On n'a pas le droit de faire l'erreur gauche-droite ici ! ;-)
Donc on a les sous-extensions de $L$ avec une base pour chacune d'entre elle si on a la chance de connaître une base normale (pour moi, ça ne court pas les rues même si on sait que...).
Pour le 2), j'ai pensé utiliser un truc du type $$\Q\subset\Q(\zeta_1)\subset \Q(\zeta_1)(\zeta_2)\subset\cdots \subset\Q(\zeta_1,\ldots,\zeta_{k-1})(\zeta_k)=L.$$Mais est-ce que les bases normales sont stables par multiplication ?
Pour les caractères primitifs, les sommes de Gauss sont pseudo-multiplicatives et les sommes de Jacobi sont multiplicatives :
Si $\chi$ est un caractère primitif $\bmod\ q$ alors $\chi$ est sa propre transformée de Fourier discrète $$\chi(n) = \sum_{k=1}^q \frac{G(\chi) \overline{\chi(k)}}{q} e^{2i \pi nk/q} \qquad \text{où} \qquad G(\chi) \overline{\chi(k)} = \sum_{n=1}^q \chi(n) e^{-2i \pi nk/q}$$ ce qui donne aussi $|G(\chi)|^2 = q$
Si $\chi,\psi$ sont deux caractères $\bmod \, q$ et $\bmod\, r$ où $\gcd(q,r)=1$, alors (CRT) on pose $a \equiv r^{-1} \bmod q, b \equiv q^{-1} \bmod r$ et tout $l \bmod qr$ s'écrit uniquement comme $l= n a r+ m b q$ où $l \equiv n \bmod q, l \equiv m \bmod r$, donc $\chi\psi(l) =\chi(l) \psi(l)= \chi(n) \psi(m)$ et
$$\overline{\chi(a)}G(\chi)\overline{\psi(b)} G(\psi) = \sum_{n=1}^q \chi(n) e^{-2i \pi an/q} \sum_{m=1}^r \psi(m) e^{-2i \pi bm/r}=\sum_{l=1}^{qr} \chi\psi(l) e^{-2 i\pi l/(qr)} = G(\chi \psi)$$
Si $\chi$ est un caractère $\bmod \, q$ qui se factorise (par le CRT) de façon unique en $\chi = \prod_{p^e \| q} \chi_{p^e}$ où $\chi_{p^e}$ sont des caractères $\bmod \, p^e$, alors $$G(\chi) = \prod_{p^e\|q} \overline{\chi_{p^e}(a_{p^e})}G(\chi_{p^e}) \qquad \text{où} \qquad a_{p^e} \equiv (q p^{-e})^{-1} \bmod p^e$$
Concernant les posts de Claude sur le lien caractère cubique primitif $\bmod \, q$, sous-corps $K$ de $\mathbf{Q}(\zeta_q)$ fixé par $\ker(\chi) \subset \text{Gal}(\mathbf{Q}(\zeta_q)/\mathbf{Q})$, le polynôme cubique $F_\chi$ qui génère l'extension abélienne cubique $K/\mathbf{Q}$, le conducteur de cette extension et le discriminant de $F_\chi$,
ça m'intéresserait beaucoup de mettre tout ça dans le contexte des courbes elliptiques avec multiplication complexe, dont le comptage des points se fait justement avec des sommes de Jacobi.
En particulier je me demande si on peut partir de $F =\mathbf{Q}(\sqrt{-d})$, prendre une extension abélienne cubique $L/F$, écrire que $\zeta_L(s) = \zeta_F(s)L(s,\psi)L(s,\psi^2)$ où $\psi$ est un caractère de Hecke cubique de $\mathcal{O}_F$, montrer que $\psi(\mathfrak{p}) = \frac{J(\chi,\chi)}{N(\mathfrak{p})^{1/2}}$ où $\chi$ est un certain caractère de $\mathcal{O}_F/\mathfrak{p}$, et montrer que $J(\chi,\chi)$ donc $\psi$ compte le nombre de points $\bmod \, p$ d'une certaine courbe elliptique $E/\mathbb{Q}$ avec multiplication complexe par un order de $\mathcal{O}_F$.
J'ai relu la p.46 du fil Homographies...
