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questions sur structures algébriques

Envoyé par math65 
questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
Bonjour,

J'ai quelques questions sur les structures algébriques (j'y suis pas fort) :

1) On me demande un générateur du sous-groupe de $(\mathbb Q,+)$ engendré par $\frac{21}{4}$ et par $\frac{35}{6}$; j'ai du mal à comprendre la notion de générateur. Je sais que cela doit s'écrire $<g>$ mais pas plus.

2) On me demande de montrer que tout sous-groupe $G$ de $(\mathbb Q,+)$ engendré pas un nombre fini d'éléments est cyclique donc qu'il ne possède qu'un générateur $g \in G$ et tous les éléments de ce sous-groupe sont des multiples de ce générateur. Ce que je me demande déjà, c'est la notion de multiple implique un coefficient multiplicateur donc pour tout $h \in G$, il existe $n \in \mathbb N $ tel que $h=n.g$.
Mais comment le montrer?

3) On me demande de trouver un sous-groupe de $(\mathbb Q,+)$ qui ne soit pas engendré par un nombre fini d’éléments. Je déduis de ce qui précède que je dois trouver un sous-groupe qui possède plus de 1 générateur donc qui n'est pas cyclique.

4) on me demande de calculer le corps des fractions des deux sous-anneaux de $\mathbb C$ qui sont $\mathbb Z[i\sqrt(3)]=\{ a+bi \sqrt(3) | a,b \in \mathbb Z\}$ et $ A = \{ a + b\theta | a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$
Je ne sais pas par où commencer, j'ai vu une technique théorique lourde et abstraite qu'il ne m'a pas aidé.

5) est-ce que l'écriture $A/(-3)$ signifie $\{ \frac{a}{-3} | a \in A\}$ ? dans ce cas, on me demande si $A/(-3)$ est intègre je pense que oui car c'est in sous-anneau de $\mathbb C$. exacte ?

Je vous remercie de l'aide que vous pourrez m'apporter.

Merci pour vos pistes
Re: questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
Pour la première.

Le groupe engendré par ${21 \over 4}$ et par ${35 \over 6}$ est par "définition" l'ensemble des nombre rationnels de la forme : $ {21 \over 4}a + {35 \over 6}b = \frac{63 a + 70b}{12}$ avec $a$ et $b$ dans $\Z$.

Ce que j'ai envie de dire c'est que le numérateur est également l'ensemble des nombres de la forme $7c$ car le pgcd de $63$ et $70$ est $7$.

Finalement, $7/12$ est un générateur de ton groupe.

coquille. $6 \times 2 = 12$ et non pas $6$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par moduloP.
Re: questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
Par la $3$, peut-être que l'ensemble des nombres décimaux répond à la question. L'idée étant d'avoir un sous-groupe avec des "dénominateurs aussi grand que possible". Mais faut réfléchir et écrire au propre.

Pour la $4$, $\Q[i \sqrt{3}]$ semble être un bon candidat.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par moduloP.
Re: questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
Pour la 3 : pourquoi ne pas essayer $\Q$ lui-même ?
Pour la 5 : qui est $A$ ? $A/(-3)$ est sans aucun doute le quotient de l'anneau $A$ par l'idéal engendré par $-3$.
Re: questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
Bonjour et merci pour les réponses.

1) @moduloP je pense que tu t'es trompé car ${21 \over 4}a + {35 \over 6}b = \frac{63 a + 70b}{12}$ et non ${21 \over 4}a + {35 \over 6}b = \frac{63 a + 70b}{6}$. Donc un générateur de ce groupe est $\frac{7}{12}.$ Non ??

2) Pour montrer que tout sous-groupe $G$ de $(\mathbb Q, +)$ qui est engendré par un nombre fini de d’éléments ne possède qu'un générateur, ne faudrait-il pas généraliser la méthode du 1) pour un sous-groupe engendré par $n$ éléments ? avec Bézout généralisé ?

3) N'y a t'il a-t-il que $\mathbb Q$ qui soit un sous-groupe de $(\mathbb Q, +)$ qui ne soit pas engendré par un nombre fini d’éléments ?

4) Pour trouver le corps des fractions de $\mathbb Z[i\sqrt 3]=\{ a+bi \sqrt 3 \mid a,b \in \mathbb Z\}$, je pense qu'il s'agit de $$\Big\{ \frac{a}{b} \mid (a,b) \in Z[i\sqrt 3] \times Z[i\sqrt 3 ]^* \Big\}
$$ Pour trouver le corps des fractions de $A = \{ a + b\theta \mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$ , je pense qu'il s'agit de $$\Big\{ \frac{a}{b} \mid (a,b) \in A \times A^* \Big\}.$$ Peut-on rajouter autre chose ?

5) Soit $A/(-3)$ avec $A = \{ a + b\theta \mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$, Quelle est la signification de $A/(-3)$ ? Est-ce bien $\{ \frac{a}{-3} \mid a \in A\}$ ou autre chose ? Comment montrer que $A/(-3)$ est intègre ?

