Idéal premier

DinoHN · November 2017

Bonjour,

Soit $I\subset\C[x_1,\dots,x_n]$ un idéal premier et soit $G=\{f_1,\dots,f_m\}$ un système de générateurs. Est ce qu'il existe un autre système de générateurs de $I$ tel que les membres de ce nouveau système sont irréductibles? Si oui, est ce qu'il est possible de le contruire à partir de $G$?

Merci bien,
Cordialement.

moduloP · November 2017

Bonjour,

Une idée :

Si $f_1$ n'est pas irréductible alors il se décompose $f_1 = a b$ et comme $I$ est premier, c'est que $a$ ou $b$ est dans $I$. Si c'est $a$,

alors $G_1 = \{ a,f_2, \dots,f_n\}$ est générateur de $I$.

On continu ...

Hum, est-ce que ça s'arrête vraiment ?

DinoHN · November 2017

Ok, merci bien!

DinoHN · November 2017

Une question de plus, si $J$ est la matrice jacobienne de $(f_1,\dots,f_m)$ et si $f_1,\dots,f_m$ sont irréductibles, est ce que l'idéal engendré par $f_1,\dots,f_m,g$, où $g$ est un mineur de $J$, est premier?
Merci d'avance!

marco · November 2017

Bonjour,

Dans $\C[x,y]$, si $f_1=x^3-y$ et $f_2=x^3-y=f_1$, alors $I=(f_1,f_2)$ est premier. La matrice jacobienne $J$ est $ \begin{pmatrix}3x^2 & -1 \\ 3x^2 &-1 \end{pmatrix} $. Donc $g=3x^2$ est un mineur de $J$.
Et $G=(f_1,f_2,g)=(x^2,y)$ n'est pas premier car $x^2 \in G$ et $x \notin G$

DinoHN · November 2017

Ton calcul n'est pas bon mais je vois que ma question a une réponse négative. Néanmoins, est ce que le radical de $<f_1,\dots,f_m,g>$ est premier?

marco · November 2017

Toujours dans $\C[x,y]$, si $f_1=f_2=(x-1)^3(x+1)^3-y$, alors un mineur est $g=6x(x-1)^2(x+1)^2$, donc, si $G=(f_1,f_2,g)$, le radical de $G$ contient $x(x-1)(x+1)$ ainsi que $xf_1= x(x-1)^3(x+1)^3-xy$, donc le radical de $G$ contient $xy$ mais le radical de $G$ ne contient ni $x$ ni $y$.

DinoHN · November 2017

D'accord, encore une réponse négative. Est ce qu'il existe un changement de base (qui est dans $O_n$) tel que dans la nouvelle base, le radical de $<f_1,\dots,f_m,g>$ est premier? Dans ton exemple, ca fonctionne si l'on met $X=\frac{x+y}{\sqrt{2}},\ Y=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$.

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