Donc, puisque $f$ est sans facteurs carrés, la famille des racines primitives de l'unité d'ordre $f$ est une $\Z$-base normale de $\Z[\root f \of 1]$.
On voit dans cette page qu'effectivement, tu as joué avec le produit tensoriel pour construire des bases de plus en plus grosses.
Faut que je regarde ça de plus près...
@gai requin
Oui, mais cette page 46 dont tu parles, ce n'est peut-être pas assez détaillé. Comme ce n'est pas écrit partout, cela vaudrait le coup que cela soit écrit noir sur blanc, c'était prévu que je m'y colle. Car figure toi, il y a une semaine, que je l'avais oublié cette histoire de base normale de $\Z[\root N \of 1]$ pour $N$ sans facteur carré. Et j'avais également oublié que j'avais tapé la preuve de Weil pour $-J(\chi, \chi) \equiv 1 \bmod 3$ dans $\Z[j]$ dans le contexte que tu sais.
@reuns : Vu ton avant dernier post. Pour les sommes de Jacobi, il y a une preuve directe de la multiplicativité car il y a de la fonctorialité en l'anneau fini $R$. I.e. si $R = R_1 \times R_2$, alors .. Cette manière de procéder vient du fait que j'ai fait un peu d'Algèbre Commutative. Je suis en train d'écrire cela car je ne m'y retrouve pas (en un certain sens, même si c'est contradictoire, je n'aime pas l'information par les posts car je n'arrive pas à lire). Vu aussi la règle de multiplicativité des sommes de Gauss.
Quant à ton post où figure une histoire de courbes elliptiques, j'ai lu et relu. Et c'est trop fort pour ma pauvre petite tête en tout cas trop ambitieux pour moi. Je ne te cache pas que j'ai commencé à jouer (il y a 3 - 4 semaines) avec les courbes elliptiques (à multiplication complexe), les caractères de Hecke ...etc... Mais dans un cadre beaucoup plus simple. Pour ne rien te cacher la courbe $y^2 = x^3 - n^2 x^2 = x (x - nx) (x + nx)$, à multiplication complexe par $\Z[i\rbrack$. Certes, c'est petit, mais j'en ai bavé pour implémenter ce binz à cause d'histoires de conducteurs, de types ..
Pas de problèmes pour l'isomorphisme d'algèbres $\Z[x,y]\rightarrow \Z[t]$.
Pour le reste, on dirait que le compositum $\Z[x,y]$ vu comme $\Z$-module, c'est pareil que $\Z[\root n \of 1] \otimes_\Z \Z[\root m \of 1]$ dont une base serait (hypothèse de récurrence) $(\zeta_{i,n}\otimes \zeta_{j,m})_{\substack{1\leq i\leq \varphi (n )\\ 1\leq j\leq\varphi (m)}}$, où les $\zeta_{i,n}$ (resp. les $\zeta_{j,m}$) sont les racines primitives de l'unité d'ordre $n$ (resp. d'ordre $m$).
Peut-être aussi que par construction, le transport de $\Z$-bases est donné par $$\zeta_{i,n}\otimes \zeta_{j,m}\mapsto \zeta_{i,n}^v \zeta_{j,m}^u \ni \Z[\root nm \of 1].$$Tout ceci est très certainement approximatif.
@gai requin
Je vois à quoi tu fais allusion évidemment. J'aime bien mon commentaire ``Avec .., on peut faire du transport de $\Z$-bases'' !! Quand on relit cela des mois après, on peut se demander ce que cela veut dire exactement. Je suis un peu gonflé. Il va falloir terminer les vérifications, si besoin.
Je n'ai pas été très efficace pendant ces deux derniers jours. J'ai passé plusieurs heures à chasser une erreur de signe (chez moi) dans un binz combinatoire nommé ``MacMahon Master Theorem''. J'ai cru ne pas pouvoir y arriver. Mais c'est réglé. Ouf.
@gai requin
J'ai quand même pris le temps d'assurer le transport des familles. C'est bon. Mais non, je ne parle pas de ma voiture mais ...
Et je dis ``familles'' et pas ``bases'' tant qu'elles ne pas élues en tant que telle(s).
