2$
Donc cette solution vérifie aussi $(f(x))^2=2$ soit $f(x)=\sqrt(2)$ ou $f(x)=-\sqrt(2)$. Impossible car $f$ est à valeur dans $\mathbb Q^*$
11) Si j'ai bien compris, il faut montrer que $(x,y)$ est inclus dans $I= (x+y^2, y+x^2+2xy^2+y^4)$ et vis versa.
Il est évident que $(x+y^2, y+x^2+2xy^2+y^4) \subset (x,y)$
et la démonstration de Chaurien permet de prouver $(x,y) \subset (x+y^2, y+x^2+2xy^2+y^4) $
12) Trouver la somme des racines et la somme des carrés des racines de $x^3 + 2x-3$ -
@math65
Question 9) Tu as sans doute observé que la norme $N(...)$ est un bon outil pour l'étude ces anneaux d'entiers quadratiques. Par exemple pour caractériser les irréductibles. Et si $N(z)$ est un nombre premier dans $ \mathbb Z$, alors $z$ est irréductible dans l'anneau.
Question 10) Tu as trouvé. De même les groupes $(\mathbb Q, +)$ et $(\mathbb Q_+^*, \cdot )$ ne sont pas isomorphes, alors que les groupes $(\mathbb R, +)$ et $(\mathbb R_+^*, \cdot )$ le sont.
Tu peux prouver aussi que les groupes $ (\mathbb C, +)$ et $ (\mathbb C^*, \cdot )$ ne sont pas isomorphes, mais bizarrement les groupes $(\mathbb C, +)$ et $ (\mathbb R, +)$ le sont (un peu plus difficile).
Question 12) Les relations bien connues entre les coefficients et les racines d'un polynôme te permettent de répondre, et elles sont très simples pour le degré $3$.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Merci
12) je vais regarder
13) Soient $a,b,c,d$ quatre éléments distincts de $\{1,\dots ,n\}$. Calculer dans $S_n$ le produit $(abc) \circ (bcd)$
En déduire que pour tout entier $n \ge 3$, $A_n$ est engendré par les 3-cycles -
13) As-tu fait le calcul demandé ? Qu'as-tu trouvé ?
Edit. Grosse faute corrigée. -
Question 13) Et pour le résultat concernant $\mathfrak A_n$, calcule aussi dans $\mathfrak{S}_{n}$ le produit $(ac) \circ (ab)$, avec $a,b,c $ distincts.
Souvenir, souvenir : Georges Papy écrivait « tricycles » pour 3-cycles... -
12) $x^3 + 2x-3$ On peut remarquer que $1$ est une racine évidente puis on peut trouver les autres racines après factorisation.
Ensuite, on fait la somme des racines et la somme de leurs carrés
Mais y-a-t'il une autre possibilité de le déterminer sachant que pour un polynôme $ax^3+bx^2+cx+d$ de racines $x_1$, $x_2$, $x_3$, on a :
$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$
$x_1x_2 + x_3x_1 + x_3x_2 = \frac{c}{a}$
$x_1x_2 x_3 = -\frac{d}{a}$
Surtout pour trouver la somme des carrés des racines?
13) $(abc) $ et $(bcd)$ sont des permutations mais la manière dont c'est écrit me donne des difficultés
par exemple $(abc) $ signifie que $a$ se change en $b$, $b$ se change en $c$ et $c$ se change en $a$ ? -
Oui c'est classique, tout polynôme symétrique en les variables $x_1, x_2, x_3$ s'exprime polynomialement en fonction des polynômes symétriques élémentaires en $x_1, x_2, x_3$. Ici on a un cas très particulier : $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1+x_2+x_3)^2 - 2 (x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)$.
Et c'est ça pour la lecture d'un cycle. -
@ math65
Question 13)
Si cela peut t'aider, tu peux exécuter les composées d'applications au moyen d'un tableau.
Je ne sais pas faire les tableaux avec le LaTeX du forum.
