Forme exponentielle complexe
Bonjour Bonjour, je viens vers vous car je rencontre un problème (qui est certainement tout bête comme d'habitude... mais je bute).
Je dois déterminer le module et l'argument du nombre complexe suivant : $$e^{e^{i\theta}},\quad \theta \in \mathbb{R}
$$ Bon je sais qu'un nombre complexe est de la forme $z = a + ib$
Je sais également que la forme trigonométrique d'un nombre complexe est par définition : $|z|\big( \cos(\theta) + i\sin(\theta) \big)$
Je sais aussi que la forme exponentielle d'un nombre complexe est : $|z|e^{i\theta}$.
Là j'ai donc : $$e^{e^{i\theta}},\quad \theta \in \mathbb{R}
$$ Au début je me suis dit que la forme trigonométrique était : $\cos(e^{\theta}) + i\sin(e^{\theta})$
Mais je me suis vite dit que c'était idiot...
Pourriez-vous me mettre sur une piste ? (J'essaie de trouver la forme algébrique pour commencer, ensuite je calculerais le module puis l'argument. Le module semble être 1).
Merci !
Je dois déterminer le module et l'argument du nombre complexe suivant : $$e^{e^{i\theta}},\quad \theta \in \mathbb{R}
$$ Bon je sais qu'un nombre complexe est de la forme $z = a + ib$
Je sais également que la forme trigonométrique d'un nombre complexe est par définition : $|z|\big( \cos(\theta) + i\sin(\theta) \big)$
Je sais aussi que la forme exponentielle d'un nombre complexe est : $|z|e^{i\theta}$.
Là j'ai donc : $$e^{e^{i\theta}},\quad \theta \in \mathbb{R}
$$ Au début je me suis dit que la forme trigonométrique était : $\cos(e^{\theta}) + i\sin(e^{\theta})$
Mais je me suis vite dit que c'était idiot...
Pourriez-vous me mettre sur une piste ? (J'essaie de trouver la forme algébrique pour commencer, ensuite je calculerais le module puis l'argument. Le module semble être 1).
Merci !
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Réponses
Écris l’argument de l’exponentielle sous forme algébrique...
Je pensais tout d'abord trouver la forme algébrique de ce nombre complexe.. afin d'en calculer le module (qui semble être ici 1) et en trouver l'argument ?
Par ailleurs, je ne comprend pas spécialement votre message, écrire un argument sous forme algébrique ? je sais que $arg(z) = \theta$.
$$ D'où : $$|z| = e^{\cos(\theta)} \quad\text{et}\quad arg(z) = \sin(\theta)
$$ Qu'en pensez-vous ?
Plus sérieusement, qu'en penses-tu toi ? Il faut que tu sois sûr de ce que tu écris.
Quel idiot ! $\quad z = e^{e^{i\theta}}$
Je suis totalement convaincu de ma démarche et de mon résultat !
On pose : $z = e^{e^{i\theta}}$
$$\exists \alpha \in \mathbb{C} | \alpha = e^{i\theta}$$
Soit : $e^{\alpha} = e^{e^{i\theta}}$
$f_{trigonométrique \rightarrow \alpha} = cos(\theta) + isin(\theta).$
Donc :
$e^{\alpha} = e^{cos(\theta) + isin(\theta)}$
$e^{\alpha} = e^{cos(\theta)} \times e^{isin(\theta)}$.
Nous reconnaissons la forme $|z|e^{i\theta}$.
Conclusion :
$$|z| = e^{cos(\theta)}$$ et $$arg(z) = sin(\theta)$$
et que le module est : $-\sqrt{2}$.
Je l'identifie car je sais connais l'exponentielle complexe non ?
Je vois pas vraiment où vous voulez en venir.. ?
Mais j'aimerai comprendre !
Un peu d'éclairage serait le bienvenue !
$e^{e^{i\theta}}= e^{\cos\theta+i\sin\theta}= e^{\cos\theta}e^{i\sin\theta}$
et $e^{i\sin\theta}= ...$
$r e^{it}$ est la forme exponentielle d'un complexe si r>0 (je laisse de côté le cas de 0). Et dans ce cas, r est son module.
Si r est négatif, on sait l'écrire sous forme exponentielle pour retomber sur la bonne écriture.
Dans ton cas, il ne manquait que de remarquer que $e^{\sin\theta}$ est positif.
Cordialement.
[édit : corrigé grâce à Poirot : $e^{\sin\theta}$ à la place de $e^{i\sin\theta}$ copié-collé trop vite]
Soit $e^{e^{i \theta}},\ \theta \in \R.$
Ce truc est un nombre complexe. On a $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta,\ \theta \in \R$ : c'est la formule d'Euler. On a donc : $e^{e^{i \theta}} = e^{ \cos \theta + i \sin \theta},\ \theta \in \R.$ On sait les propriétés de la fonction exponentielle et donc on a aussi $e^{e^{i \theta}} = e^{ \cos \theta }e^{ i \sin \theta},\ \theta \in \R.$
Pour identifier le module, il faut remarquer que $e^{ \cos \theta }>0,\ \theta \in \R$ et $|e^{ i \sin \theta}| = 1,\ \theta \in \R.$
Pour l'argument, c'est plus compliqué car on peut écrire $e^{ i \sin \theta} = e^{ i \sin \theta + i 2 \pi m},\ m \in \Z,\ \theta \in \R.$ Et donc $arg (e^{ i \sin \theta} )= \sin \theta + 2 \pi m,\ m \in \Z.$
Pour appliquer tout ça, un petit exercice : quel est le module et quel est l'argument de ce nombre complexe : $\cos (x) e^{-i x},\ x \in \R$ ?
Bon sinon YvesM t'a tout donné, il aurait pu te laisser chercher seul...
Je vous remercie !
Tu ne sais pas que si t est un réel, $e^{it}$ est de module 1 ? C'est pourtant dans quasiment tous les cours sur la forme exponentielle, et se démontre immédiatement avec la définition, non ?
Tu ferais bien de relire sérieusement tes cours pour savoir ce qui est "évident".
Cordialement.
Si bien sûr que je sais que $e^{it} = \cos t + i\sin t$ correspond à la notation exponentielle d'un nombre complexe dont le module vaut 1.
Mais ce que je ne saisi pas c'est pourquoi $|e^{ i\sin \theta}|$ $= 1$. Enfin si le module est 1 car il est de la forme $e^{it}$ mais pourquoi le mentionner dans ma résolution ?
Merci !
Sinon, pour en revenir à ta rédaction, ce qui manquait n'est pas que $|e^{i\sin(\theta)}|=1$, mais que $e^{\cos(\theta)}>0$.
Cours : voir ce message.
Face à tes incompréhensions, certains sont revenus à des éléments de preuve de cette propriété classique qu'on voit en cours.
Cordialement.
NB : Quand on connaît mal ses leçons, on pose des questions qui donnent l'idée qu'on ne comprend pas de quoi on parle. Ici, tu l'as fait plusieurs fois. Quand on les connaît vraiment, on n'a même plus besoin de l'avis des autres, on sait ce qui est correct.
Le Professeur nous montre juste un exemple avec zz' où z et z' ont pour module 1.
Bon courage,