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questions sur structures algébriques

Envoyé par math65 
Re: questions sur structures algébriques
il y a sept mois
Est-ce que tu serais en train de confondre polynôme et fonction polynomiale ?
Re: questions sur structures algébriques
il y a sept mois
Que penses-tu des deux polynômes $P(x) = x$ et $Q(x) = x^3$ ? (toujours sur $\mathbb{F}_3 = \Z/3\Z$

Pour les autres questions : Regarde les histoires de Bézout etc



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par moduloP.
Re: questions sur structures algébriques
il y a sept mois
@GaBuZoMeu tu as bien compris ce que je voulais dire. Est-ce que les polynômes (fonctions polynomiales!) de $\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$ sont bien définis de $\mathbb Z / 3 \mathbb Z$ dans $\mathbb Z / 3 \mathbb Z$ ?

Pour moi la réponse est OUI

@moduloP Les deux polynômes P et Q semble être les mêmes sur $\mathbb{F}_3 = \Z/3\Z$. Cela semble donc confirmer ma réponse ci-dessus.

Qui peut me confirmer si c'est bon ce raisonnement ? :
11) Pour montrer que $\mathbb C[x,y]/(x,y)$ est isomorphe à $\mathbb C$, j'utilise le morphisme $\phi : \mathbb C[x,y] \to \mathbb C$ tel que $\phi(P)= P(0,0)$.
On montre facilement que $\phi$ est surjectif et que $(x,y)$ est son noyau car l'idéal $(x,y)$ ne contient pas de coefficient pour $X^0Y^0$ donc pour tout $P \in (x,y)$, $P(0,0)=0$.
Cela prouve que $\mathbb C[x,y]/(x,y)$ est isomorphe à $\mathbb C$ donc $\mathbb C[x,y]/I$ ($I= (x+y^2, y+x^2+2xy^2+y^4)$) est isomorphe à $\mathbb C$ car $I$ coïncide avec $(x,y)$.
Re: questions sur structures algébriques
il y a sept mois
Citation

les polynômes (fonctions polynomiales!)
Les polynômes NE SONT PAS les fonctions polynomiales !!!!
Tu fais une grave erreur si tu les confonds, surtout en travaillant sur des corps finis.
Re: questions sur structures algébriques
il y a sept mois
@GaBuZoMeu posons la question d'une autre manière Est-ce que les éléments de $\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$ sont bien définis de $\mathbb Z / 3 \mathbb Z$ dans $\mathbb Z / 3 \mathbb Z$ ?

Pour moi la réponse est OUI

@moduloP Les deux polynômes P et Q semble être les mêmes sur $\mathbb{F}_3 = \Z/3\Z$. Cela semble donc confirmer ma réponse ci-dessus.

Qui peut me confirmer si c'est bon ce raisonnement ? :
11) Pour montrer que $\mathbb C[x,y]/(x,y)$ est isomorphe à $\mathbb C$, j'utilise le morphisme $\phi : \mathbb C[x,y] \to \mathbb C$ tel que $\phi(P)= P(0,0)$.
On montre facilement que $\phi$ est surjectif et que $(x,y)$ est son noyau car l'idéal $(x,y)$ ne contient pas de coefficient pour $X^0Y^0$ donc pour tout $P \in (x,y)$, $P(0,0)=0$.
Cela prouve que $\mathbb C[x,y]/(x,y)$ est isomorphe à $\mathbb C$ donc $\mathbb C[x,y]/I$ ($I= (x+y^2, y+x^2+2xy^2+y^4)$) est isomorphe à $\mathbb C$ car $I$ coïncide avec $(x,y)$.
gb
Re: questions sur structures algébriques
il y a sept mois
avatar
Bonjour,

Pour moi (et d'autres...) la réponse est \(\mathbf{non}\).

Si \(x\) et \(x^3\) étaient le même polynôme, quel serait son degré ? 1 ou 3 ?
Re: questions sur structures algébriques
il y a sept mois
avatar
$\mathbb Z / 3 \mathbb Z$ est un ensemble fini. Combien existe-t-il de fonctions qui vont de $\mathbb Z / 3 \mathbb Z$ dans $\mathbb Z / 3 \mathbb Z$ ? Combien y a-t-il de polynômes dans $\mathbb Z / 3 \mathbb Z [X]$ ?

En algèbre, un polynôme n'est pas une fonction mais un objet beaucoup plus riche ; si l'on ne s'intéressait qu'aux fonctions, le corps à trois éléments serait bien triste.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Le Lui ou un Autre.
Re: questions sur structures algébriques
il y a sept mois
Mais alors est-ce que quelqu'un va pouvoir m'indiquer de quel ensemble vers quel ensemble sont définis les éléments de $\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$? ou est-ce que cela n'a pas de sens ce que je demande? merci

14) Avec $J=(X^2+2)$ et $I=(2X^3+X+1)$
$\Phi : \mathbb{F}_3[x] \to \mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ défini par $\Phi(P) = \big(P \pmod{I}, P \pmod{J}\big)$

Est-ce que $P \pmod{I}$ et $P \pmod{J}$ désignent respectivement le reste de la division euclidienne de $P$ par $2X^3+X+1$ et de $P$ par $X^2+2$?