Surtout pas de produit tensoriel. Si $P \in \Z[X]$ et $Q \in \Z[Y]$, au lieu de parler de $\Z[X]/\langle P \rangle \otimes_\Z \Z[Y]/\langle Q\rangle$, il suffit de parler de $\Z[X,Y]/\langle P, Q \rangle$. Cela aura le même effet.
J'avance tout doucement dans mon pdf (3 pages) mais je me suis interrompu pour jouer avec des polytopes. Bref, rien avant Mardi à mon avis.
De mon côté, je pense que ça peut le faire de la façon suivante :
Comme $n$ et $m$ sont premiers entre eux, $\Q(\zeta_n)$ et $\Q(\zeta_m)$ sont linéairement disjointes sur $\Q$ donc une base de $\Q(\zeta_n,\zeta_m)=\Q(\zeta_{nm})$ est $(\zeta_{i,n}\zeta_{j,m})_{\substack{1\leq i\leq \varphi (n )\\ 1\leq j\leq\varphi (m)}}$ (par l'hypothèse de récurrence).
On montre ensuite que cette base est en fait la collection de toutes les racines primitives de l'unité d'ordre $nm$.
@Reuns
Je reviens sur ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1559854,1573332#msg-1573332. On part d'une extension abélienne cubique $L$ d'un corps quadratique imaginaire que je vais noter $K$ (sorry). Cette donnée ferait apparaître un ``caractère cubique'' $\psi$ ``sur'' $\mathcal O_K$. Via la factorisation de $\zeta_L$. Question bête : est ce que l'on est bien sûr de cela ? I.e. de $\zeta_L = \zeta_F L_\psi L_{\overline \psi}$.
Ce caractère cubique $\psi$, c'est un caractère de Hecke, c'est ce que tu dis. Donc qui mouline sur les idéaux de $\mathcal O_K$ (modulo l'équivalence qui définit le ray class group) étrangers à un certain modulus (ici, vu quadratique imaginaire, pas de premiers infinis dans le modulus). Mais quel serait le modulus $\mathfrak m$ de $\psi$ ? Rapport avec l'idéal discriminant de $L/K$ ?
Je reviens deux minutes sur la situation analogue au dessus de $\Q$. Si $L/\Q$ est abélienne cubique, cela fait naître un caractère cubique. Sur quoi ? On va dire sur le groupe de Galois de $L/\Q$. Précisons que $L/\Q$ possède un conducteur $f$, en particulier $L \subset \Q(\root f \of 1)$, et $G = (\Z/f\Z)^\times$ groupe de Galois de l'extension cyclotomique coiffante. Et le caractère cubique, disons qu'il est relié à $G/G^3 \simeq \mathbb U_3$.
Dans le cas au dessus de $\Q$, on profite ainsi de l'extension cyclotomique maximale $\Q(\root \infty \of 1)$, disons du théorème de Kronecker-Weber.
Retour à la base avec un corps quadratique imaginaire $K$. Je prends le plus simple qui me vient sous la main i.e. $K = \Q(i)$. Il est très particulier car principal. Tant pis ou tant mieux. Quel est l'analogue de $\Q\root \infty \of 1)$ pour $\Q(i)$ ? Il semble que cela soit donné par tous les points de $n$-torsion ($n$ variable) de la courbe elliptique $C : y^2 = x^3 + x$, de conducteur 64 (un chapitre de Silverman/Tate est consacré à cela). C.a.d. que l'on prend les $x$-coordonnées et $y$-coordonnées (au dessus de $\overline\Q$) du groupe de $n$-torsion $C[n]$ et avec cela, on forme une $\Q(i)$-extension $K_n$. Et $K_n/\Q(i)$ est abélienne. Et toute extension abélienne de $\Q(i)$ est contenue dans une $K_n$. Et donc le pendant de $\Q(\root \infty \of 1)$ est $\bigcup_{n \ge 1} K_n$.
On a donc ici un terrain de jeu avec $\Q(i)$ et les $K_n$. Sauf que je suis ignorant sur $\text{Gal}(K_n/\Q(i))$. Qui va se rêvéler plus compliqué que $\text{Gal}(\Q(\root n \of 1)/\Q)$.
