Forme exponentielle complexe

Lucas13
Lucas13
dans Algèbre
Bonjour Bonjour, je viens vers vous car je rencontre un problème (qui est certainement tout bête comme d'habitude... mais je bute).

Je dois déterminer le module et l'argument du nombre complexe suivant : $$e^{e^{i\theta}},\quad \theta \in \mathbb{R}
$$ Bon je sais qu'un nombre complexe est de la forme $z = a + ib$
Je sais également que la forme trigonométrique d'un nombre complexe est par définition : $|z|\big( \cos(\theta) + i\sin(\theta) \big)$
Je sais aussi que la forme exponentielle d'un nombre complexe est : $|z|e^{i\theta}$.
Là j'ai donc : $$e^{e^{i\theta}},\quad \theta \in \mathbb{R}
$$ Au début je me suis dit que la forme trigonométrique était : $\cos(e^{\theta}) + i\sin(e^{\theta})$
Mais je me suis vite dit que c'était idiot...
Pourriez-vous me mettre sur une piste ? (J'essaie de trouver la forme algébrique pour commencer, ensuite je calculerais le module puis l'argument. Le module semble être 1).

Merci !

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Écris l’argument de l’exponentielle sous forme algébrique...
  • Lucas13
    Lucas13
    Bonjour, merci de votre réponse.

    Je pensais tout d'abord trouver la forme algébrique de ce nombre complexe.. afin d'en calculer le module (qui semble être ici 1) et en trouver l'argument ?

    Par ailleurs, je ne comprend pas spécialement votre message, écrire un argument sous forme algébrique ? je sais que $arg(z) = \theta$.
  • Poirot
    Poirot
    Il te suffit d'écrire $\mathrm{e}^{i \theta}$ sous forme algébrique (trigonométrique si tu veux), puis de passer à l'exponentielle !
  • Lucas13
    Lucas13
    Je vois, de ce fait : $$e^{e^{i\theta}} = e^{cos(\theta) + isin(\theta)}$$ ?
  • Poirot
    Poirot
    Oui, et maintenant il te suffit d'identifier le module et l'argument.
  • Lucas13
    Lucas13
    Alors je pense avoir trouvé : $$e^{e^{i\theta}} = e^{\cos(\theta) + i\sin(\theta)} = e^{\cos(\theta)} \times e^{i\sin(\theta)}
    $$ D'où : $$|z| = e^{\cos(\theta)} \quad\text{et}\quad arg(z) = \sin(\theta)
    $$ Qu'en pensez-vous ?
  • Poirot
    Poirot
    J'en pense que tu n'as jamais défini ce qu'est $z$ donc je ne peux pas juger (:P)

    Plus sérieusement, qu'en penses-tu toi ? Il faut que tu sois sûr de ce que tu écris.
  • Lucas13
    Lucas13
    Ah oui pardon !!!
    Quel idiot ! $\quad z = e^{e^{i\theta}}$
    Je suis totalement convaincu de ma démarche et de mon résultat !
  • Poirot
    Poirot
    Et pourrais-tu argumenter ton identification $|z| = \exp(\cos(\theta))$ et $\arg(z) = \sin(\theta)$ ?
  • Lucas13
    Lucas13
    Oui bien sûr, je vais vous rédiger ce que j'ai écris sur mon brouillon.

    On pose : $z = e^{e^{i\theta}}$

    $$\exists \alpha \in \mathbb{C} | \alpha = e^{i\theta}$$

    Soit : $e^{\alpha} = e^{e^{i\theta}}$

    $f_{trigonométrique \rightarrow \alpha} = cos(\theta) + isin(\theta).$

    Donc :

    $e^{\alpha} = e^{cos(\theta) + isin(\theta)}$
    $e^{\alpha} = e^{cos(\theta)} \times e^{isin(\theta)}$.

    Nous reconnaissons la forme $|z|e^{i\theta}$.

    Conclusion :

    $$|z| = e^{cos(\theta)}$$ et $$arg(z) = sin(\theta)$$
  • Poirot
    Poirot
    Il te manque essentiellement deux arguments pour conclure. Si je te donne le nombre $- \sqrt 2 \mathrm{e}^{i \mathrm{e}^{2 \pi}}$, comment identifies-tu le module et l'argument ?
  • Lucas13
    Lucas13
    Je dirais que l'argument ici c'est $e^{2\pi}[\pi]$
    et que le module est : $-\sqrt{2}$.

    Je l'identifie car je sais connais l'exponentielle complexe non ?


    Je vois pas vraiment où vous voulez en venir.. ?

    Mais j'aimerai comprendre ! :)
  • Poirot
    Poirot
    Penses-tu vraiment qu'un nombre complexe peut avoir pour module $- \sqrt 2$ ? Que représente le module géométriquement ?
  • Lucas13
    Lucas13
    Oui effectivement, je suis allé trop vite un module ne peut pas être négatif... Je ne vois vraiment pas..

    Un peu d'éclairage serait le bienvenue !
  • Hector38
    Hector38
    Il suffit d'appliquer à la lettre (et autant de fois que nécessaire) la relation bien connue : $e^{i\theta}= \cos\theta+i\sin\theta$
    $e^{e^{i\theta}}= e^{\cos\theta+i\sin\theta}= e^{\cos\theta}e^{i\sin\theta}$
    et $e^{i\sin\theta}= ...$
  • gerard0
    gerard0
    Lucas13,

    $r e^{it}$ est la forme exponentielle d'un complexe si r>0 (je laisse de côté le cas de 0). Et dans ce cas, r est son module.
    Si r est négatif, on sait l'écrire sous forme exponentielle pour retomber sur la bonne écriture.
    Dans ton cas, il ne manquait que de remarquer que $e^{\sin\theta}$ est positif.