Qui peut me confirmer si c'est bon ce raisonnement ? :
11) Pour montrer que $\mathbb C[x,y]/(x,y)$ est isomorphe à $\mathbb C$, j'utilise le morphisme $\phi : \mathbb C[x,y] \to \mathbb C$ tel que $\phi(P)= P(0,0)$.
On montre facilement que $\phi$ est surjectif et que $(x,y)$ est son noyau car l'idéal $(x,y)$ ne contient pas de coefficient pour $X^0Y^0$ donc pour tout $P \in (x,y)$, $P(0,0)=0$.
Cela prouve que $\mathbb C[x,y]/(x,y)$ est isomorphe à $\mathbb C$ donc $\mathbb C[x,y]/I$ ($I= (x+y^2, y+x^2+2xy^2+y^4)$) est isomorphe à $\mathbb C$ car $I$ coïncide avec $(x,y)$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par math65.
Re: questions sur structures algébriques
il y a sept mois
Pour les polynômes non pas d'identification entre fonctions et polynômes. En clair, on peut bien sûr considérer pour chaque polynôme $P \in \mathbb{F}_3[x]$, la fonction $\hat{P} : \mathbb{F}_3 \to \mathbb{F}_3$. Mais on perd une propriété importante : ce n'est pas parce que les fonctions sont égales que les polynômes sont égaux.

Pour $\C[x,y]$. Ok pour le morphisme, ensuite c'est un peu flou je trouve. Pour surjectif, soit $z \in \C$, posons $P = z $ le polynôme de degré $0$. alors $\phi(P) = z$ donc surjectif.

Pour le noyau, soit $P \in (x,y)$ alors $P = x P_1+yP_2$ ainsi $P(0,0) = 0$. Réciproquement, soit $P$ tel que $P(0,0)=0$ alors on écrit $P(x,y) = \sum_{i,j} a_{ij} x^i y^j$ et $a_{00} = 0$ et ...
Re: questions sur structures algébriques
il y a sept mois
@math65 : ce que les autres intervenants s'évertuent à te dire est que les polynômes dont tu parles ne sont pas "de quelque part dans quelque part" puisque ce ne sont pas des fonctions, donc en effet ça n'a pas de sens. Ce sont des éléments d'un certain anneau (dans ton cas $\mathbb Z/3 \mathbb Z[X]$). Il ne faut pas confondre polynôme et fonction polynomiale : le polynôme $X^3-X$ n'est clairement pas le polynôme nul (l'élément $0$ dans l'anneau $\mathbb Z/3 \mathbb Z[X]$), tandis que la fonction polynomiale associée $x \mapsto x^3-x$ définie sur $\mathbb Z/3 \mathbb Z$ est la fonction nulle !
Re: questions sur structures algébriques
il y a sept mois
Tu n'as peut-être jamais vu de définition formelle des polynômes. Un polynôme à coefficients dans un anneau commutatif $A$, c'est une famille $P=(p_n)_{n\in \N}$ d'éléments de $A$, indexée par $\N$, telle que $p_n=0$ pour tous les $n\in \N$, sauf un nombre fini. ($p_n$ est le coefficient de degré $n$ du polynôme $P$).
Si tu veux voir un polynôme comme une fonction, c'est en fait une fonction $\N\to A$ à support fini !
Par exemple, pour $A=\Z/3\Z$, le polynôme $X^3-X$ est la famille de ses coefficients : $(0,-1,0,1,0,0,\ldots)$. Et c'est bien différent du polynôme nul, qui est bien sûr $(0,0,\ldots)$.
Re: questions sur structures algébriques
il y a sept mois
Toute application d'un corps fini dans lui-même est une fonction-polynôme.
Re: questions sur structures algébriques
il y a sept mois
Ce n'est pas pour dénigrer l'intérêt mathématique des deux dernières interventions, mais j'ai peur qu'elles perdent math65 plus qu'elles ne l'aident à y voir plus clair !
Re: questions sur structures algébriques
il y a sept mois
math65 travaille sur des quotients d'anneaux de polynômes, mais visiblement il ne connaît pas de définition mathématique de "polynôme". J'ai commis l'erreur impardonnable de lui donner une telle définition, mea culpa. D'autant plus que Poirot l'avait déjà largement informé en lui précisant que les polynômes sont "les éléments d'un certain anneau". winking smiley
Re: questions sur structures algébriques
il y a sept mois
Moi c'était pour pointer sur une jolie propriété, pas difficile à prouver, et qui peut servir à lutter contre la confusion entre polynôme formel et fonction-polynôme.
Le questionneur devrait consulter un cours, que nos interventions ne sauraient remplacer.
Bon courage à lui et bonne journée à tous.
Le jour se lève pour nous, hélas pas pour Johnny Halliday, qu'il repose en paix.
Fr. Ch.
Re: questions sur structures algébriques
il y a six mois
Je retiens la différence entre polynôme et fonction polynomiale.


