Sous-groupes de Z/nZ

marwanus
marwanus
dans Algèbre
Bonjour,

Dans l'un des exemples qui mettent en pratique la décomposition canonique des morphismes de groupes, ou ce qui est aussi appelé apparemment la Propriété universelle du quotient, on me donne l'exemple en attaché.

Soit $p$ la surjection canonique $\quad\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z }/n\mathbb{Z} $

Je comprends que l'image réciproque d'un sous-groupe de $\ \mathbb{Z }/n\mathbb{Z}\ $ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$ car $p$ est un morphisme de groupe.
Mais je ne comprends pas pourquoi elle doit contenir $\ n\mathbb{Z} $
Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?
Merci beaucoup.

[Ne pas abuser des formules centrées. AD]69438

Réponses

  • moduloP
    moduloP
    Un sous-groupe contient l'élément neutre de $\Z/n\Z$ et l'image réciproque de ce neutre est $n\Z$.
  • Crapul
    Crapul
    Le sous-groupe de $Z/nZ$ comprend au moins l'élément neutre $\overline{0}$, donc l'image récirpoque comprend au moins $p^{-1}(\lbrace\overline{0}\rbrace)=nZ$.
  • marwanus
    marwanus
    En effet !

    Merci beaucoup moduloP et Crapul pour votre aide.
    Je me disais que la propriété universelle du quotient n'a rien à voir avec cela.

    Bonne journée !
  • marwanus
    marwanus
    La deuxième partie de cette démonstration qui me pose un problème est la bijection (correspondance exacte) entre les sous-groupes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et les sous groupes de $\mathbb{Z}$ contenant $n\mathbb{Z}$.

    $p$ n'est pas injectif à mon avis car $p^{-1}(\overline{0}) \neq \{0\}$. Je me trompe ?
    [EDIT]. [Je viens de voir le message de l'administrateur concernant l'abus des formules centrées. Pourriez-vous m'expliquer davantage ? Vous parlez des formules latex ? Merci]
    Merci pour votre aide.

    [Oui des expressions mathématiques placées en LaTeX entre $\$\$\ldots\$\$$ qui s'affichent centrées sur une ligne séparée.
    Leur usage excessif allonge le message qui alors ne tient plus sur une page. Cela rend la lecture difficile. AD]
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Non en effet $p$ n'est pas injectif (sauf cas trivial où $n=0$)
  • marwanus
    marwanus
    Merci Maxtimax, du coup le mystère reste entier par rapport à cette supposée bijection.

    Merci AD, j'ai bien compris pour les formules centrées.
  • Poirot
    Poirot
    Il suffit de regarder la définition de $p^{-1}(\overline{0})$. Il s'agit de $$\{a \in \mathbb Z, p(a) = \overline{0}\}.$$ Il est évident que $n$ est dans cet ensemble car $p(n) = \overline{0}$ ($n$ est divisible par $n$ !). Ensuite, comme il s'agit d'un sous-groupe de $\mathbb Z$, il contient certainement le sous-groupe de $\mathbb Z$ engendré par $n$, qui n'est rien d'autre que $n \mathbb Z$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Mais attention, ce n'est pas $p$ sur les éléments qui établit cette bijection, ça n'aurait pas de sens !
    Pour plus de clarté (mais souvent les auteurs ne font pas de même, car le contexte rend la chose claire), je note $P$ l'application image directe et $I$ l'application image réciproque associées à $p$: $P(E) = \{p(x) \mid x\in E\}, I(F) = \{x \mid p(x) \in F\}$.

    Le théorème de correspondance énonce alors que $P, I$ sont une paire de bijections, inverses l'une de l'autre, lorsque restreintes et corestreintes sur les ensemble suivants $\{d\mathbb{Z} : d\mid n \} \to \{H : $ sous-groupe de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \}$.

    Dans ce cas $P$ est injective, et surjective. Simplement, elle est souvent notée $p$ dans les ouvrages, pour éviter d'avoir à introduire des nouvelles notations, et car souvent le contexte rend cet abus clair (lorsque $H$ est un sous-groupe de $G$, on comprend que $p(H)$ n'est pas l'application de $p$ à $H$ qui serait aussi un élément de $G$ -même s'il pourrait l'être -, mais l'image directe de $H$ par $p$)
  • marwanus
    marwanus
    Merci beaucoup Poirot et Maxtimax pour votre aide, j'avais besoin du théorème de correspondance pour comprendre :-)

    Bonne journée à vous!
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