Idéal premier
Bonjour,
Soit $I\subset\C[x_1,\dots,x_n]$ un idéal premier et soit $G=\{f_1,\dots,f_m\}$ un système de générateurs. Est ce qu'il existe un autre système de générateurs de $I$ tel que les membres de ce nouveau système sont irréductibles? Si oui, est ce qu'il est possible de le contruire à partir de $G$?
Merci bien,
Cordialement.
Soit $I\subset\C[x_1,\dots,x_n]$ un idéal premier et soit $G=\{f_1,\dots,f_m\}$ un système de générateurs. Est ce qu'il existe un autre système de générateurs de $I$ tel que les membres de ce nouveau système sont irréductibles? Si oui, est ce qu'il est possible de le contruire à partir de $G$?
Merci bien,
Cordialement.
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Réponses
Une idée :
Si $f_1$ n'est pas irréductible alors il se décompose $f_1 = a b$ et comme $I$ est premier, c'est que $a$ ou $b$ est dans $I$. Si c'est $a$,
alors $G_1 = \{ a,f_2, \dots,f_n\}$ est générateur de $I$.
On continu ...
Hum, est-ce que ça s'arrête vraiment ?
Merci d'avance!
Dans $\C[x,y]$, si $f_1=x^3-y$ et $f_2=x^3-y=f_1$, alors $I=(f_1,f_2)$ est premier. La matrice jacobienne $J$ est $ \begin{pmatrix}3x^2 & -1 \\ 3x^2 &-1 \end{pmatrix} $. Donc $g=3x^2$ est un mineur de $J$.
Et $G=(f_1,f_2,g)=(x^2,y)$ n'est pas premier car $x^2 \in G$ et $x \notin G$