Merci de votre aide.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
Yes, j'ai fais une erreur de calcul ! La mise au même dénominateur $12$ !
Re: questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
Je t'ai déjà répondu sur $A/(-3)$ : c'est le QUOTIENT de l'anneau $A$ par l'idéal engendré par $(-3)$. Si tu ne sais pas ce qu'est le quotient d'un anneau par un idéal, revois ton cours.
Re: questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
avatar
(1) $PPMC(4, 6) = 12.$ $1/12$ est le générateur cherché.
(2) On continue avec le concept de $PPMC$
(3) Ce sont des sous-groupes nécessitant une infinité de générateurs. Par exemple les fractions dont le dénominateur, sous forme réduite, est une puissance de 2.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
Du coup, y'a un conflit entre ce que propose Soland et ce que je propose pour le $1$.
Re: questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
Soland s'est trompé pour le 1)
Re: questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
Pour l'histoire des corps de fractions.

Tu peux essayer de prouver que :

$\Q [ i\sqrt{ 3}] := \{ a+ib\sqrt{3} \mid a,b \in \Q \}$ est le corps des fractions.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
Merci pour vos réponses

1) finalement alors le générateur est $\frac{1}{12}$ ou $\frac{7}{12}$?
2)Si $G$ est engendré par $\{f_i=\frac{n_i}{d_i} | n_i,d_i \in \mathbb Z\}$
Alors pour tout $g \in G$, il existe ${a_i \in \mathbb Z}$ tel que
$g = \sum_{i=0}^{n}a_i\frac{n_i}{d_i}$ où intervient le $PPMC$?
3) D'après Soland, si $G=\{\frac{m}{2^n} | m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N\}$ alors $(G,+)$ est un sous-groupe non cyclique de $(\mathbb Q, +)$???

4) @moduloP comment le prouver?

5) $A/(-3) = \{ a(-3) | a \in A\}$??

merci pour vos pistes
Re: questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
Comme avec les nombres complexes. Pour $z$ et $z'$ dans $A$, pense à la conjugaison complexe pour écrire un nombre ${z \over z'}$ sous la forme $a+bi \sqrt{3}$ avec $a,\,b \in \Q$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
math65 écrivait:
-------------------------------------------------------

> 5) $A/(-3) = \{ a(-3) | a \in A\}$??

Une nouvelle fois, revois dans ton cours ce qu'est le quotient d'un anneau commutatif par un idéal.
Re: questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
Pour la $5$. il y a un petit argument de manipulation de noyaux et d'idéaux ... essaye de faire les autres questions avant et on verra ensuite car il faut être un peu clean sur les quotients.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
4) je vais essayer merci. Pourra-t-on alors affirmer que $\Q [ i\sqrt{ 3}] := \{ a+ib\sqrt{3} \mid a,b \in \Q \}$ est un corps?
Re: questions sur structures algébriques
il y a cinq semaines
Le souci c'est que l'on ne sais pas où tu en es dans les cours. J'avais pris pour acquis que $\Q[i \sqrt{3}]$ (avec la définition que tu donnes) est un corps.

Est-ce que tu peux le prouver ?
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
4) on peut prouver que $\Big\{ \frac{a}{b} \mid (a,b) \in Z[i\sqrt 3] \times Z[i\sqrt 3 ]^* \Big\} \subset \Q [ i\sqrt{ 3}]$ mais est-ce que $ \Q [ i\sqrt{ 3}] \subset \Big\{ \frac{a}{b} \mid (a,b) \in Z[i\sqrt 3] \times Z[i\sqrt 3 ]^* \Big\} $?
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
Il semblerait naturel de définir $\Q[ i\sqrt{3}]=\bigl\{a+ib\sqrt3,\ (a,b)\in\Q^2\bigr\}$.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
avatar
Rectificatif : (1) Réponse 7/12

Pour le (3) Le sous-groupe engendré par $a/2^m$ ne contient pas $b/2^n$ si $n > m$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par soland.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
2) Si $G$ est engendré par : $\quad\displaystyle \{f_i=\frac{n_i}{d_i} | n_i \in \mathbb Z,d_i \in \mathbb Z^{*}\}$
alors pour tout $g \in G$, il existe des $a_i \in \mathbb Z$ tel que $\quad\displaystyle g = \sum_{i=0}^{n}a_i\frac{n_i}{d_i}.$
Soit $p=PPCM(d_i \mid i \in [1;n]) $ et $q_i=\dfrac{p}{d_i}$
$\displaystyle g = \frac{\sum_{i=0}^{n}a_i n_i q_i}{p}$
Soit $\quad\displaystyle r_i=\frac{n_i q_i }{PGCD(n_i q_i \mid i \in [1;n])}$
$\displaystyle g = PGCD(n_i q_i \mid i \in [1;n]) \frac{\sum_{i=0}^{n}a_i r_i}{p}.$

Tous les $r_i$ sont premiers entre eux donc $\dfrac{PGCD(n_i q_i \mid i \in [1;n])}{p}$ est générateur de $G$ et $G$ est cyclique.

Est-ce le bon raisonnement ?