Et corrige tes fautes d'orthographe ! -
Merci,
je reviens à des questions précédentes:
4) pour calculer le corps des fractions des deux sous-anneaux de $\mathbb C$ qui sont $\mathbb Z[i\sqrt(3)]=\{ a+bi \sqrt(3) | a,b \in \mathbb Z\}$ et $ A = \{ a + b\theta | a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$
J'ai pu finalement prouver que les corps des fractions de $A$ et $\mathbb Z[i\sqrt(3)]$ est le même et est $\mathbb Q[i\sqrt(3)]=\{ a+bi \sqrt(3) | a,b \in \mathbb Q\}$
7) $\{0\} \times \mathbb R$ et $ \mathbb R \times \{0\}$ sont des idéaux de $\mathbb R \times \mathbb R$ pour l'opération produit $(x,y)\times(x',y')=(x\times x',y\times y')$ ai-je raison ?
13) $(abc) \circ (bcd)=(ab) \circ (cd)$. D'après ce que je sais $A_n$ est engendré par un nombre pair de transpositions. Or le produit de 2 transpositions quelconques est égale au produit de 2 3-cycles. Ainsi $A_n$ peut être engendré par les 3-cycles. ? -
@ math65
Question 4) C'est bon, mais un corps se note plutôt avecdes parenthèses : $\mathbb Q(i \sqrt 3)$.
Question 7) Il me semble bien que ce sont des idéaux.
Question 13) En effet tout élément du groupe alterné $\mathfrak A_n$ est le produit d'un nombre pair de transpositions, qu'on peut regrouper deux par deux consécutives. Mais le produit de deux transpositions consécutives n'est pas nécessairement $(ab) \circ (cd)$ avec $a,b,c,d$ distincts. Il me semble t'avoir donné une indication à ce sujet.
Bon courage.
Fr. Ch. -
13) J'ai vu qu'il y avait deux autres cas :
comme Chaurien me l'a suggéré si il y a une lettre en commun entre les deux transpositions $(ac) \circ (ab)$ qui correspond à $(abc)$
si il y a deux lettres en communs entre les deux transpositions $(ab) \circ (ab)$ qui correspond à $(aaa)$
Donc tout produit de deux transpositions correspond à un produit de 3-cycles donc $\mathfrak A_n$ est engendré par les 3-cycles.
bon? -
Question 13) Je ne dirais pas que le produit $(ab) \circ (ab)$ est un 3-cycle, c'est l'identité, qui peut être supprimée comme facteur d'un produit. En principe un 3-cycle porte sur trois éléments distincts je pense. Mais sinon ça va.
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Un $3$-cycle est un élément de la forme $(abc)$ avec $a,b,c$ deux à deux distincts. C'est un élément d'ordre $3$ du groupe $\mathfrak S_n$ (et même $\mathfrak A_n$) mais la réciproque est en général fausse. En particulier, l'identité n'est pas un $3$-cycle.
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Personne ne m'a dit comment faire un tableau avec le LaTeX du forum... :-(
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Bonsoir Chaurien
[begin Hors sujet]
Il n'est pas possible sur le forum d'utiliser l'environnement tabular qui connstruit des tableaux hors du mode math.
En revanche il est possible d'utiliser l'environnement array qui lui nécessite le mode math.
Exemple
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&a&b&c&d\\
\hline
(bcd)&&c&&\\
\hline
(abc) \\
\hline
\end{array}$
[end Hors sujet]
Alain -
Merci beaucoup AD, toujours serviable.
Je ne comprends pas bien ces questions de mode et d'environnement.
Je pense que je donne des messages avec des calculs rédigés correctement, mais je vous laisse deviner comment je procède...
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
13) $\mathfrak A_n$ est engendré par les 3-cycles signifierait pour moi que le produit de deux 3-cycles quelconques est égal à un produit de deux transpositions. Or $(abc) \circ (def)$ avec $a,b,c,d,e,f$ distincts n'est pas égal à un produit de 2 transpositions. Peut-on réellement dire que $\mathfrak A_n$ est engendré par les 3-cycles? $\mathfrak A_n$ est plutôt engendré par certains 3-cycles.
