Extensions cycliques d'un corps cyclotomique

Petits trucs (parce que je passe par là presque par inadvertance) :

$\triangleright$ il y a $(\varphi \star \mu)(q)$ caractères primitifs de Dirichlet (ainsi : il n'y a pas de caractère primitif si, et seulement si, $q=2m$ avec $m$ impair) ;

$\triangleright$ il y a $2^{\omega(q) + \alpha(q)}$ caractères réels de Dirichlet, avec $\alpha(q) = -1$ si $q \equiv \pm 2 \pmod 8$, $\alpha(q) = 1$ si $8 \mid q$ et $\alpha(q) = 0$ sinon.

$\triangleright$ la formule analytique du nombre de classes repose en grande partie sur la formule du produit : si $G$ est un groupe abélien de groupe de caractères associé $\widehat{G}$, alors pour tout $z$
$$\prod_{\chi \in \widehat{G}} \left( 1 - \chi(g) z \right) = \left( 1 -z^m \right)^{|G|/m}$$
où $g \in G$ est un élément d'ordre $m$.

Voilà ! avec ça et les relations d'orthogonalité, on est paré pour aborder les caractères dans le cadre de la théorie algébrique.

Désolé pour cette intrusion sans doute pas très utile...

@gai requin
Quelques nouvelles en vrac (comme d'habitude)

(1) J'ai retrouvé des billes concernant le signe du discriminant d'un corps de nombres. C'est dans la remarque 4, page 4 du papier de K. Conrad http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/nopowerbasis.pdf dont on a déjà parlé. Avec une référence à Washington. Et cette remarque vient après le théorème (3) de K. Conrad, qui donne le discriminant $p^2$ pour l'unique sous-extension cubique abélienne de $\Q(\root p \of 1)$ quand $p \equiv 1 \bmod 3$. Et ce résultat, qui est une instance d'un bout de ``Conductor Discriminant Formula'', K. Conrad en donne une preuve ``élémentaire'' à l'aide de la matrice tracique $3 \times 3$. Elémentaire mais un tantinet calculatoire (on n'a rien sans rien).

(2) Cela résout un problème de signe que j'avais et j'ai envie de reprendre/compléter un petit pdf montrant, entre autres, que $\text{Disc}(\mathcal O_K) = (p^*)^{e-1}$ où $\Q \subset K \subset \Q(\root p \of 1)$ est l'unique sous-extension de degré $e$ avec $e \mid p-1$. A coup de matrices circulantes à l'ancienne. Cela sera notre instance de bébés concernant ``Conductor Discriminant Formula''.

(3) Dans RingGaussSum, Th 2, p. 7, l'égalité $G_\psi(\chi) G_\psi(\overline \chi) = \chi(-1) \times \#R$ s'écrit aussi et c'est mieux (j'omets le caractère additif pour plus de clarté) :
$$
G(\chi) \overline{G(\chi)} = \#R \qquad (\heartsuit)
$$
pour la bonne raison que $G(\overline \chi) = \chi(-1)\overline {G(\chi)}$ et $\chi(-1) = \pm 1$. Et il n'y a pas si longtemps, je t'ai dit que je ``confondais'' $G(\overline \chi)$ et $\overline{G(\chi)}$ SANS que je m'en aperçoive car j'étais en cubique et en cubique $\chi(-1) = 1$. Et c'est bien pour cela que j'ai réagi au quart de tour quand j'ai vu ton histoire de $\chi(-1)$.

L'égalité $(\heartsuit)$, tu la verras écrite en théorie algébrique des nombres sous la forme conducteur $G(\chi) \overline{G(\chi)} = \mathfrak f_\chi$ car l'anneau fini $R$ est $\Z/\mathfrak f_\chi\Z$.