Evidemment, je ne suis clair sur rien. Sur le web, tu vas trouver ``Extensions abéliennes de corps quadratiques imaginaires'' de Karwasz et Pandey, 30 décembre 2003, en français. On a l'impression qu'il s'agit d'un mémoire mais je n'en suis pas sûr. Ils suivent de près Silverman I et Silverman-Tate (ce sont les seules références bibliographiques). En général, les étudiant(e)s dans un mémoire, suivent fidèlement leurs sources. Mais dans leur mémoire, la courbe elliptique qui intervient est $y^2 = 4x^3 - 4x$ disons $y^2 = x^3 - x$ (diviser par $4$ et happer $y$). Mais cette dernière est de conducteur 32, donc n'est pas isogène à l'autre de conducteur $64$. Il doit y avoir une histoire de twist.
Tu vois bien ci-dessus, de nouveau, que je ne suis pas clair. Si je précise certains détails (conducteurs des courbes elliptiques), c'est pour la raison suivante : lorsque l'on se lance dans une expérimentation d'un terrain inconnu, on prend quand même quelques précautions extrêmes afin de ne pas faire n'importe quoi.
@Reuns,
Faut bien se lancer n'est ce pas ? Je me suis pas trop fait ch.er, j'ai pris le polynôme $F_a$ (simplest cubic field)
$$
F_a = X^3 - aX^2 - (a+3)X - 1, \qquad\qquad \text {Disc}(F_a) = (a^2 + 3a + 9)^2
$$
Sur $\Q$, je n'en connais même pas le statut en général i.e. avec $a$ en paramètre. J'ai fait $a=1$,si bien que le discriminant est $13^2$ et sur $\Q$, vu que 13 est premier, cela conduit à l'unique extension abélienne cubique contenue dans $\Q(\root 13 \of 1)$.
Je l'ai (le polynôme $F_a$ avec $a = 1$) considéré au dessus de $\Q(i)$. Il reste irréductible, pas de garbage i.e. $\mathcal O_L = \mathcal O_K[x]$ avec $x$ racine de $F_a$.
Question très bête : à quoi pouvait-on s'attendre concernant la factorisation $\zeta_L = \zeta_K L_1 L_2$ où j'ai eu du mal à regrouper $L_1$, $L_2$, cf ci-dessous ? Pouvait-on prévoir la chose à partir du comportement au dessus de $\Q$ ? Quid de ton caractère de Hecke $\psi$ par rapport au caractère cubique au dessus de $\Q$ ? ...etc..
> K<i> := QuadraticField(-1) ;
> OK := MaximalOrder(K) ;
> KX<X> := PolynomialRing(K) ;
>
> a := 1 ; Fa := X^3 - a*X^2 - (a+3)*X - 1 ;
> assert Discriminant(Fa) eq (a^2 + 3*a + 9)^2 ; // 13^2
> L<x> := NumberField(Fa) ;
> L ;
Number Field with defining polynomial X^3 - X^2 - 4*X - 1 over K
> assert Degree(L) eq 3 and AbsoluteDegree(L) eq 2*3 ;
> G, roots, data := GaloisGroup(L) ;
> assert #G eq 3 and IsCyclic(G) ;
>
> OL := MaximalOrder(L) ;
> assert Discriminant(OL) eq ideal <OK | 13^2> ;
> assert OL eq Order([x]) ;
>
> time ZetaL := LSeries(L) ;
Time: 0.560
> //ZetaLfactors := Factorisation(ZetaL) ;
> time ZetaK := LSeries(K) ;
Time: 0.070
>
> Lfactors := Factorization(ZetaL/ZetaK) ;
> // [<L1,1>, ...] pour L1^1 * L2^1 * ....
> // Virer les exposants
> Lfactors := [item[1] : item in Lfactors] ;
> [Conductor(L) : L in Lfactors] ;
[ 13, 52, 13, 52 ]
> L1 := &*[L : L in Lfactors | Conductor(L) eq 13] ;
> L2 := &*[L : L in Lfactors | Conductor(L) eq 4*13] ;
>
> assert ZetaL eq ZetaK * L1 * L2 ;
> L1`weight, L2`weight ;
1 1
>
> [<p,IntegralEulerFactor(L1,p)> : p in PrimesInInterval(2,20)] ;
[
<2,T^2 + T + 1>, <3,T^2 + T + 1>, <5,T^2 - 2*T + 1>, <7,T^2 + T + 1>, <11, T^2 + T + 1>, <13, 1>, <17, T^2 + T + 1>, <19,T^2 + T + 1>
]
> [<p,IntegralEulerFactor(L2,p)> : p in PrimesInInterval(2,20)] ;
[
<2, 1>, <3,T^2 - T + 1>, <5,T^2 - 2*T + 1>, <7,T^2 - T + 1>, <11,T^2 - T + 1>, <13, 1>, <17,T^2 + T + 1>, <19,T^2 - T + 1>
]
J'ai essayé de mettre bout à bout les infos que tu as données ces derniers temps.