14) Trouver un générateur de l'idéal $I \cap J$ de $\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$, où $I = (2x^3+ x +1)$ et $J = (x^2 + 2)$
A-t-on $$\frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I \cap J} \approx \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I} \times \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{J}\ \ ?$$ -
math65 a écrit:Peut-on réellement dire que $\mathfrak A_n$ est engendré par les 3-cycles? $\mathfrak A_n$ est plutôt engendré par certains 3-cycles.
13) Puisque tous les $3$-cycles sont dans $\mathfrak A_n$, si $\mathfrak A_n$ est engendré par certains $3$-cycles, alors a fortiori il est engendré par tous les $3$-cycles.
Alain -
13) @AD
D'accord, merci, je comprends. Par exemple, dans l'exemple que je donne $(abc) \circ (def)$ avec $a,b,c,d,e,f$ distincts, on peut montrer que $(abc) =(ab) \circ (ac)$ et $(def) =(de) \circ (df)$ donc que $(abc) \circ (def)=(ab) \circ (ac) \circ (de) \circ (df)$ qui est un élément de $\mathfrak A_n$
14) Trouver un générateur de l'idéal $I \cap J$ de $\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$, où $I = (2x^3+ x +1)$ et $J = (x^2 + 2)$
A-t-on $$\frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I \cap J} \approx \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I} \times \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{J}\ \ ?$$ -
Question 13) N'oublie pas que ton but est de prouver que toute permutation paire est le produit de 3-cycles. Dans l'exemple que tu donnes, si tu as $(abc) \circ (def)$, tu es bien content puisque tu as un produit de deux 3-cycles, et tu ne fais rien. C'est une autre façon de redire ce qu'a dit AD, bien plus autorisé que moi à te parler d'algèbre.
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Ton 14) n'a aucune chance de marcher, pour peu que $I \cap J$ soit un idéal premier de l'anneau $\mathbb Z/3 \mathbb Z[X]$, avec $I$ et $J$ des idéaux propres de notre anneau, on obtient à gauche un anneau intègre, et à droite un anneau non intègre...
Il faut faire un raisonnement plus terre à terre : $$I \cap J = \{P \in \mathbb Z/3 \mathbb Z[X], 2X^3+X+1 \mid P \text{ et } X^2+2 \mid P\}.$$ N'y a-t-il pas un bon candidat à être générateur de cet idéal ? -
13) @Chaurien Ce que tu appelles une permutation paire, c'est bien un produit d'un nombre pair de transpositions ?
Dans $(abc) \circ (def)=(ab) \circ (ac) \circ (de) \circ (df)$, j'invalide simplement le contre-exemple que j'avais tenté de donner pour tenter de prouver tous les 3-cycles n'engendraient pas $\mathfrak A_n$
14)@Poirot J'avoue que j'ai encore du mal à comprendre $Z/3 \mathbb Z$.
Si $I \cap J = \{P \in \mathbb Z/3 \mathbb Z[X], 2X^3+X+1 \mid P \text{ et } X^2+2 \mid P\}$
Alors, il faut que je trouve un polynôme qui divise $2X^3+X+1$ et $X^2+2$. Celui-ci ne peut être que de degré 2 ou 1 ou 0. Mais puisque $X^2+2$ ne divise pas $2X^3+X+1$ alors le degré 2 n'est pas possible. $X^2+2$ n'est divisible par aucun polynôme de degré 1. Il ne reste plus que le polynôme de degré 0. Donc le polynôme 1 est générateur de $I \cap J$ -
Tu dis : je cherche un polynôme qui divise .... tu es certain que ce n'est pas un multiple que tu cherches ?
Pour $Z/3Z$, pour calculer tu peux faire des calculs standard dans $\Z$ en ajoutant l'égalité $3=0$ par exemple : $2 \times 2 = 4$ mais $4=3+1$ donc $4=1$. -
Travailler dans $\mathbb Z/3 \mathbb Z$ ce n'est rien d'autre que décréter $3=0$, et toutes les opérations algébriques usuelles fonctionnent de la même manière (addition, soustraction, multiplication). Pour la division, c'est un tout petit peu plus subtil, mais ici tout se passe bien car $3$ est un nombre premier donc tous les éléments non nuls ont un inverse ($1 \times 1 = 1$ et $2 \times 2 =1$).