4) J'ai commencé à lire le petit papier ``Harbingers of Artin's Reciprocity Law ...'' de F. Lemmermeyer in https://arxiv.org/pdf/1109.1228.pdf. Harbingers, je le traduis par ``précurseurs''. Si tu voyais le CHANTIER de la mise en place de la réciprocité quadratique. On n'en parle pas souvent de ce chantier et on en fournit des preuves comme si c'était du petit lait. C'est d'ailleurs devenu du petit lait. Mais les anciens : Legendre, Gauss, Dirichlet ...etc.. ont transpiré pour nous. Et ensuite, pour d'autres lois de réciprocité, énorme boulot de Kronecker, Kummer, Hilbert, Frobenius, Chebotarev et d'Artin évidemment. Je regrette de ne pas m'être intéressé à l'histoire des maths plus tôt. Maintenant, c'est un peu tard.

J'aurai appris un truc sur les caractères de Dirichlet, moi aussi : il existe un homomorphisme injectif $\psi: (\mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z})^\times \to (\mathbb{Z}/p^{k+1} \mathbb{Z})^\times$ mais il n'est pas compatible avec la surjection canonique $(\mathbb{Z}/p^{k+1} \mathbb{Z})^\times \to (\mathbb{Z}/p^{k} \mathbb{Z})^\times$

Soit $p$ impair et $g$ un générateur de $(\mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z})^\times$, donc $g$ est une racine de $x^{\varphi(p^k)}-1 \bmod p^k$ et $g^{\varphi(p^k)}-1 = c p^k$.
Alors en général il n'existe pas de racine $g+t p^k$ de $x^{\varphi(p^k)}-1 \bmod p^{k+1}$.

Lemme d'Hensel : on écrit $f(y) = (g+y)^{\varphi(p^k)}-1 = f(0)+y f'(0)+ y^2 h(y) = g^{\varphi(p^k)}-1 + y \varphi(p^k) g^{\varphi(p^k)-1}+y^2 h(y) $ alors $f(tp^k) = (g+tp^k)^{\varphi(p^k)} -1= c p^k + t p^k \varphi(p^k) g^{\varphi(p^k)-1}+t^2 p^{2k} h(t p^k)$. On veut $f(tp^k) \equiv 0 \bmod p^{k+1}$ donc $c + t \varphi(p^k) g^{\varphi(p^k)-1} \equiv 0 \bmod p$, et comme pour $k > 1$, $p |\varphi(p^k)$, il n'y a pas de solution si $c \not \equiv 0 \bmod p$ donc $g^{\varphi(p^k)} \not \equiv 1 \bmod p^{k+1}$, ce qui est évidemment le cas pour $k$ suffisamment grand.

Question : comment comprendre pour un $p$ fixé le groupe de tous les caractères de Dirichlet $\bmod\, p^k, k \ge 1$ ? (où l'élément neutre c'est le caractère principal $1_{\gcd(n,p) = 1}$)

jean-éric,
Salut à toi et merci. Ca va ? Si tu t'ennuies, tu peux pas nous TeXer (quelle horreur ce verbe) les autres posts ? Je plaisante of course. Mais peut-être que ce qui vient peut t'intéresser ?

Gai-requin (et jean-éric, tu peux plus te barrer maintenant).
Qui dit caractère de Dirichlet dit groupe multiplicatif $(\Z/m\Z)^\times$, n'est ce pas ? Je te (=vous) propose d'étudier la structure du quotient :
$$
{(\Z/m\Z)^\times \over {(\Z/m\Z)^\times}^2 }
$$
Au dénominateur, c'est le sous-groupe des carrés que je n'ai pas envie d'écrire $((\Z/m\Z)^\times)^2$, because le magma de parenthèses.

Cela se fait en décomposant en produit de premiers et en pestant sur le nombre premier $2$.