[Ne pas abuser des expressions centrées ! AD]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
avatar
Félicitations, tu viens de montrer que $\mathbb Q$ est cyclique ! hot smiley

Plus sérieusement, tu fais effectivement un raisonnement erroné : tu montres $\forall g \in G, \exists f \in \mathop{Générateurs}(G), \exists k \in \mathbb Z$ tel que $g = k f$.
Tu n'as aucune chance de démontrer la cyclicité comme ça puisque la cyclicité requiert $\exists f \in G$ tel que $\forall g \in G, \exists k \in \mathbb Z$ avec $g = k f$.

C'est comme si tu voulais montrer que l'ensemble des polynômes (à coefficient dans $\mathbb K$) forment un ($\mathbb K$-)espace vectoriel de dimension finie sous prétexte que chaque polynôme est somme d'un nombre fini de monômes...

Petite remarque : ta formule $PGCD(n_i q_i \mid i \in [\![1,n]\!]) \sum_{i=0}^{n}a_i r_i \times \frac{1}{p}$, ce ne serait pas l'un des éléments $f_i$ que tu as pris comme générateur par hasard?
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
Citation
Le Lui ou un Autre
Petite remarque : ta formule $PGCD(n_i q_i \mid i \in [\![1,n]\!]) \sum_{i=0}^{n}a_i r_i \times \frac{1}{p}$, ce ne serait pas l'un des éléments $f_i$ que tu as pris comme générateur par hasard ?

Non, $\displaystyle PGCD(n_i q_i \mid i \in [\![1,n]\!]) \sum_{i=0}^{n}a_i r_i \times \frac{1}{p} = g = \sum_{i=0}^{n}a_i\frac{n_i}{d_i} $
$\displaystyle PGCD(n_i q_i \mid i \in [\![1,n]\!]) \sum_{i=0}^{n}a_i r_i \times \frac{1}{p} $ est donc la somme des $a_if_i$
Pour moi, j'ai effectivement montrer $\exists f \in G$ tel que $\forall g \in G,\ \exists k \in \mathbb Z$ avec $g = k f$.

Ici $f=\dfrac{PGCD(n_i q_i \mid i \in [1;n])}{p}$, et $\displaystyle k=\sum_{i=0}^{n}a_i r_i$
($f$ ne dépend que des $f_i$)

Est-ce que quelqu'un peut confirmer ? Merci.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
avatar
Pardon, j'ai mal compris le sens de tes générateurs $\quad\displaystyle \{f_i=\frac{n_i}{d_i} | n_i \in \mathbb Z,d_i \in \mathbb Z^{*}\}$. Je pensais que tu prenais tous les couples dans $\mathbb Z \times \mathbb Z^{*}$.
Ça m'apprendra à prendre un fil de discussion en cours de route sans relire les messages avant ><

Vu comme ça, c'est bien. Effectivement $f$ ne dépend que des $f_i$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Le Lui ou un Autre.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
@Le Lui ou un Autre ok merci de toute façon pour avoir répondu à mon sujet, peut-être que tu peux m'aider pour le reste...

Si on récapitule :
1) réglé
2)réglé
3) sous-groupe de $(\mathbb Q,+)$ engendré par un nombre infini d’éléments? une piste?
4) Est-ce que le corps des fractions de $\mathbb Z[i\sqrt 3]=\{ a+bi \sqrt 3 \mid a,b \in \mathbb Z\}$ est tout simplement :
$$\Big\{ \frac{a}{b} \mid (a,b) \in Z[i\sqrt 3] \times Z[i\sqrt 3 ]^* \Big\}$$
Est-ce que le corps des fractions de $A = \{ a + b\theta \mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$ est tout simplement :
$$\Big\{ \frac{a}{b} \mid (a,b) \in A \times A^* \Big\}$$.

Je ne pense pas que $\Q[ i\sqrt{3}]=\bigl\{a+ib\sqrt3,\ (a,b)\in\Q^2\bigr\}$ est le corps des fraction de $A$ ou $\mathbb Z[i\sqrt 3]$

5) comment montrer que $A/(-3)$ avec $A = \{ a + b\theta \mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$ est intègre?

Merci de votre aide



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par math65.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
Pour la 3/ je te renvoie plus haut
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
Soient $p\in \mathbb{Z}$ et $q\in \mathbb{Z}$ tels que $p^{2}-4q$ ne soit pas le carré d'un entier.
Soient $\theta $ et $\theta ^{~\prime }$ les racines complexes de $z^{2}+pz+q=0$, en sorte que : $\theta +\theta ^{~\prime }=-p$, $\theta \theta ^{~\prime }=q$.
Ces racines $\theta$ et $\theta ^{~\prime }$ peuvent être ou non réelles, mais sont toujours distinctes.
On a : $\forall x\in \mathbb{Z},\forall y\in \mathbb{Z},x+y\theta =0\Leftrightarrow x=0$ et $y=0$, et idem pour $\theta ^{~\prime }$.

Soit $\mathbb{Z}[\theta ]=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\theta =\{x+y\theta /x\in \mathbb{Z},y\in \mathbb{Z}\}$, qui est à l'évidence un anneau commutatif intègre.
Le corps des fractions de cet anneau est : $K=\{\frac{z}{t}/z\in \mathbb{Z}[\theta ],t\in \mathbb{Z}[\theta ],t\neq 0\}$.
Comme pour tout anneau commutatif intègre.

