Problème avec une équation

Magic_Doctor · November 2017

Bonsoir,

Pour tenter de connaître le volume d'une solution de peroxyde d'hydrogène en fonction de sa concentration (en masse/masse), je suis arrivé à cette formule :

Vol = f(x) = (0,732 * x^3 - 73,17 * x^2 - 96994,7 * x) / (94,28 * x - 29428) L

x étant la concentration de la solution en %.

On obtient ainsi le volume d'une solution d'eau oxygénée, quelle que soit sa concentration, avec une précision n'excédant pas 1 L (pour 33 concentrations, moyenne des différences entre formule et labo : 0,075%) avec les résultats obtenus rigoureusement en laboratoire en utilisant pour chaque concentration la masse volumique correspondante. On s'affranchit ainsi des masses volumiques (que l'on ne connaît en général pas...).

J'ai tenté, mais en vain, d'extraire x pour faire la démarche inverse, à savoir connaître la concentration à partir d'un volume donné : x = f(Vol).

Est-il possible d'y parvenir ?

Merci d'avance pour tout conseil.

YvesM · November 2017

Bonjour,

Tu traces $V$ et fonction de $x$ pour $x \in [0,1].$ Puis, pour un $V$ donné, tu lis sur le graphe le $x$ correspondant. Si tu veux faire un calcul plus précis, tu calcules $V$ pour des $x$ proches de cette valeur... jusqu'à trouver $V$ avec la précision souhaitée.

gerard0 · November 2017

Bonjour.

On voit facilement que ça revient à résoudre une équation de degré 3 ayant Vol comme paramètre. Donc il est probable qu'on obtienne 3 solutions. Et même lorsqu'il n'y en a qu'une seule, il n'existe pas de calcul algébrique général dans $\mathbb R$ qui donne la solution. Bien qu'on puisse, une fois Vol connu, en avoir des valeurs approchées.

Cordialement.

Magic_Doctor · November 2017

Merci pour vos réponses,

J'avais bien vu qu'il s'agissait d'une équation du 3ème degré.
Même en TC nous ne les avons jamais abordées...
La résolution m'a l'air d'être assez complexe, à mon niveau...

gerard0 · November 2017

Et on montre qu'il n'y a pas de formule générale.

Mais après tout, tu as trouvé une formule approchée pour le volume en fonction de la concentration, pourquoi ne pas faire le même travail pour la concentration en fonction du volume ?
Ou bien utiliser un modèle moins compliqué (la courbe de f, sur [0,100] est assez proche d'une parabole).

Cordialement.

Magic_Doctor · November 2017

J'y suis parvenu par un autre moyen plus simple, mais pas avec la même précision :

x = f(Vol) = 147,14 * Vol / (484,9734 + 0,4714 * Vol)

En fait, cette recherche de précision (dans un domaine très imprécis comme celui de la chimie) ,n'est que pour le fun. Mais résoudre ce problème en s'affranchissant des masses volumiques est, pour un chimiste, je pense, une gageure.

Pour finir :

rho = f(x) = (0,222 * x^2 - 22,2 * x - 29428) / (94,28 * x - 29428) g/mL

Bien sûr, tout ceci pour l'eau oxygénée uniquement.

Je signale que ces formules (encore perfectibles) donnent des résultats plus qu'approchés la plupart du temps (quand on fait fi de fractions de volumes qui n'ont strictement aucun sens, dans la mesure où les chimistes ont adopté le système CNTS où les volumes sont calculés à 0° C, température ambiante pour laquelle on a envie de faire n'importe quoi sauf de la chimie... Raison pour laquelle les Anglo-Saxons expriment la concentration du peroxyde d'hydrogène en % (w/w) et non en volumes. Plus intéressant que les volumes (unités quasi "alchimiques"), c'est la concentration molaire du dioxygène libéré, à telle concentration, lors de la réaction de dismutation spontanée de l'eau oxygénée).

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