Et une fois que l'on a la structure du groupe quotient, on a son cardinal, n'est ce pas ? Et on explique ainsi le deuxième item de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1559854,1570892#msg-1570892

@Reuns
Moi aussi, j'apprends quelque chose. Je n'avais pas fait gaffe. Ou j'avais oublié. Effectivement, la projection n'a pas de section. Prenons $k=2$ et considérons la surjection canonique :
$$
\pi : (\Z/p^3\Z)^ \times \twoheadrightarrow (\Z/p^2\Z)^ \times
$$
Eh bien, elle n'admet pas de section. Faut le justifier. Le noyau est d'ordre $\varphi(p^3)/\varphi(p^2) = p$ et est engendré par $1 + p^2$. Faut juste voir que $\langle 1 + p^2\rangle$ ne possède pas ``de complément'' dans $(\Z/p^3\Z)^ \times$. L'apparente vacherie c'est que l'on a un produit direct :
$$
(\Z/p^3\Z)^ \times = H . \langle 1+p^2\rangle \qquad \hbox {où $H$ est l'image de $(\Z/p^2\Z)^ \times$ par l'élévation à la puissance $p$}
$$
Je réfléchis (à un argument pour le fait que $\langle 1 + p^2\rangle$ ne dispose pas de complément).

Hello,
La tête dans le guidon. Je parle de moi. Prenons du recul (suite aux deux posts précédents). Soit une surjection :
$$
\pi : G_1 \twoheadrightarrow G_2, \qquad \hbox {$G_1$ cyclique d'ordre $N_1$, $G_2$ cyclique d'ordre $N_2$}
$$
Si $N_1/N_2$ et $N_2$ ne sont PAS premiers entre eux, alors $\pi$ n'admet PAS de section. C'est le truc à prouver.

Exemple : $k \ge 2$, $G_1 = (\Z/p^{k+1}\Z)^\times$ d'ordre $N_1 = p^k (p-1)$, $G_2 = (\Z/p^{k}\Z)^\times$ d'ordre $N_2 = p^{k-1}(p -1)$, $N_1/N_2 = p$.


@gai requin
Autre chose. Je pense à la vie du forum. Tu te souviens que tu as ouvert ce fil pour ne pas empiéter sur celui de tatal qui avait posté une question sur les groupes de Galois cycliques et la résolubilité par radicaux. Et ensuite, on l'a peu vu en Algèbre (talal). Mais dans d'autres rubriques. Oui et alors ? Non, juste comme cela, c'est que la vie du forum, c'est important, non ?

@gai requin
Oui, on peut se contenter du cardinal. Sauf que je préfère le cardinal du QUOTIENT. Décomposons $m$ en produits de premiers. Pour te montrer ma bonne volonté, je prends en charge TOUS les premiers impairs et je te laisse juste le premier $2$ (s'il y est). En ce qui concerne ma participation, je trouve comme contribution $2^h$ où $h$ est le nombre de premiers IMPAIRS divisant $m$.

@gai requin
Et le rapport avec les caractères réels sur $(\Z/m\Z)^\times$ ?

jean-éric

1) Cf mon post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1559854,1571922#msg-1571922 où je dis, par rapport à la dernière ligne de ton pdf, que j'ai peur d'une descente de police.

2) Tu as posé une question en http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1559854,1572092#msg-1572092 concernant la contribution du premier 2 dans le dénombrement de $(\Z/m\Z)^\times / (\Z/m\Z)^{\times 2}$. Et gai-requin t'a répondu en http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1559854,1572328#msg-1572328

Et on voit que lui aussi s'inquiète d'une descente de police.

Variante pour la contribution du facteur $2$ quand $r \ge 3$, $r$ étant la valuation de $2$ dans $m$. J'utilise :
$$
(\Z/2^r\Z)^\times \simeq C_2 \times C_{2^{r-2}}, \qquad\qquad
{(\Z/2^r\Z)^\times \over (\Z/2^r\Z)^{\times2}} \simeq {C_2 \times C_{2^{r-2}} \over C_2^2 \times C_{2^{r-2}}^2} \simeq C_2 \times C_2
$$
ce qui colle (en cardinal) avec le 4 de gai-requin.

