Sous-groupes de Z/nZ
Bonjour,
Dans l'un des exemples qui mettent en pratique la décomposition canonique des morphismes de groupes, ou ce qui est aussi appelé apparemment la Propriété universelle du quotient, on me donne l'exemple en attaché.
Soit $p$ la surjection canonique $\quad\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z }/n\mathbb{Z} $
Je comprends que l'image réciproque d'un sous-groupe de $\ \mathbb{Z }/n\mathbb{Z}\ $ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$ car $p$ est un morphisme de groupe.
Mais je ne comprends pas pourquoi elle doit contenir $\ n\mathbb{Z} $
Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?
Merci beaucoup.
[Ne pas abuser des formules centrées. AD]
Dans l'un des exemples qui mettent en pratique la décomposition canonique des morphismes de groupes, ou ce qui est aussi appelé apparemment la Propriété universelle du quotient, on me donne l'exemple en attaché.
Soit $p$ la surjection canonique $\quad\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z }/n\mathbb{Z} $
Je comprends que l'image réciproque d'un sous-groupe de $\ \mathbb{Z }/n\mathbb{Z}\ $ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$ car $p$ est un morphisme de groupe.
Mais je ne comprends pas pourquoi elle doit contenir $\ n\mathbb{Z} $
Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?
Merci beaucoup.
[Ne pas abuser des formules centrées. AD]
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Merci beaucoup moduloP et Crapul pour votre aide.
Je me disais que la propriété universelle du quotient n'a rien à voir avec cela.
Bonne journée !
$p$ n'est pas injectif à mon avis car $p^{-1}(\overline{0}) \neq \{0\}$. Je me trompe ?
[EDIT]. [Je viens de voir le message de l'administrateur concernant l'abus des formules centrées. Pourriez-vous m'expliquer davantage ? Vous parlez des formules latex ? Merci]
Merci pour votre aide.
[Oui des expressions mathématiques placées en LaTeX entre $\$\$\ldots\$\$$ qui s'affichent centrées sur une ligne séparée.
Leur usage excessif allonge le message qui alors ne tient plus sur une page. Cela rend la lecture difficile. AD]
Merci AD, j'ai bien compris pour les formules centrées.
Pour plus de clarté (mais souvent les auteurs ne font pas de même, car le contexte rend la chose claire), je note $P$ l'application image directe et $I$ l'application image réciproque associées à $p$: $P(E) = \{p(x) \mid x\in E\}, I(F) = \{x \mid p(x) \in F\}$.
Le théorème de correspondance énonce alors que $P, I$ sont une paire de bijections, inverses l'une de l'autre, lorsque restreintes et corestreintes sur les ensemble suivants $\{d\mathbb{Z} : d\mid n \} \to \{H : $ sous-groupe de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \}$.
Dans ce cas $P$ est injective, et surjective. Simplement, elle est souvent notée $p$ dans les ouvrages, pour éviter d'avoir à introduire des nouvelles notations, et car souvent le contexte rend cet abus clair (lorsque $H$ est un sous-groupe de $G$, on comprend que $p(H)$ n'est pas l'application de $p$ à $H$ qui serait aussi un élément de $G$ -même s'il pourrait l'être -, mais l'image directe de $H$ par $p$)
Bonne journée à vous!