Soit $\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\theta =\{x+y\theta /x\in \mathbb{Q},y\in \mathbb{Q}\}$. La notation « $\mathbb{Q}[\theta ]$ » ne me semble pas convenir.
Il est clair que : $\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\theta \subset K$.

Soit $w\in K$, alors $w=\frac{a+b\theta }{c+d\theta }$, avec $a,b,c,d$ entiers, $c+d\theta \neq 0$. Alors $(c,d) \neq (0,0)$, d'où $c+d\theta ^{~\prime }\neq 0$, et $(c+d\theta )(c+d\theta ^{~\prime })\neq 0$.
En conséquence : $w=\frac{(a+b\theta )(c+d\theta ^{~\prime })}{(c+d\theta )(c+d\theta ^{~\prime})}=\frac{ac+ad(-p-\theta )+bc\theta +bdq}{c^{2}-cdp+d^{2}q}\in \mathbb{Q}+\mathbb{Q}\theta$.
Il est ainsi prouvé que : $ K \subset \mathbb{Q}+\mathbb{Q} \theta $.

Bonne journée.
Fr. Ch.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
Il me semble que mon message précédent répond à la question 4, en généralisant la réponse aux anneaux d'entiers quadratiques, réels ou imaginaires.
Par contre je ne comprends pas ce que c'est que $A/(-3)$, question 5.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
Le quotient par l'idéal engendré par $-3$ dans l'anneau $A$.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
Pourquoi $-3$ et non $3$ ?
Prenons plutôt $\theta = \frac{-1 +i \sqrt{3}}{2}=j$, c'est le même anneau, qui est l'anneau des entiers d'Eisenstein.
L'élément $3$ n'est pas irréductible dans cet anneau puisque $3=(1-j)(1-j^2)$, produit de deux éléments irréductibles. L'anneau-quotient n'est donc pas intègre.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
3) @moduloP
il doit bien avoir un sous-groupe de $(\mathbb Q,+)$ qui soit engendré par un nombre infini d’éléments et qui ne soit pas $(\mathbb Q,+)$ lui-même...

4) @Merci Chaurien
> Il est clair que : $\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\theta \subset K$.
Pour moi cela n'est pas clair. Je ne comprends pas.

5) Donc $(-3) = \{ -3a | a \in A \} $
@ Chaurien
je trouve $1=(1-j)(1-j^2)$ avec $\theta = \frac{-1 +i \sqrt{3}}{2}=j$
J'ai vu que
Pour $I$ un idéal d'un anneau $A$, $A/I$ est intègre si et seulement si $I \neq A$ et pour tout $x, y \in A $ , $( x*y \in I) \implies ( x \in I$ ou $ y \in I)$
comment l'utiliser?

6)
Avec
$$\phi : \mathbb C\_\{0\}\rightarrow \mathbb R^*_+, x \rightarrow x\bar{x}$$

On me demande de montrer que $(A, \phi|_{A\_\{0\}})$ est euclidien
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
3) $\Q$ lui-même convient très bien mais le groupe engendré par $\{1/2^k,\ k\in\N\}$ aussi.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
@math65

Question 4)
Soit $w\in \mathbb{Q}+\mathbb{Q}\theta $, alors : $ w=\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\gamma}{\delta}\theta $, avec $\alpha\in \mathbb{Z}$, $\beta\in \mathbb{N}^{\ast }$, $\gamma\in \mathbb{Z}$, $\delta\in \mathbb{N}^{\ast }$. Achève le calcul.

Question 5)
Si $ \theta =- \frac{1}{2} +i \frac {\sqrt{3}}{2}=j$, calcule soigneusement $j^2,j^3$, et $(1-j)(1-j^2)=...$.

Question 6)
Soit $\mathbb E= \mathbb{Z}[j ]=\mathbb{Z}+\mathbb{Z} j =\{x+y j/x\in \mathbb{Z},y\in \mathbb{Z}\}$. C'est l'anneau des entiers d'Eisenstein.
Pour $z\in \mathbb E$ soit $N(z)= z\bar{z}=|z|^2$, c'est la notation classique.
Il faut prouver que dans cet anneau on peut définir une division euclidienne analogue à celle qui est connue dans $\mathbb Z$ ou $K[X]$ :
$\forall a\in \mathbb{E},\forall b\in \mathbb{E}\backslash \{0\},\exists q\in \mathbb{E},\exists r\in \mathbb{E},a=bq+r$ et $N(r)<N(b)$.
On en a parlé plusieurs fois sur ce forum.

N'hésite pas à demander des éclaircissements si besoin est. Bon courage.
Fr. Ch.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
Merci.

Si on récapitule :
3) $\{1/2^k,\ k\in\N\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb Q,+)$ engendré par un nombre non fini d’éléments

4) @Chaurien
J'ai compris, merci.
On a montré que si $K=\mathbb Z[i\sqrt 3]=\{ a+bi \sqrt 3 \mid a,b \in \mathbb Z\}$ ou $K=A = \{ a + b\theta \mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$
On a, grâce à la double inclusion, $K=\mathbb{Q}+\mathbb{Q} \theta$ avec respectivement $\theta = i\sqrt 3$ ou $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$

5) @Chaurien, merci effectivement, j'avais du faire une erreur de calcul.