@gai requin
Evidemment, ce n'était pas prévu. Mais maintenant, il reste à faire TOUTES les preuves. Car je suis loin d'avoir tout montré. J'ai par contre solidement expérimenté (à un point qu'il est peut-être difficile d'imaginer : tirage au hasard de $k$ puis de $k$ entiers premiers vérifiant ..etc..).

Ceci veut dire qu'il faut maintenant mettre sur le devant de la scène les sommes de Gauss et Jacobi sur $(\Z/f\Z)^\times$ et pas seulement sur les corps finis. Je n'en connais évidemment pas toutes les propriétés. J'ai été surpris par :
$$
-J(\chi, \chi) \equiv -\mu(f) \bmod 3 \quad \hbox {dans $\Z[j]$}
$$
Pas par le signe $-$ devant $J$, mais par le coup de $-\mu(f)$ qui autrefois valait $- (-1) = 1$ quand $f$ est réduit à un seul $p$. La vraie vérité sur cette histoire serait donc :
$$
J(\chi,\chi) \equiv \mu(f) \bmod 3
$$
Et quand les gens rouspètent que l'on a fait le mauvais choix de $J$ versus $-J$, c'est de la faute à personne si $\mu(p) = -1$.

Autre chose. Je viens de découvrir, de manière expérimentale, des propriétés de multiplicativité des sommes de Jacobi :
$$
J(\chi,\chi) = \prod_{i=1}^k J(\chi_i, \chi_i)
$$
où les $\chi_i$ sont les ``composantes'' de $\chi$ sur $\mathbb F_{p_i}^*$. J'ai intégré cette relation (pas encore prouvée) dans le moteur et je peux t'assurer que maintenant, le calcul des sommes de Jacobi, cela carbure.


Et je dis OUI aux deux points de ton (dernier) post. Grosso modo, je dis que l'on peut TOUT expliciter. Par exemple, le polynôme $F_\chi$ est le polynôme minimal de $s_1-s_0$ où $(s_0, s_1, s_2)$ sont les 3 périodes de Gauss, cf la proposition 2 page 3 de mon CubicGauss, établie seulement dans le cas $f = p$.

Et bien sûr, on retrouve $\chi, \chi^{-1}$ dans la fonction zeta de $K = \Q(\root f \of 1)^{\ker\chi}$.

Et donc, il reste vachement de boulot ! Reprendre CubicGaussSum.tex de A à Z, en remplaçant $p$ par $f$. Tout en louchant sur le petit papier de Conrad http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/nopowerbasis.pdf qui lui aussi est en terrain $\Q(\root p \of 1)$ pour $p \equiv 1 \bmod 3$.

Dans ces deux pdf (celui de K. Conrad et le mien), il y a des calculs sordides, j'en conviens. Mais on n'a rien sans rien.

Si tu as moins peur des caractères qu'avant (il y a quelques jours), je trouve que c'est l'occasion d'en remettre une couche concernant les caractères sur les anneaux $\Z/m\Z$ (et leurs sommes de Gauss, de Jacobi, les périodes ...etc..).


Autre chose : je suis tombé sur http://people.math.carleton.ca/~williams/papers/pdf/292.pdf. Et je vois qu'en section 5, les auteurs disent que Cohen possède une paramétrisation des corps cycliques cubiques. Ce qui prouve encore une fois qu'on ne lit pas car j'ai le Cohen depuis 15 ans ou plus (je ne sais plus) et je l'ignorais. Ce n'est PAS la paramétrisation de mon post précédent. Je ne sais pas si tu disposes du Cohen (A Course in Computational Algebraic Number Theory) mais tu verras, section 6.4.6, que là aussi, il y a des choses assez ``sordides''. Ce n'est pas dû à Cohen ! Mais à la chose cubique cyclique.

@gai requin
C'est plutôt une bonne chose d'avoir des trucs à faire, non ? Tu vas me dire que je n'ai pas du tout répondu à ta question initiale : comment plonger une extension cyclique de $\Q$ dans une extension cyclotomique. C'est pas faux. Mais dans le cas (modeste) cubique, avant de plonger ..., j'ai d'abord voulu savoir où je plonge. Probablement que je plongerais jamais mais au moins j'aurais vu le plongeoir et ce qu'il y a en dessous.

