Sous-groupe de $GL_2( \mathbb R)$

Tu as l'air d'avoir un problème avec les quotients, déjà dans un autre fil tu ne voyais pas ce que siginifie $A/(-3)$ !
$G/H$ est le quotient de $G$ par son sous-groupe $H$ (qui est un sous-groupe distingué). Si tu ne sais pas ce qu'est le quotient d'un groupe par un sous-groupe distingué, revois ton cours.

Exemple si $G$ est le groupe cyclique avec $4$ éléments donc $G= \{g^0,g^1,g^2,g^3\} $ et $H = \{g^0,g^2\}$.
Alors $G/H$ contient deux éléments : $g^0 H = \{g^0,g^2\}$ et $g^1H = \{g^1,g^3\}$.

Parce que $aH = Ha$ ($H$ est un sous-groupe distingué/normal) on a la loi de groupe $(aH) (bH) =aHbH= abHH = (ab)H$

Remarque que $g^1g^1 = g^2 \in H$.

Donc la loi de groupe de $G/H$ c'est $(g^0H)(g^0H) = g^0H$, $(g^1H) (g^1H) = g^2H = g^0H, (g^0H)(g^1H)= g^1H = (g^1H)(g^0H)$.

Bonjour,

Pour le 1) moi je ne valide pas : il ne suffit pas que ab puissance 8 égale 1 pour que son ordre soit 8, il faut aussi ab puissance 7 différent de 1. De même pour a puissance 2. Je sais c’est évident mais il faut le rédiger correctement.

Re-bonsoir Math65
Pour la 4) Il faut remarquer que $b=a(ab)$. Ainsi $b(ab)^k=a(ab)^{k+1}.$
De même $(ab)^ka=a\,a(ab)^k a=a(ba)^k=a(ab)^{-k}$, car $ba=(ab)^{-1}$.
Les trois types d'éléments que tu donnes se réduisent donc à deux types : $(ab)^k$ et $a(ab)^k$, avec $0\leq k<8$.
De là, tu détermines facilement les éléments de $G/H$.

Le problème est que les relations que je t'ai indiquées ci-dessus, qui permettent de se ramener à deux types d'éléments, semblent sorties du chapeau ! En réalité, elles viennent précisément du passage dans le groupe quotient.
Le morphisme surjection canonique $cl:G\to G/H$ qui te fait si peur est en fait très simple.
Le quotient est formé des classes modulo $H$. Les classes forment une partition des éléments de $G$ (voir cours ou le démontrer, c'est facile).
Le morphisme $cl$ est tout simplement pour tout élément $g\in G$, ce $g$ est dans une et une seule classe modulo $H$ (partition oblige), alors $cl$ envoie $g$ sur cette classe modulo $H$, que l'on note $cl(g)$.
Comme $H$ est distingué dans $G$ la surjection $cl$ est un morphisme (voir le cours) et donc tu peux utiliser les propriétés des morphismes de groupes.
$cl(b(ab)^k)=cl(b)cl(ab)^k=cl(b).1_{G/H}= cl(b)$, puisque $(ab)\in H$
$cl((ab)^ka)=cl(ab)^kcl(a)=1_{G/H}.cl(a)=cl(a)$
et comme $b=a(ab)$ on obtient $cl(b)=cl(a)cl(ab)=cl(a)1_{G/H}=cl(a)$. Ce qui indique que les classes de $a$ et de $b$ sont confondues, donc forment le même élément dans le quotient $G/H$.
Comme tu peux le remarquer, les calculs dans le quotient sont bien plus simples que dans le groupe $G$ lui-même. C'est tout l'intérêt du passage dans le quotient par le morphisme $cl$.

Je te laisse continuer, pour déterminer qui est ce groupe quotient et pour 5) le nombre d'éléments de $G$.
Pour le 6) : reconnaître $G$, on en parlera après ...
Alain

Masquer la vérité pour rendre les choses plus complexe, bonne idée :-o

C'est une partie de l'ensemble $G$, mais c'est aussi un élément de l'ensemble quotient $G/H$. Il ne faut pas se formaliser là-dessus, en maths, tout est ensemble.

Un autre exemple : $[1, +\infty[$ est un ensemble de réels, mais c'est aussi un élément de l'ensemble $\mathcal P(\mathbb R)$ des parties de $\mathbb R$.

Il ne faut pas se formaliser sur les "ensembles d'ensembles". Oui c'est bien ça, c'est un ensemble de partie de $G$, c'est grave docteur ? $$G/H = \{aH, a \in G\} = \{\{ah, h \in H\}, a \in G\}$$ Ce qui est intéressant est de simplement voir les $aH$ comme des éléments de $G/H$. Et quand $H$ est distingué dans $G$, on peut les multiplier entre eux puisqu'on a une brave loi de groupe compatible avec celle de $G$.

Mais non ! Quand $H\lhd G$, $G/H$ n'est pas un sous-groupe de $G$. Il faut le considérer comme un groupe à part entière, totalement disjoint de $G$, dont le seul lien avec $G$ est le morphisme surjectif canonique $\pi:G\to G/H$. Et, chose remarquable, ce lien est si fort que beaucoup de propriétés de $G$ se retrouvent dans $G/H$ (transmises par le morphisme $\pi$), et beaucoup de propriétés de $G/H$ se retrouvent dans $G$.
D'où un des intérêts de la notion de quotient, car il est plus facile de calculer / raisonner dans un groupe plus petit ($G/H$) puis de remonter dans $G$ les propriétés démontrées dans $G/H$.
Alain