Pour montrer que $A/I$ n'est pas intègre,
J'ai remarqué que $-3 =(-2+\theta)(1+\theta)$
Donc $(-2+\theta)(1+\theta) \in I$ mais $(-2+\theta) \notin I$ et $(1+\theta) \notin I$

Or une condition nécessaire et suffisante pour que $A/I$ soit intègre est que pour tout $x,y \in A$, (si $x*y \in I$) alors ($x \in I$ ou $y \in I$)

Donc $A/I$ n'est pas intègre

6) @Chaurien Voilà ma démonstration pour prouver que
$(A, \phi|_{A\_\{0\}})$ est euclidien
avec $\phi : \mathbb C\_\{0\}\rightarrow \mathbb R^*_+, x \rightarrow x\bar{x}$

Soit $a, b \in A$ avec $b \neq 0$ avec $A = \{ a + b\theta \mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$

On sait que $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}+\mathbb{Q} \theta$ donc il existe $c, d \in \mathbb{Q} $ tels que $\frac{a}{b}=c + d\theta$

Je pose alors $q=Ent(c)+Ent(d)\theta$ et $r=a-qb=(c+d\theta)b-(Ent(c)+Ent(d)\theta)b=((c-Ent(c))+(d-Ent(d))\theta)b$

On voit que $q,r \in A$

Néanmoins, je n'arrive pas à montrer que $\phi(r)<\phi(b)$ ai-je mal choisi q et r?

Merci de votre aide

7) On me demande de trouver les idéaux de $\mathbb R \times \mathbb R$, de $\mathbb R[X]/(x^2)$, de $\mathbb R[X]/(x^2-3x+2)$, de $\mathbb R[X]/(x^2+x+1)$

Lesquels sont maximaux?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par math65.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
@math65
Bravo, tu progresses.

Pour la question 6), je reprends ma terminologie, qui est classique.
On peut définir ton $\phi$ sur $\mathbb C$ tout entier et l'appeler $N$ : $N(z)=z\overline{z}=|z|^{2}$.
Notre anneau est l'anneau des entiers d'Eisenstein : $\mathbb{E}=\{x+yj|x\in \mathbb{Z},y\in \mathbb{Z}\}$, où $j=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
On veut prouver : $\forall a\in \mathbb{E},\forall b\in \mathbb{E}\backslash \{0\},\exists q\in \mathbb{E},\exists r\in \mathbb{E},a=bq+r$ et $N(r)<N(b)$.
Tu as bien compris que la question tourne autour de $\frac ab$, qui est élément de $K=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}j$.

L'idée de la division euclidienne, c'est que dans un anneau intègre commutatif comme $\mathbb{E}$ ou d'autres, le quotient $\frac ab$ n'est pas toujours possible, alors on l'effectue de manière « approchée », et l'on cherche un élément de cet anneau qui soit « proche » de ce quotient. Ce qui mesure cette
« proximité » c'est une fonction à valeurs dans $\mathbb{N}$ qu'on appelle stathme. Pour la division dans $\mathbb{N}$ c'est le nombre lui-même, pour la division dans les polynômes c'est le degré, et ici c'est $N(...)$.

Ici, il faut partir du fait que pour tout élément $z \in K=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}j$, et même pour tout $z \in \mathbb{C}$, il existe $q \in \mathbb{E}$ tel que : $|z-q|<1$. Pour démontrer ceci, tu as bien vu qu'il fallait utiliser la partie entière des coordonnées de $z$, mais il faut aller un peu plus loin. Au lieu d'associer à un réel sa partie entière qui peut être à une distance de lui presque égale à $1$, ce qui est trop, considère pour ce réel l'entier le plus proche de lui, qui est à une distance au plus $\frac 12$

Tu y es presque. Bon courage.
Fr. Ch.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
6) Reprenons donc (j'ai vu dune démonstration où effectivement, ils rajoutaient $1/2$ dans la partie entière)

Prouvons que $(A, \phi|_{A\_\{0\}})$ est euclidien
avec $\phi : \mathbb C\_\{0\}\rightarrow \mathbb R^*_+, x \rightarrow x\bar{x}$

Soit $a, b \in A$ avec $b \neq 0$ avec $A = \{ a + b\theta \mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$

On sait que $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}+\mathbb{Q} \theta$ donc il existe $c, d \in \mathbb{Q} $ tels que $\frac{a}{b}=c + d\theta$

Je pose alors $q=Ent(c+\frac{1}{2})+Ent(d+\frac{1}{2})\theta$ et $r=a-qb=(c+d\theta)b-(Ent(c+\frac{1}{2})+Ent(d+\frac{1}{2})\theta)b=((c-Ent(c+\frac{1}{2}))+(d-Ent(d+\frac{1}{2}))\theta)b$