Pour te convaincre que c'est du CONCRET et que ça tourne (je suis pas trop du genre yaka-fokon), voici une trace d'exécution. Je tire $k$ au hasard entre 1 et 4, puis $k$ premiers parmi .. Et je réalise les choses de la vie.

> AdHocPrimes ;
[ 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97 ]
> k := Random(1,4) ;
> P := Tirer(k) ;
> P ;
[ 61, 79, 97 ]
> f := &*P[1..k] ;
> f ;
467443
> G := DirichletGroup(f, Qj, j, 3) ;
> assert #G eq 3^k ;
> 
> Chi := [chi : chi in Elements(G) | Conductor(chi) eq f] ;
> assert #Chi eq 2^k ;
> 
> chi := Random(Chi) ;
> time z, t,u := ConductorFactorisation(chi) ;
Time: 0.010
> Qj!z ;
-639*j + 82
> assert ConductorFactorisation(chi^-1) eq Conjugaison(z) ;
> 
> F := CubicPolynomial(chi) ;
> F ;
X^3 - 467443*X - 99565359
> G := CubicPolynomial(chi^-1) ;
> G ;
X^3 - 467443*X + 99565359
> assert G eq -Evaluate(F,-X) ;
> 
> K := NumberField(F) ;
> assert Discriminant(MaximalOrder(K)) eq f^2 ;
> 
> // L-séries et tutti-quanti
> precision := 2*10^2 ;
> AssertAttribute(PSR, "Precision", precision) ;
> 
> ZetaK := LSeries(K) ;
> assert Conductor(ZetaK) eq f^2 ;
> SK<q> := FormalSeries(ZetaK, precision) ;
> SK ;
q + 3*q^3 + q^8 + 6*q^9 + 3*q^11 + 3*q^17 + 3*q^23 + 3*q^24 + 10*q^27 + 3*q^29 + 3*q^31 + 9*q^33 + 3*q^37 + 9*q^51 + 
    q^61 + q^64 + 9*q^69 + 3*q^71 + 6*q^72 + 3*q^73 + q^79 + 15*q^81 + 9*q^87 + 3*q^88 + 3*q^89 + 9*q^93 + q^97 + 
    18*q^99 + 3*q^107 + 9*q^111 + 3*q^113 + 6*q^121 + q^125 + 3*q^127 + 3*q^131 + 3*q^136 + 3*q^137 + 3*q^151 + 18*q^153
    + 3*q^167 + 3*q^173 + 3*q^179 + 3*q^183 + 3*q^184 + 9*q^187 + 3*q^192 + 3*q^193 + 3*q^197 + 3*q^199
> L := LSeries(chi) * LSeries(chi^-1) * RiemannZeta() ;
> S := FormalSeries(L, precision) ;
> assert S eq SK ;

@gai requin
Trois indéterminées $S_0, S_1, S_2$ et une identité :
$$
\left| \matrix {
S_0 & S_1 & S_2\cr
S_2 & S_0& S_1\cr
S_1 & S_2 & S_0\cr} \right| =
(S_0 + S_1 + S_2) (S_0 + jS_1 + j^2 S_2) (S_0 + j^2 S_1 + jS_2)
$$
Comme c'est une identité, par ``principe'', ce n'est pas ``difficile'' à montrer. Attention cependant à l'organisation circulante de cette matrice, cf note à la fin.

A partir de cela (et d'autres bricoles), on arrive à prouver, dans le contexte cubique de ces derniers jours, que $\text{Disc}(s_0, s_1, s_2) = f^2$ où $(s_0, s_1, s_2)$ est la $\Z$-base des périodes de Gauss de $\mathcal O_K$, cf le point 1) de ton post ce matin.

