questions sur structures algébriques

Mais alors est-ce que quelqu'un va pouvoir m'indiquer de quel ensemble vers quel ensemble sont définis les éléments de $\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$? ou est-ce que cela n'a pas de sens ce que je demande? merci

14) Avec $J=(X^2+2)$ et $I=(2X^3+X+1)$
$\Phi : \mathbb{F}_3[x] \to \mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ défini par $\Phi(P) = \big(P \pmod{I}, P \pmod{J}\big)$

Est-ce que $P \pmod{I}$ et $P \pmod{J}$ désignent respectivement le reste de la division euclidienne de $P$ par $2X^3+X+1$ et de $P$ par $X^2+2$?

Qui peut me confirmer si c'est bon ce raisonnement ? :
11) Pour montrer que $\mathbb C[x,y]/(x,y)$ est isomorphe à $\mathbb C$, j'utilise le morphisme $\phi : \mathbb C[x,y] \to \mathbb C$ tel que $\phi(P)= P(0,0)$.
On montre facilement que $\phi$ est surjectif et que $(x,y)$ est son noyau car l'idéal $(x,y)$ ne contient pas de coefficient pour $X^0Y^0$ donc pour tout $P \in (x,y)$, $P(0,0)=0$.
Cela prouve que $\mathbb C[x,y]/(x,y)$ est isomorphe à $\mathbb C$ donc $\mathbb C[x,y]/I$ ($I= (x+y^2, y+x^2+2xy^2+y^4)$) est isomorphe à $\mathbb C$ car $I$ coïncide avec $(x,y)$.

Je retiens la différence entre polynôme et fonction polynomiale.


14)
Je reviens sur ce problème :
Trouver un générateur de l'idéal $I \cap J$ de $\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$, où $I = (2x^3+ x +1)$ et $J = (x^2 + 2)$

A-t-on $$\frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I \cap J} \approx \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I} \times \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{J}\ \ ?$$

Voici ma solution :

En posant $ X^2+2 = (aX+b)(cX+d)$, j'ai montré que $ X^2+2 =(X+1)(X+2)$.

J'ai vu que $X^2+2$ ne divise pas $2X^3+X+1$ en posant $2X^3+X+1=(X^2+2)(aX+b)$ et en voyant une incohérence.

En faisant le même raisonnement avec $(X+1)(aX^2+bX+c)=2X^3+X+1$ et $(X+2)(aX^2+bX+c)=2X^3+X+1$, je suis tombé sur une incohérence, ce qui signifie que $2X^3+X+1$ n'est pas divisible par $(X+1)$ ou $(X+2)$. Il n'y a donc pas de facteurs communs à $2X^3+X+1$ et $(X^2+2)$
Donc un générateur de $I \cap J$ est $(2X^3+X+1)(X^2+2)$
Est-ce que c'est bon?

pour la suite pour montrer que $$\frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I \cap J} \approx \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I} \times \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{J}$$

A) Montrons que $\Phi : \mathbb{F}_3[x] \to \mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ défini par $\Phi(P) = \big(P \pmod{I}, P \pmod{J}\big)$ est surjective :

Si on arrive à montrer que $(1,0) \in \mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ et $(0,1) \in \mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ ont un antécédent par $\Phi$ alors nous aurons montré que $\Phi$ est surjective.

Puisque $X^2+2$ et $2X^3+X+1$ sont premier entre eux, alors d'après le théorème de Bézout, il existe $(P,Q) \in \mathbb{F}_3[x]^2$ tels que $(X^2+2)P+(2X^3+X+1)Q=1$
Soit $R=(X^2+2)P=1 - (2X^3+X+1)Q$
$R \pmod{I} = 1$ et $R \pmod{J} = 0$ donc $\Phi(R)=(1,0)$
Soit $S=(2X^3+X+1)Q=1-(X^2+2)P$
$S \pmod{J} = 1$ et $S \pmod{I} = 0$ donc $\Phi(S)=(0,1)$

Ainsi $(1,0) \in \mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ et $(0,1) \in \mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ ont un antécédent par $\Phi$

Cela implique que tout élément de $\mathbb{F}_3[x] / I \times \mathbb{F}_3[x] / J$ admet un antécédent par $\Phi$ donc que $\Phi$ est surjective.


Montrons que $\Phi$ a pour noyau $I \cap J$
Soit $P \in I \cap J$ , $\Phi(P) = \big(P \pmod{I}, P \pmod{J}\big)$

Il existe $Q \in \mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$ tel que $P=Q(X^2+2)(2X^3+X+1)$
Donc $P \pmod{I} = P \pmod{X^2+2} = 0 $ et $P \pmod{J} = P \pmod{2X^3+X+1} = 0 $

Donc $I \cap J \subset Ker \phi$

Soit $P \in Ker \phi$, $\Phi(P) = \big(0 \pmod{I}, 0 \pmod{J}\big)$

Donc $P$ est un multiple de $X^2+2$ et $2X^3+X+1$ et Il existe $Q \in \mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]$ tel que $P=Q(X^2+2)(2X^3+X+1)$ soit $P \in I \cap J $

Donc $Ker \phi \subset I \cap J $ et $Ker \phi =I \cap J $

CONCLUSION :
Nous avons montré que $\phi$ est surjective et que $Ker \phi =I \cap J $ donc
$\frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I \cap J}$ est isomorphe à $\frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{I} \times \frac{\mathbb Z / 3 \mathbb Z [x]}{J}\ $

Est-ce bon?

@Poirot

comment justifier que le générateur que j'ai proposé fonctionne bien?

Peut-être que pour résoudre ce problème, il faut simplement appliquer le théorème chinois sans refaire toute la démonstration?