    Cordialement.

    [édit : corrigé grâce à Poirot : $e^{\sin\theta}$ à la place de $e^{i\sin\theta}$ copié-collé trop vite]
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour @Luca13,

    Soit $e^{e^{i \theta}},\ \theta \in \R.$

    Ce truc est un nombre complexe. On a $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta,\ \theta \in \R$ : c'est la formule d'Euler. On a donc : $e^{e^{i \theta}} = e^{ \cos \theta + i \sin \theta},\ \theta \in \R.$ On sait les propriétés de la fonction exponentielle et donc on a aussi $e^{e^{i \theta}} = e^{ \cos \theta }e^{ i \sin \theta},\ \theta \in \R.$

    Pour identifier le module, il faut remarquer que $e^{ \cos \theta }>0,\ \theta \in \R$ et $|e^{ i \sin \theta}| = 1,\ \theta \in \R.$
    Pour l'argument, c'est plus compliqué car on peut écrire $e^{ i \sin \theta} = e^{ i \sin \theta + i 2 \pi m},\ m \in \Z,\ \theta \in \R.$ Et donc $arg (e^{ i \sin \theta} )= \sin \theta + 2 \pi m,\ m \in \Z.$

    Pour appliquer tout ça, un petit exercice : quel est le module et quel est l'argument de ce nombre complexe : $\cos (x) e^{-i x},\ x \in \R$ ?
  • Poirot
    Poirot
    @gerard : voulais-tu vraiment écrire "$\mathrm{e}^{i \sin \theta}$ est positif" ?

    Bon sinon YvesM t'a tout donné, il aurait pu te laisser chercher seul...
  • Lucas13
    Lucas13
    Bonjour Yves, merci à vous je viens d'étudier de très près votre proposition effectivement c'est ce qu'il fallait. Je vais faire votre petit exo et je vous tiens au courant. Néanmoins je n'ai pas saisi pourquoi $|e^{i\sin(\theta)}| = 1$ et du moins pourquoi avons-nous besoin de faire ceci ?
    Je vous remercie !
  • gerard0
    gerard0
    Merci Poirot, je rectifie.
  • Poirot
    Poirot
    Si tu as $z=ab$ avec $|b|=1$ alors tu as presque la forme exponentiel de $z$ : $z=|a| \mathrm{e}^{i \arg(a) + i \theta}$ où $\theta$ est tel que $b= \mathrm{e}^{i \theta}$. Ici le $a$ est $\mathrm{e}^{\cos \theta}$ est un nombre réel strictement positif donc est déjà sous sa forme exponentielle.
  • Lucas13
    Lucas13
    D'accord, oui je vois merci Poirot, mais je ne vois pas pourquoi |b| = 1 enfin je ne vois pas surtout qu'est ce qui me fait dire ça vous voyez ?
  • gerard0
    gerard0
    é je ne vois pas pourquoi |b| = 1" ??

    Tu ne sais pas que si t est un réel, $e^{it}$ est de module 1 ? C'est pourtant dans quasiment tous les cours sur la forme exponentielle, et se démontre immédiatement avec la définition, non ?

    Tu ferais bien de relire sérieusement tes cours pour savoir ce qui est "évident".

    Cordialement.
  • Lucas13
    Lucas13
    Bonjour Gerard0

    Si bien sûr que je sais que $e^{it} = \cos t + i\sin t$ correspond à la notation exponentielle d'un nombre complexe dont le module vaut 1.

    Mais ce que je ne saisi pas c'est pourquoi $|e^{ i\sin \theta}|$ $= 1$. Enfin si le module est 1 car il est de la forme $e^{it}$ mais pourquoi le mentionner dans ma résolution ?

    Merci !
  • gerard0
    gerard0
    Ben ... $\sin(\theta)$ est bien un réel !

    Sinon, pour en revenir à ta rédaction, ce qui manquait n'est pas que $|e^{i\sin(\theta)}|=1$, mais que $e^{\cos(\theta)}>0$.
    Cours : voir ce message.

    Face à tes incompréhensions, certains sont revenus à des éléments de preuve de cette propriété classique qu'on voit en cours.

    Cordialement.

    NB : Quand on connaît mal ses leçons, on pose des questions qui donnent l'idée qu'on ne comprend pas de quoi on parle. Ici, tu l'as fait plusieurs fois. Quand on les connaît vraiment, on n'a même plus besoin de l'avis des autres, on sait ce qui est correct.
  • Lucas13
    Lucas13
    Je viens de relire mon cours et il n'est pas explicité que $e^{i\theta}$ à toujours pour module 1 (je suis en L1 mathématiques).

    Le Professeur nous montre juste un exemple avec zz' où z et z' ont pour module 1.
  • moduloP
    moduloP
    Peut-être que $\cos^2+\sin^2=1$ peut servir un peu ?
  • Lucas13
    Lucas13
    Bonjour ModuloP, effectivement suis-je bête... j'arrive pas acquérir cet automatisme ! Il faut que j'accentue mes efforts !
  • moduloP
    moduloP
    Pour les automatismes, la solution est très simple : travailler ;)
    Bon courage,
  • Poirot
    Poirot
    Encore plus simple si tu sais que $\overline{\mathrm{e}^{i \theta}} = \mathrm{e}^{-i \theta}$. Alors $\left|\mathrm{e}^{i \theta}\right|^2 = \mathrm{e}^{i \theta} \mathrm{e}^{-i \theta} = \mathrm{e}^0 = 1$.
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