Et la preuve est bien plus simple (et plus générale) que la preuve de K. Conrad page 3 de http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/nopowerbasis.pdf (qui opère sur la matrice tracique)

Mais je me dis que peut-être tu es perdu ??


Matrices circulantes : attention au pata-caisse de la circulation. La circulation doit être réalisée dans un CERTAIN sens si on veut éviter des problèmes de signe. C'est un souci ``bien connu'' quand on s'y frotte. Et attention également aux choix des anciens (Catalan, Cremona, Spottiswoode), cf page 3 de Origin of Representation Theory de K. Conrad in http://www.math.uconn.edu/~kconrad/articles/groupdet.pdf. C'est sur la matrice circulante fournie par Conrad que je m'aligne (en l'ayant contrôlée).

Bonsoir à tous les deux,

j'ai bien pris note de mon erreur (merci !) mais là je suis surbooké pour même rectifier.

Jean-éric

@gai requin
YES. Et maintenant, on se fait l'identité circulante et même plus. Ici $S_0, S_1, S_2$ sont n'importe quoi. Je colle un PREMIER vecteur propre
$$
\pmatrix {
S_0 & S_1 & S_2\cr
S_2 & S_0& S_1\cr
S_1 & S_2 & S_0\cr}
\pmatrix {1\cr 1 \cr 1\cr } = (S_0 + S_1 + S_2) \pmatrix {1\cr 1 \cr 1\cr }
$$
A toi de jouer
$$
\pmatrix {
S_0 & S_1 & S_2\cr
S_2 & S_0& S_1\cr
S_1 & S_2 & S_0\cr}
\pmatrix {1\cr j \cr j^2 \cr } = ? \times \pmatrix {1\cr j \cr j^2\cr }
\qquad\qquad
\pmatrix {
S_0 & S_1 & S_2\cr
S_2 & S_0& S_1\cr
S_1 & S_2 & S_0\cr}
\pmatrix {1\cr j^2 \cr j\cr } = ? \times \pmatrix {1\cr j^2 \cr j\cr }
$$
Je note $C$ la matrice circulante. Et les 3 égalités vectorielles ci-dessus, on les met côte à côte pour obtenir une égalité entre matrices $3 \times 3$ :
$$
C \times V = V \times D \qquad\quad (\heartsuit)
$$
La lettre $D$ car il s'agit d'une matrice diagonale. Et $V$ car cela sent Vandermonde (ou sa transposée).

De quoi je cause ? Surtout qui est $D$ ? Et si je prends le déterminant dans $(\heartsuit)$, cela donne quoi ?


PS : faut comprendre que certains résultats montrés dans le cadre cubique $n=3$ vont se généraliser sans aucun problème pour $n$ quelconque.

@gai requin
J'espère que tu maintiens des notes sur un brouillon. Ca va durer un certain temps. Sommes de Jacobi : c'est réglé (et évident via recul structurel). Je vais te présenter plus tard un topo sur les périodes de Gauss générales (terrain galoisien quelconque). Mais pour l'instant deux mots sur les matrices circulantes. Plusieurs modèles :
$$
x_{(i+j)\ \bmod\ n}, \qquad\qquad x_{(j-i)\ \bmod\ n}, \qquad\qquad x_{(i-j)\ \bmod\ n}
$$
Hier pour pouvoir échanger et s'aligner sur K. Conrad, j'ai utilisé le modèle du milieu. Le modèle symétrique (gauche) : pouah car introduit un signe $(-1)^{(n-1)(n-2) \over 2}$. J'ai une préférence pour le modèle de droite ``en colonnes'' (mes habitudes à la française, cocorico). C'est la transposée du modèle du milieu donc même déterminant.