14)
Je reviens sur ce problème :
Trouver un générateur de l'idéal $I \cap J$ de $\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$, où $I = (2x^3+ x +1)$ et $J = (x^2 + 2)$

A-t-on $$\frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I \cap J} \approx \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I} \times \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{J}\ \ ?$$

Voici ma solution :

En posant $ X^2+2 = (aX+b)(cX+d)$, j'ai montré que $ X^2+2 =(X+1)(X+2)$.

J'ai vu que $X^2+2$ ne divise pas $2X^3+X+1$ en posant $2X^3+X+1=(X^2+2)(aX+b)$ et en voyant une incohérence.

En faisant le même raisonnement avec $(X+1)(aX^2+bX+c)=2X^3+X+1$ et $(X+2)(aX^2+bX+c)=2X^3+X+1$, je suis tombé sur une incohérence, ce qui signifie que $2X^3+X+1$ n'est pas divisible par $(X+1)$ ou $(X+2)$. Il n'y a donc pas de facteurs communs à $2X^3+X+1$ et $(X^2+2)$
Donc un générateur de $I \cap J$ est $(2X^3+X+1)(X^2+2)$
Est-ce que c'est bon?

pour la suite pour montrer que $$\frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I \cap J} \approx \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I} \times \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{J}$$

A) Montrons que $\Phi : \mathbb{F}_3[x] \to \mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ défini par $\Phi(P) = \big(P \pmod{I}, P \pmod{J}\big)$ est surjective :

Si on arrive à montrer que $(1,0) \in \mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ et $(0,1) \in \mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ ont un antécédent par $\Phi$ alors nous aurons montré que $\Phi$ est surjective.

Puisque $X^2+2$ et $2X^3+X+1$ sont premier entre eux, alors d'après le théorème de Bézout, il existe $(P,Q) \in \mathbb{F}_3[x]^2$ tels que $(X^2+2)P+(2X^3+X+1)Q=1$
Soit $R=(X^2+2)P=1 - (2X^3+X+1)Q$
$R \pmod{I} = 1$ et $R \pmod{J} = 0$ donc $\Phi(R)=(1,0)$
Soit $S=(2X^3+X+1)Q=1-(X^2+2)P$
$S \pmod{J} = 1$ et $S \pmod{I} = 0$ donc $\Phi(S)=(0,1)$

Ainsi $(1,0) \in \mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ et $(0,1) \in \mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ ont un antécédent par $\Phi$

Cela implique que tout élément de $\mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ admet un antécédent par $\Phi$ donc que $\Phi$ est surjective.


B) Montrons que $\Phi$ a pour noyau $I \cap J$
Soit $P \in I \cap J$ , $\Phi(P) = \big(P \pmod{I}, P \pmod{J}\big)$

Il existe $Q \in \mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$ tel que $P=Q(X^2+2)(2X^3+X+1)$
Donc $P \pmod{I} = P \pmod{X^2+2} = 0 $ et $P \pmod{J} = P \pmod{2X^3+X+1} = 0 $

Donc $I \cap J \subset Ker \phi$

Soit $P \in Ker \phi$, $\Phi(P) = \big(0 \pmod{I}, 0 \pmod{J}\big)$

Donc $P$ est un multiple de $X^2+2$ et $2X^3+X+1$ et Il existe $Q \in \mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$ tel que $P=Q(X^2+2)(2X^3+X+1)$ soit $P \in I \cap J $

Donc $Ker \phi \subset I \cap J $ et $Ker \phi =I \cap J $

CONCLUSION :
Nous avons montré que $\phi$ est surjective et que $Ker \phi =I \cap J $ donc
$\frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I \cap J}$ est isomorphe à $\frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I} \times \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{J}\ $

Est-ce bon?
Re: questions sur structures algébriques
il y a six mois
Ton générateur est bon mais tu ne justifies pas pourquoi celui-ci fonctionne bien.

Sinon le raisonnement est correct. Tu as essentiellement redémontré le théorème chinois dans l'anneau $\mathbb Z/3 \mathbb Z[X]$ ! Vois-tu l'analogie avec le théorème chinois usuel sur les entiers ?
Re: questions sur structures algébriques
il y a six mois
@Poirot

comment justifier que le générateur que j'ai proposé fonctionne bien?

Peut-être que pour résoudre ce problème, il faut simplement appliquer le théorème chinois sans refaire toute la démonstration?
Re: questions sur structures algébriques
il y a six mois
Je ne sais pas s'il est attendu que tu appliques le théorème chinois ou que tu le redémontres, je ne suis pas ton prof !

Pour le générateur, il faut que tu montres que tout élément divisible par $X^2+2$ et par $2X^3+X+1$ est divisible par leur produit, ce qui ne devrait pas te demander trop d'effort vu que tu as remarqué qu'ils étaient premiers entre eux. Cela te donne que $I \cap J \subset (X^2+2)(2X^3+X+1) \mathbb Z/3 \mathbb Z[X]$, l'inclusion réciproque étant évidente.

Au passage, pour factoriser $X^2+2$ dans cet anneau, tu pouvais remarquer que $X^2+2=X^2-1=(X+1)(X-1)$.
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