On a $-\frac{1}{2}\leq d-Ent(d+\frac{1}{2})<\frac{1}{2}$ et $-\frac{1}{2}\leq c-Ent(c+\frac{1}{2})<\frac{1}{2}$

On peut alors montrer que $|(c-Ent(c+\frac{1}{2}))+(d-Ent(d+\frac{1}{2}))\theta|^2<1$

Ainsi $|((c-Ent(c+\frac{1}{2}))+(d-Ent(d+\frac{1}{2}))\theta)b|^2<|b|^2$
et $\phi(r)<\phi(b)$

On voit que $q,r \in A$

On en déduit donc que $(A, \phi|_{A\_\{0\}})$ est euclidien

Merci de votre aide

7) On me demande de trouver les idéaux de $\mathbb R \times \mathbb R$, de $\mathbb R[X]/(x^2)$, de $\mathbb R[X]/(x^2-3x+2)$, de $\mathbb R[X]/(x^2+x+1)$

Pour $\mathbb R \times \mathbb R$ (qui est muni des opérations $\oplus$ et $\otimes$) les idéaux sont $\{0\} \times \mathbb R$ et $ \mathbb R \times \{0\}$. Il sont maximaux. Mais pourquoi?

$\mathbb R[X]/(x^2)$ a pour unique Idéal $x + (x^2)$ qui est maximal

$\mathbb R[X]/(x^2-3x+2)$ a pour idéal $x-1 + ((x-1(x-2))$ et $x-2 + ((x-1(x-2))$ qui sont tous les deux maximaux

$\mathbb R[X]/(x^2+x+1)$ a pour idéal $0$ qui est maximal

Ai-je raté des idéaux ici?

J'ai trouvé ces réponse sur internet mais pour les déterminations, si quelqu'un peut m'indiquer un mode opératoire. merci...

8) On me demande de montrer que $2$ est associé à $1 + i\sqrt(3)$ dans $ A = \{ a + b\theta | a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$ et non dans $Z[i\sqrt(3)]=\{ a+bi \sqrt(3) | a,b \in \mathbb Z\}$

Si quelqu'un a des pistes...
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
Question 6)
Pour la partie entière classique (« plancher»), la bonne notation est je pense : $ \left\lfloor ...\right\rfloor$.
Le cœur me manque pour regarder dans le détail, mais j'ai l'impression que ça va. Ça marche pour d'autres anneaux quadratiques.

Question 7)
Je n'ai pas compris quelle est la multiplication dans l'anneau $\mathbb R \times \mathbb R$.

Bon courage, bonne journée, brrr..., couvrons-nous bien.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
6) @ Chaurien
Merci effectivement , j'ai croisé cette notation $[...]$ plutôt que celle que j'utilise $Ent(..)$

Je pense aussi que ce que j'ai fait est bon. Donc cette question est réglée.

7)@ Chaurien

$\otimes$ correspond à (bien que cela ne soit pas précisé dans l'énoncé) $(x,y)\otimes(x',y')=(xx'-yy',xy'+x'y)$

Je pense que mes réponses précédentes sont bonnes pour le 7) mais pour avoir tous les idéaux, il faut rajouter ${0}$ et l'anneau lui-même.

Merci

8) On m'a demandé de trouver les inversible de $ A = \{ a + b\theta | a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$ et de $Z[i\sqrt(3)]=\{ a+bi \sqrt(3) | a,b \in \mathbb Z\}$.
Puis de montrer que $2$ est associé à $1 + i\sqrt(3)$ dans $ A$ et non dans $Z[i\sqrt(3)]$

Que signifie "associé"?
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
@ math65
Question 6)
Attention, je parle de la notation de la fonction « plancher» $\left\lfloor ...\right\rfloor$, et non de la notation ancienne avec les crochets $[...]$.
Il y a aussi la fonction « plafond » $\left\lceil ...\right\rceil$ dont il est question dans le fil [www.les-mathematiques.net]. C'est la partie entière par excès.
Ce sont des notations anglo-saxonnes, que pour le coup je trouve bonnes. [en.wikipedia.org]

Question 7)
Il est bizarre de supposer que cette multiplication sur $\mathbb R \times \mathbb R$ soit celle qui lui confère la structure de corps commutatif, le corps des complexes. Tu sais ce que sont les idéaux d'un corps commutatif. Pour le reste, je vais regarder ça tantôt.

Question 8)
Dans un anneau commutatif intègre, deux éléments sont dits associés si chacun d'eux est diviseur de l'autre, ce qui équivaut au fait que l'un est le produit de l'autre par un élément inversible de l'anneau, que l'on appelle aussi une unité de l'anneau. Par exemple dans notre anneau $\mathbb E$, les éléments $2+j$ et $-1+j$ sont associés.

Bonne continuation.
Fr. Ch.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
6)Ok je note ces différentes notations et si j'ai bien compris $\left\lfloor ...\right\rfloor$ est exactement la partie entière.

7) Si la multiplication est effectivement $\otimes$ alors $\mathbb R \times \mathbb R$ est un corps et donc les idéaux sont $\mathbb R \times \mathbb R$ et $\{0\}\times\{0\}$.