> SymmetricCirculantMatrix(x) ;
[x0 x1 x2 x3 x4]
[x1 x2 x3 x4 x0]
[x2 x3 x4 x0 x1]
[x3 x4 x0 x1 x2]
[x4 x0 x1 x2 x3]
> RowCirculantMatrix(x) ;
[x0 x1 x2 x3 x4]
[x4 x0 x1 x2 x3]
[x3 x4 x0 x1 x2]
[x2 x3 x4 x0 x1]
[x1 x2 x3 x4 x0]
> ColCirculantMatrix(x) ;
[x0 x4 x3 x2 x1]
[x1 x0 x4 x3 x2]
[x2 x1 x0 x4 x3]
[x3 x2 x1 x0 x4]
[x4 x3 x2 x1 x0]

Ma préférence vient du fait qu'en désignant par $\Phi$ la matrice compagnon à la française de $X^n - 1$ i.e. la matrice du cycle $(1, \cdots, n)$, on a :
$$
C_x = x_0\Phi^0 + x_1\Phi^1 + \cdots + x_{n-1} \Phi^{n-1}
$$

> Phi := Transpose(CompanionMatrix(X^n - 1)) ;
> Phi ;
[0 0 0 0 1]
[1 0 0 0 0]
[0 1 0 0 0]
[0 0 1 0 0]
[0 0 0 1 0]
> cycle := Sym(n) ! ([2..n] cat [1]) ;
> cycle ;
(1, 2, 3, 4, 5)
> Phi eq Transpose(PermutationMatrix(A, cycle)) ;
true
> S := &+[c(i)*Phi^i : i in [0..n-1]]  where c is map < [0..n-1] -> x | i :-> x[i+1] > ;
> S ;
[x0 x4 x3 x2 x1]
[x1 x0 x4 x3 x2]
[x2 x1 x0 x4 x3]
[x3 x2 x1 x0 x4]
[x4 x3 x2 x1 x0]
> S eq ColCirculantMatrix(x) ;
true

Tu vois que les anglo-saxons (magma) m'obligent à mentionner la transposée car ils sont en lignes, alors que moi, je suis en colonnes.

$\Phi$ réalise $\Phi(e_i) = e_{i+1}$ sur la base canonique, indices modulo $n$, numérotation de $0$ à $n-1$. Chaque $\xi \in \mathbb U_n$ fournit un vecteur propre $u_\xi$ de $\Phi$ :
$$
u_\xi = e_0 + \xi^{-1} e_1 + \xi^{-2} e_2 + \cdots + \xi^{-(n-1)} e_{n-1},\qquad\qquad
\Phi(u_\xi) = \xi \ u_\xi
$$
Tu reconnais une indexation de type résolvantes de Lagrange-Hilbert.

Le coup de $u_\xi$ vecteur propre de $\Phi$ passera sans problème aux puissances de $\Phi$ donc à $C_x$ par combinaison linéaire (accorder les valeurs propres).


Et pour $\Phi$, tu obtiens, en désignant par $V$ la matrice de Vandermonde en lignes i.e. $(1, \cdots, 1)$, une égalité de type :
$$
\Phi \times V = V \times D, \qquad\qquad D = \text{Diag} (\xi, \xi \in \mathbb U_n)
$$
Et pour $C_x$ à la place de $\Phi$, pareil (accorder la matrice diagonale $D$, pas changer $V$).

Tu vas trouver que je suis un peu rigide. C'est pas faux. Mais j'aime pas me prendre un signe $(-1)^{(n-1)(n-2) \over 2}$ dans la gu.ule. Note : j'ai vu pas mal de gens, ils ne savaient même pas dans quel sens ils circulaient.

$\def\OK{\mathcal O_K}\def\OL{\mathcal O_L}$@gai-requin
Là, je réponds à ton point 2) dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1559854,1572358#msg-1572358 où tu parles de correspondance galoisienne. Oui et non, car il faut la REVISITER. Petit topo.