Pour ton idéal, si $1$ était générateur, ça voudrait dire que $I \cap J$ serait l'anneau tout entier. Ce n'est clairement pas le cas puisque le polynôme $X$ n'est pas dans cet idéal par exemple. Comme l'a dit moduloP, il faudrait plutôt que du regarde au niveau des multiples communs... -
14)@Poirot @moduloP Pardon, j'avais mal compris. tout élément de $I \cap J = \{P \in \mathbb Z/3 \mathbb Z[X], 2X^3+X+1 \mid P \text{ et } X^2+2 \mid P\}$ doit être divisible par $2X^3+X+1$ et par $X^2+2$. puisque $2X^3+X+1$ n'est pas divisible par $X^2+2$, alors l'élément $(X^2+2)(2X^3+X+1)=2X^5+5X^3+X^2+2X+2$ fait partie de $I \cap J$ et peut être un générateur de $I \cap J$
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Je ne comprends pas trop pourquoi tu dis : puisque $2x^3+x+1$ n'est pas divisible par $x^2+2$ alors ...
Ceci dit je suis d'accord que le produit est bien dans l'intersection ... a toi de prouver que c'est bien un générateur ! -
Tu n'as pas prouvé que $x^2+2$ ne divise pas $2x^3+x+1$. Sur $\mathbb Z/ 3 \mathbb Z$ tu pourrais avoir des surprises. Le fait que leur produit soit dans $I \cap J$ résulte de la définition de $I \cap J$, rien à voir avec ces histoires de divisibilité. Là où ça pourrait éventuellement jouer est sur le fait que leur produit est bien un générateur ou non.
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14)
Pour revenir à $Z/3Z$, il n'y a en fait que 3 éléments dans cet anneau : $0$, $1$ et $2$?
Pour moi, si $2X^3+X+1$ aurait été divisible par $X^2+2$ alors $2X^3+X+1$ aurait pu être générateur de $I \cap J$ car il est divisible par lui-même et par $X^2+2$
Ai-je vraiment besoin de prouver que $(X^2+2)(2X^3+X+1)=2X^5+5X^3+X^2+2X+2$ est générateur de $I \cap J$? puisque tout élément de $I \cap J$ est divisible par $(X^2+2)$ et par $(2X^3+X+1)$, il ne pourra s'écrire que comme $(X^2+2)(2X^3+X+1)\times P(X)$ -
Bonjour
Essaye de répondre à la même question avec $x^3-1$ et $x^4-1$. Ce n'est pas uniquement une question de divisibilité mais plutôt de facteurs en communs. -
14)
Pour revenir à $Z/3Z$, il n'y a en fait que 3 éléments dans cet anneau : $0$, $1$ et $2$?
@moduloP $x^3-1$ et $x^4-1$ ont un diviseur commun $x-1$. En fait si j'ai bien compris, il s'agit de trouver le PPCM (pour les polynômes) du générateur de $I$ et du générateur de $J$ pour trouver le générateur de $I \cap J$
Donc dans mon cas, un générateur de $I \cap J$ est $(X^2+2)(2X^3+X+1)=2X^5+5X^3+X^2+2X+2$
Comment voir si :
$$\frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I \cap J} \approx \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I} \times \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{J}$$ -
Oui trois éléments dans $\Z / 3 \Z$, généralement on le note $\mathbb{F}_3$ pour corps fini à $3$ éléments. C'est-à-dire, en plus d'avoir une addition et une multiplication, tu as aussi possibilité des faire des divisions par les éléments non nuls, ainsi ${1 \over 2} = 2$ car $2 \times 2 = 4 = 1$ (dans $\mathbb{F}_3$).
Je te rappelle en passant que lorsque tu considères l'anneau des polynômes sur un corps alors celui-ci est euclidien, ce qui permet d'avoir une très bonne théorie : pgcd ppcm, lemme de Gauss, décomposition en éléments irréductibles et d'autres trucs (voir le cours).