J'ai vu pourtant des cas où $\{0\} \times \mathbb R$ et $ \mathbb R \times \{0\}$ sont des idéaux de $\mathbb R \times \mathbb R$. Cela doit être pour l'opération $(x,y)\times(x',y')=(x\times x',y\times y')$ ai-je raison ?

Pour les autres anneaux, j'ai trouvé exactement la démonstration ici : http://crystal.ou.edu/~tprzebin/5363_exam2_sol.pdf

8) Pour trouver les inversibles de $ A = \{ a + b\theta \mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$ et de $Z[i\sqrt 3]=\{ a+bi \sqrt 3 \mid a,b \in \mathbb Z\}$

J'ai vu une démonstration qui consiste à utiliser $\phi : \mathbb C\_\{0\}\rightarrow \mathbb R^*_+, x \rightarrow x\bar{x}$

De cette manière j'ai trouver que les inversibles de $Z[i\sqrt 3]=\{ a+bi \sqrt 3 \mid a,b \in \mathbb Z\}$ sont $1$ et $-1$
Et les inversibles de $ A = \{ a + b\theta mid a,b \in \mathbb Z \}$ avec $\theta = \frac{1 +i \sqrt{3}}{2}$ sont $1$,$-1$,$\theta$, $-\theta$, $1-\theta$, $-1+\theta$.

Et donc $2\times\theta=1 + i\sqrt 3$ et $2$ est associé à $1 + i\sqrt 3$ dans $A$.

9) On me demande de voir si $(A, \phi|_{A\_\{0\}})$ est factoriel. Oui car on a vu plus haut qu'il est euclidien.
On me demande de prouver que $Z[i\sqrt 3]=\{ a+bi \sqrt 3 \mid a,b \in \mathbb Z\}$ n'est pas factoriel. Mais je ne vois pas comment faire même en ayant vu la définition...

Merci.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par math65.
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
@math65
Question 7)
Attention à l'orthographe. Corrige « j'ai trouver ». Un truc, c'est de changer le verbe en un autre, pour lequel l'infinitif et le participe passé ne soient pas homonymes. Par exemple, tu ne dis pas « j'ai finir ». J'ai appris ce truc sur ce forum.

Question 8)
C'est très bien d'avoir déterminé l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau des entiers d'Eisenstein $\mathbb E$, qu'on appelle aussi les unités de cet anneau. Ce sont les racines sixièmes de l'unité $\pm 1, \pm j, \pm j^2$. Ce n'était pas indispensable pour savoir seulement si deux éléments donnés sont ou ne sont pas associés, mais c'est intéressant.

Question 9)
Une possibilité c'est de regarder les anneaux d'entiers quadratiques imaginaires $\mathbb Z + \mathbb Z \theta $ comme des réseaux dans le plan complexe, qu'on peut dessiner. On a par là un curieux rapprochement entre anneaux euclidiens et géométrie euclidienne. La norme $N(z)=z\overline{z}=|z|^{2}$ devient visible. (Attention, ce n'est pas la « norme » des espaces vectoriels normés, c'est un autre contexte). J'en reparlerai quand tout ça sera fini. Dans ton anneau $\mathbb Z[i \sqrt 3]$ regarde les éléments de plus petites normes, et trouve un élément qui ait deux factorisations essentiellement distinctes.

----------------------------------------------------------------------------------------
Une remarque. Tu nous distilles tes questions au goutte à goutte. Pourquoi ne pas nous donner ton énoncé en entier, une fois ?

Bonne journée, bon travail,
Fr. Ch.
15/11/2017
Re: questions sur structures algébriques
il y a quatre semaines
@ math65
Une remarque incidente sur la question 9). On te demande, dis-tu, si l'anneau $ (A, \phi|_{A\_\{0\}})$ est factoriel. Ça n'a pas de sens. Un anneau $A$ tout court est factoriel ou bien il ne l'est pas, la définition ne nécessite pas cette bizarre fonction $\phi|_{A\_\{0\}}$, qui d'ailleurs est mal notée, à la place de $N$.
Moi je sais que je ne suis pas un très bon algébriste, en comparaison avec certaines pointures de ce forum, mais apparemment il y en a de pires. Les collègues devraient faire attention.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
Re: questions sur structures algébriques
il y a trois semaines
Et d'ailleurs dans tout ça j'ai l'impression que tu écris $A\_\{0\}$ alors que tu veux écrire $A\setminus \{0\}$. Non ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: questions sur structures algébriques
il y a trois semaines
@Chaurien je donne mes questions au fur et à mesure car sinon dans ma tête cela partirait dans tous les sens. J'ai besoin d'avancer progressivement mais j'ai encore plein d'autres questions

9) j'ai vu quelque part que EUCLIDIEN implique FACTORIEL
Re: questions sur structures algébriques
il y a trois semaines
@math65 : en général en L3 on énonce "euclidien implique principal implique factoriel". La partie la plus difficile étant "principal implique factoriel".
Re: questions sur structures algébriques
il y a trois semaines
@ math65
Je pensais que c'était un problème en plusieurs questions. Mais il semble que ce soient des questions que tu te poses à la suite pour une étude d'algèbre. Bon, comme tu veux. Tu peux aussi étudier dans des livres.