1) Théorème de la base normale d'Artin. Contexte général de $L/K$ galoisienne de groupe $G$. Impact : si on dispose d'une base normale de $L/K$ pilotée par $z \in L$, la correspondance galoisienne se trouve explicitée par la théorie des périodes de Gauss i.e. pour $H \subset G$, on définit la période de Gauss :
$$
s_C = \sum_{\sigma \in C} \sigma(z), \qquad\quad \hbox {$C$ classe à DROITE de $G$ modulo $H$}
$$
On obtient ainsi une $K$-base $(s_C)$ de $L^H$, indexée par les $[G:H]$-classes à droite $C$. En un certain sens, Artin a trivialisé la théorie de Galois en au moins 3 endroits clés (SA preuve de l'indépendance des morphismes de Dedekind, le coup de base normale et bien sûr le théorème d'Artin $L^{\rm groupe\ fini}$).

Est ce que c'est écrit partout, le coup des périodes de Gauss ? Je n'en sais rien (et je m'en fous un peu car tous les gens au courant le savent). Bien sûr, Gauss n'a traité que le cas cyclotomique de niveau premier (la théorie de Galois n'existait pas encore et Artin encore moins).

Etre super-clair sur ce point 1). Sans cela, on ne peut rien faire.


2) Passage en théorie des nombres. Une extension galoisienne $L/K$ de groupe $G$ de corps de nombres. Et regard sur l'étage $\OL/\OK$. Est ce que $\OL/\OK$ possède une base normale ? NIET-1 : $\OL$ n'est même pas libre sur $\OK$ ($\OK$ n'est pas un anneau principal). On particularise à $K = \Q$, si bien que $\OL$ est libre sur $\Z$. Existence d'une base normale ? : NIET-2 $\Z[i\rbrack/\Z$ non normale.

Il est très rare que $\OL/\Z$ soit normale. Mais il y a le cas exceptionnel $L = \Q(\root N \of 1)$, $N$ SANS FACTEUR CARRE, où là, on dispose d'une base normale naturelle, à la fois $\Q$-base de $L$ mais surtout $\Z$-base de $\OL$. Je compte l'écrire (c'est le coup du ``produit tensoriel cyclotomique'' pour les enfants, j'ai pas mieux pour l'instant).

Et dans ce contexte, BINGO. Le coup des périodes de Gauss passe aux anneaux d'entiers.

Ceci est la BASE. Si on n'a pas cela avec soi, on ne peut rien faire (bis).

@gai requin
De mon côté, je préfère le faire à la main pour plusieurs raisons : parce ce que c'est simple, parce que Artin c'est bien après Gauss et surtout ce qui vient passe aux anneaux (commutatifs) sans aucun changement (penser au point 2). Bien d'accord que les $s_C$ sont invariants par $H$, car on a mis le bon côté (classes à DROITE) i.e.
$$
s_C = s_{Hg} = \sum_{\sigma \in Hg} \sigma(z)
$$
On voit bien que $\tau(s_C) = s_C$ pour $\tau \in H$.

Réciproquement, soit $x \in L$, $H$-invariant. D'abord, indépendamment de cette hypothèse, on écrit $x = \sum_{\sigma \in G} \lambda_\sigma \sigma(z)$ avec $\lambda_\sigma \in K$ et on calcule $\tau(x)$:
$$
\tau(x) = \sum_\sigma \lambda_\sigma \tau \sigma(z) = \sum_\sigma \lambda_{\tau^{-1}\sigma} \sigma(z)
$$
Il y a eu un petit changement de variables. Maintenant, on écrit que $\tau(x) = x$ pour $\tau \in H$. Et on obtient :
$$
\lambda_{\tau^{-1} \sigma} = \lambda_\sigma \qquad \forall \sigma \in G, \quad \forall \tau \in H
$$
Eh, bien, cela dit que $\lambda$ est constante sur chaque classe à droite $C = H\sigma$ ; et donc que $x$ est $K$-combinaison linéaire des $(s_C)$.


PS : je n'ai jamais compris pourquoi on ne racontait pas en quoi la correspondance de Galois $H \to L^H$, c'était relativement explicite (lorsque l'on dispose d'une base normale). Mais peut-être que je vieillis (ça c'est sûr), et que c'est en fait écrit un peu près partout.