Pour les histoires d'isomorphismes, l'idée est souvent d'utiliser le premier théorème d'isomorphisme, qui se met en place de la manière suivante.
Soit $\Phi : \mathbb{F}_3[x] \to \mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ défini par $\Phi(P) = \big(P \pmod{I}, P \pmod{J}\big)$. Montrer que celui-ci est surjectif et que le noyau est bien $I \cap J$. -
math65 a écrit:un générateur de $I \cap J$ est $(X^2+2)(2X^3+X+1)=2X^5+5X^3+X^2+2X+2$
Tu ne l'as pas montré ! Tu as bien compris qu'il fallait trouver le PPCM de tes deux polynômes, mais tu n'as pas montré qu'il s'agit de leur produit. Ils pourraient avoir des facteurs communs, comme pour $X^4-1$ et $X^3-1$. -
11)Je reviens à cette question : "Démontrer que l'idéal $I= (x+y^2, y+x^2+2xy^2+y^4)$ de l'anneau $\mathbb C[x,y]$ coïncide avec (x,y)" Je n'avais pas vu que l'on demandait ensuite de montrer que $\mathbb C[x,y]/I$ est isomorphe à $\mathbb C$ comment faire?
14) $(X^2+2)$ et $(2X^3+X+1)$ n'ont pas de facteur commun car $(X^2+2)$ n'a que pour facteur $1$ et $(2X^3+X+1)$ n'a pas pour facteur $(X^2+2)$. est-ce que c'est suffisant pour dire que $(X^2+2)(2X^3+X+1)$ est générateur de $I \cap J$
pour montrer $$\frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I \cap J} \approx \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I} \times \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{J}$$
A) Montrons que $\Phi : \mathbb{F}_3[x] \to \mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ défini par $\Phi(P) = \big(P \pmod{I}, P \pmod{J}\big)$ est surjectif :
Soit $P \in \mathbb{F}_3[x] / I $ et $Q \in \mathbb{F}_3[x] / J$
mais je n'ai pas d'idée pour continuer
Montrons que $\Phi$ a pour noyau $I \cap J$
Soit $P \in I \cap J$ , $\Phi(P) = \big(P \pmod{I}, P \pmod{J}\big)$
Il existe $Q \in \mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$ tel que $P=Q(X^2+2)(2X^3+X+1)$
Donc $P \pmod{I} = P \pmod{X^2+2} = 0 $ et $P \pmod{J} = P \pmod{2X^3+X+1} = 0 $
Donc $I \cap J \subset Ker \phi$
Soit $P \in Ker \phi$, $\Phi(P) = \big(0 \pmod{I}, 0 \pmod{J}\big)$
Donc $P$ est un multiple de $X^2+2$ et $2X^3+X+1$ et Il existe $Q \in \mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$ tel que $P=Q(X^2+2)(2X^3+X+1)$ soit $P \in I \cap J $
Donc $Ker \phi \subset I \cap J $ et $Ker \phi =I \cap J $ -
math65 a écrit:$(X^2+2)$ n'a que pour facteur $1$
???
Si c'était le cas, il serait constant ! Ici on parle de facteur irréductible. Est-ce que $X^2+1$ est irréductible ? Si oui, il faut regarder s'il divise $2X^3+X+1$. Si non, il faut regarder si ses facteurs irréductibles (qui sont de degré $1$) divisent $2X^3+X+1$. -
11)Je reviens à cette question : "Démontrer que l'idéal $I= (x+y^2, y+x^2+2xy^2+y^4)$ de l'anneau $\mathbb C[x,y]$ coïncide avec (x,y)" Je n'avais pas vu que l'on demandait ensuite de montrer que $\mathbb C[x,y]/I$ est isomorphe à $\mathbb C$ comment faire?