Question 9) $\bullet$ Un anneau euclidien est principal. Dans un anneau principal, on a le théorème de Bézout et en conséquence le théorème de Gauss : si $a$ divise $bc$ et si $a$ est premier avec $b$ alors $a$ divise $c$. Il s'ensuit que l'anneau est factoriel. Tout ceci se prouve peu ou prou comme dans $\mathbb Z$ ou $K[x]$. Mais ce n'est pas nécessaire pour prouver que ton anneau $ \mathbb Z[i \sqrt 3]$ n'est pas factoriel, puisque justement il ne l'est pas !
$\bullet$ Soit $\mathbb Z [i \sqrt 3]= \mathbb Z +\mathbb Z i \sqrt 3= \{ x+yi \sqrt 3/x \in \mathbb Z, y \in \mathbb Z \}$, qui est évidemment un sous-anneau de $\mathbb C$.
Le bon outil est la norme $N(...)$, dont nous avons pas mal parlé.
Pour $z \in \mathbb Z [i \sqrt 3]$, soit $ N(z)= z\bar{z} $. C'est un nombre entier naturel, strictement positif si $z \neq 0$, qui vérifie : $N(zz')=N(z)N(z')$.
Un élément $z \in \mathbb Z [i \sqrt 3]$ est une unité de l'anneau (autrement dit un élément inversible) si et seulement si $ N(z)= 1 $. Tu as vu que ces unités sont seulement $\pm 1$.
Par suite un élément $z \in \mathbb Z [i \sqrt 3]$, autre que $0$, $\pm1$, est irréductible si et seulement si il n'existe pas $z_1 \in \mathbb Z [i \sqrt 3]$ et $z_2 \in \mathbb Z [i \sqrt 3]$ tels que : $z=z_1 z_2$, $N(z_1)>1$, $N(z_2)>1$.
Regarde les éléments de l'anneau de petites normes, tu trouveras vite un élément qui s'exprime de deux manières comme produit de deux éléments irréductibles.

Bon courage.
Fr. Ch.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Re: questions sur structures algébriques
il y a trois semaines
@Chaurien c'est des questions dans un devoir

9) Donc il est bon de dire que A est factoriel parce qu'il est euclidien?
J'ai déterminé que $1+i, 1-i, -1+i, -1-i$ sont irréductibles.
l’élément $2$ peut s'écrire de la manière $2=(1+i)(1-i)=(-1-i)(-1+i)$
Donc l'élément 2 peut s'écrire de deux manières différentes comme produit de deux irréductibles.
$\mathbb Z [i \sqrt 3]= \mathbb Z +\mathbb Z i \sqrt 3= \{ x+yi \sqrt 3/x \in \mathbb Z, y \in \mathbb Z \}$ n'est donc pas factoriel

10) (nouvelle question) Démontrer que $(\mathbb Q, +)$ ne peut pas être isomorphe à $(\mathbb Q_+^*,.)$ (penser à $\sqrt(2)$)
Re: questions sur structures algébriques
il y a trois semaines
@ math65
Question 9)
$\bullet$ Le mieux me semble de dire que l'anneau $A$ est euclidien, donc principal, donc factoriel.
$\bullet$ Oulah !
Un anneau est factoriel si tout élément qui n'est pas nul et n'est pas une unité admet une décomposition unique en produit de facteurs irréductibles, mais à l'ordre près et à multiplication près par des unités de l'anneau.
Par exemple dans notre bon vieux $\mathbb Z$, les unités sont $\pm 1$ et les irréductibles sont les nombres premiers (positifs ou négatifs). Tu ne vas pas dire que $6= 2 \times 3$ et $6= (-3) \times ( -2)$ sont deux factorisations distinctes. Sinon, personne ne serait factoriel !
Regarde un cours sur les anneaux factoriels, par exemple ici
[www.les-mathematiques.net]
ou ailleurs.
$\bullet$ De plus tu dis que $1+i$ et tutti quanti sont irréductibles, mais dans quel anneau ? Dans l'anneau $\mathbb G=\mathbb Z [i ]$ des entiers de Gauss, d'accord, anneau qui est euclidien comme l'anneau $\mathbb E=\mathbb Z [j ]$ des entiers d'Eisenstein. Mais certainement pas dans $\mathbb Z [i \sqrt 3]$, puisqu'ils n'en sont pas éléments...
Il faut revoir tout ça.
Le jour qui va se lever y sera propice je pense. Qu'il soit bon pour toi.
Fr. Ch.
Re: questions sur structures algébriques
il y a trois semaines
Allez, je répète. Dans ton anneau $ \mathbb Z [i \sqrt 3]$, regarde les éléments de petites normes, mettons jusqu'à $7$. Ils te fourniront un exemple d'éléments $u,v,w,z$ tels que $uv=wz$ non trivialement.
Bon courage.
Fr. Ch.
Re: questions sur structures algébriques
il y a trois semaines
Je reprend le contexte de Chaurien ici.

Question : Montrer que si $p^2-4q <-4$ alors il existe uniquement deux inversibles dans l'anneau $\Z[\theta]$.
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