Je pense déjà que si l'idéal $I= (x+y^2, y+x^2+2xy^2+y^4)$ de l'anneau $\mathbb C[x,y]$ coïncide avec $(x,y)$ alors $\mathbb C[x,y]/I$ est isomorphe à $\mathbb C[x,y]/(x,y)$. Il ne reste donc plus qu'à montrer que $\mathbb C[x,y]/(x,y)$ est isomorphe à $\mathbb C$.
Dois-je comme dans la question 14) définir $\phi : \mathbb C[x,y] \to \mathbb C$ et montrer que $\phi$ est surjective et que $Ker(\phi)=(x,y)$?
14) $X^2+2$ n'admet que $1$ et lui-même comme diviseur. Je pense donc que l'on peut dire qu'il est irréductible.
En faisant une rapide division euclidienne, j'ai remarqué que $X^2+2$ ne divise pas $2X^3+X+1$, ils n'ont donc aucun facteur commun (sauf 1). Ainsi $(X^2+2)(2X^3+X+1)$ est générateur de $I \cap J$.
C'est plutôt la deuxième partie qui me préoccupe :
pour montrer que $$\frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I \cap J} \approx \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I} \times \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{J}$$
A) Montrons que $\Phi : \mathbb{F}_3[x] \to \mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ défini par $\Phi(P) = \big(P \pmod{I}, P \pmod{J}\big)$ est surjective :
Soit $P \in \mathbb{F}_3[x] / I $ et $Q \in \mathbb{F}_3[x] / J$
On veut montrer qu'il existe $R \in \mathbb{F}_3[x] $ tel que $P= R \pmod{I}$ et $Q= R \pmod{J}$
mais je n'ai pas d'idée pour continuer. Montrons que $\Phi$ a pour noyau $I \cap J$
Soit $P \in I \cap J$ , $\Phi(P) = \big(P \pmod{I}, P \pmod{J}\big)$
Il existe $Q \in \mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$ tel que $P=Q(X^2+2)(2X^3+X+1)$
Donc $P \pmod{I} = P \pmod{X^2+2} = 0 $ et $P \pmod{J} = P \pmod{2X^3+X+1} = 0 $
Donc $I \cap J \subset Ker \phi$
Soit $P \in Ker \phi$, $\Phi(P) = \big(0 \pmod{I}, 0 \pmod{J}\big)$
Donc $P$ est un multiple de $X^2+2$ et $2X^3+X+1$ et Il existe $Q \in \mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$ tel que $P=Q(X^2+2)(2X^3+X+1)$ soit $P \in I \cap J $
Donc $Ker \phi \subset I \cap J $ et $Ker \phi =I \cap J $ -
Tu parles de $X^2+1$ au lieu de $X^2+2$ soudainement... Et tu n'as toujours pas montré que $X^2+2$ était irréductible dans $\mathbb Z/3 \mathbb Z[X]$. Je ne te parle même pas des diviseurs, il y en a plus que ceux dont tu as parlé, il admet aussi $2$ comme diviseur par exemple...
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oui comme à la question 13. a toi de trouver le morphisme $\phi$.
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11) Pour montrer que $\mathbb C[x,y]/(x,y)$ est isomorphe à $\mathbb C$, je ne vois pas le morphisme $\phi : \mathbb C[x,y] \to \mathbb C$ car déjà j'ai du mal à comprendre ce qu'est $\mathbb C[x,y] $, c'est bien l'ensemble des polynôme à deux variables à coefficient dans $\mathbb C$?
14) Le polynôme est $X^2+2$ et non $X^2+1$ (J'avais recopié un des polynôme indiqué par Poirot). En posant $ X^2+2 = (aX+b)(cX+d)$, j'ai montré que $ X^2+2 =(X+1)(X+2)$.
J'ai vu que $X^2+2$ ne divise pas $2X^3+X+1$ en posant $2X^3+X+1=(X^2+2)(aX+b)$
En faisant le même raisonnement, $(X+1)(aX^2+bX+c)=2X^3+X+1$ et $(X+2)(aX^2+bX+c)=2X^3+X+1$, je suis tombé sur une incohérence, ce qui signifie que $2X^3+X+1$ n'est pas divisible par $(X+1)$ ou $(X+2)$. Il n'y a donc pas de facteurs communs à $2X^3+X+1$ et $(X^2+2)$ Est-ce que c'est bon cette fois ci?
pour la suite pour montrer que $$\frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I \cap J} \approx \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I} \times \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{J}$$
A) Montrons que $\Phi : \mathbb{F}_3[x] \to \mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ défini par $\Phi(P) = \big(P \pmod{I}, P \pmod{J}\big)$ est surjective :
Soit $P \in \mathbb{F}_3[x] / I $ et $Q \in \mathbb{F}_3[x] / J$
On veut montrer qu'il existe $R \in \mathbb{F}_3[x] $ tel que $P= R \pmod{I}$ et $Q= R \pmod{J}$
Donc $R = Q \times (X^2+2)$ et $R = P \times (2X^3+X+1)$
mais je n'ai pas d'idée pour continuer. Montrons que $\Phi$ a pour noyau $I \cap J$
Soit $P \in I \cap J$ , $\Phi(P) = \big(P \pmod{I}, P \pmod{J}\big)$
Il existe $Q \in \mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$ tel que $P=Q(X^2+2)(2X^3+X+1)$
Donc $P \pmod{I} = P \pmod{X^2+2} = 0 $ et $P \pmod{J} = P \pmod{2X^3+X+1} = 0 $
Donc $I \cap J \subset Ker \phi$
Soit $P \in Ker \phi$, $\Phi(P) = \big(0 \pmod{I}, 0 \pmod{J}\big)$
Donc $P$ est un multiple de $X^2+2$ et $2X^3+X+1$ et Il existe $Q \in \mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$ tel que $P=Q(X^2+2)(2X^3+X+1)$ soit $P \in I \cap J $
Donc $Ker \phi \subset I \cap J $ et $Ker \phi =I \cap J $ -
Bonjour,
Oui, c'est les polynômes en deux variables à coefficient dans $\C$.
Pour la 13/
Si tu trouves un antécédent pour $(1,0)$ et pour $(0,1)$ alors c'est gagné ... Bézout ...
Pour l'histoire d'intersection c'est trop lourd ce que tu as fait ! D'ailleurs tu as changé $x^2+1$ et $x^2+1$. -
Il y a un proposition importante que tu ne sembles pas avoir lu.
Un polynôme $P$ est divisible par un polynôme $x-a$ si et seulement si $P(a)=0$. -
11) Pour montrer que $\mathbb C[x,y]/(x,y)$ est isomorphe à $\mathbb C$, j'utilise le morphisme $\phi : \mathbb C[x,y] \to \mathbb C$ tel que $\phi(P)= P(0,0)$.
On montre facilement que $\phi$ est surjectif et que $(x,y)$ est son noyau car l'idéal $(x,y)$ ne contient pas de coefficient pour $X^0Y^0$ donc pour tout $P \in (x,y)$, $P(0,0)=0$.
Cela prouve que $\mathbb C[x,y]/(x,y)$ est isomorphe à $\mathbb C$ donc $\mathbb C[x,y]/I$ ($I= (x+y^2, y+x^2+2xy^2+y^4)$) est isomorphe à $\mathbb C$ car $I$ coïncide avec $(x,y)$.
13) @moduloP, c'est lourd ce que je fais mais est-ce que c'est bon pour montrer que $(2X^3+X+1)(X^2+2)$ est générateur de $ I \cap J $ ?
Est-ce que mon raisonnement pour prouver que $\Phi$ a pour noyau $I \cap J$ ci-dessus est bon?
@moduloP comment trouver les antécédents de $(1,0)$ et $(0,1)$ et en quoi cela prouve que $\phi$ est surjective?
Merci -
13) Est-ce que les polynôme de $\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$ sont bien définis de $\mathbb Z / 3 \mathbb Z$ dans $\mathbb Z / 3 \mathbb Z$ ?
Plus généralement, Est-ce que les polynôme de $K[x]$ sont bien définis de $K$ dans $K$, avec $K$ un corps ? -
Est-ce que tu serais en train de confondre polynôme et fonction polynomiale ?
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Bonjour!
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