Grâce à ton exposé du travail d'Artin sur les bases normales, j'obtiens que si $$s_0 = \sum_{\chi(x) = j^0} \zeta_f^x,s_1 = \sum_{\chi(x) = j^1} \zeta_f^x,s_2 = \sum_{\chi(x) = j^2} \zeta_f^x,\text{ alors }\Q(\zeta_f)^{\ker\chi}=\Q(s_0,s_1,s_2).$$
J'imagine que le bonus arithmétique, c'est que ton $F_\chi$ [ici] a pour racines $s_0,s_1,s_2$.
@gai requin
Je fais un peu n'importe quoi en ce moment ! Bonne idée de mettre bout à bout ces choses cubiques.
Pour la détermination du polynôme, c'est le polynôme minimal de $s_1-s_0$, enfin j'espère ! j'ai copié sur CubicGaussSum.pdf (4 pages), proposition 2 en remplaçant $p$ par $f$. Pour comprendre ce que j'ai fabriqué dans ces 4 pages, il faut voir le calcul symbolique que j'ai réalisé en haut de la page 2. Et ensuite, dans le document, j'ai utilisé des propriétés des sommes de Gauss/Jacobi sur $\mathbb F_p$. Et pour notre histoire où $\mathbb F_p$ doit être remplacée par $(\Z/f\Z)^\times$, je ne l'ai jamais vérifié mathématiquement ! J'ai juste fait de l'analogie. C'est pas bien.
Non, c'est normal parce qu'il n'était pas clair du tout qu'on pouvait remplacer $p$ par $f$.
Je pense qu'on cherche des preuves justement parce que tu as testé positivement cette substitution dans un très grand nombre de cas.
Par ailleurs, OK pour $s_1-s_0$ ce qui ne change pas grand chose à ce que j'ai écrit dans mon dernier post, mais qui doit présenter l'avantage d'encoder $\Q(\zeta_f)^{\ker\chi}$ avec un joli polynôme $F_\chi$.
A la lecture de CubicGaussSum.pdf, je crois qu'on va devoir en passer par une preuve de $$J(\chi,\chi) = \prod\limits_{i=1}^k J(\chi_i, \chi_i)=\mu(f)\bmod 3,$$ce qui en soi est un très beau résultat !
Je poursuis mon bilan en tentant d'éviter le problème œuf-poule.
1) Tu as déterminé [ici] les $2^{k-1}$ caractères primitifs de noyaux distincts deux à deux. On va voir qu'on peut arrêter de lire ce message après la phrase qui s'achève par "de bon conducteur" ($4$ lignes avant la fin).
2) Soit $\ker\chi$ un tel noyau et $K=\Q(\zeta_f)^{\ker\chi}$.
Grâce à Artin, $(s_0,s_1,s_2)$ est une $\Z$-base de $\mathcal O_K$.
Donc, d'après [ce calcul], $K$ est de conducteur $f$.
En particulier, il y a $2^{k-1}$ sous-extensions cubiques de $\Q(\zeta_f)$ de conducteur $f$.
Et on a démontré dans un cas particulier une instance de la "discriminant conductor formula", à savoir $$\text{conducteur de } \Q(\zeta_f)^{\ker\chi}=\text{conducteur de }\chi(=f).$$
@gai requin
Je pense pouvoir fournir quelque chose dans la journée.
1) A propos de ton égalité pour $J(\chi,\chi)$. Cela vient de la multiplicativité de la somme de Jacobi. Reuns en avait parlé. De mon côté, je passe par l'aspect structurel $R = R_1 \times R_2$ (produit d'anneaux finis) et reste INTERNE au cadre des sommes de Jacobi. Cet aspect structurel est aussi payant pour les sommes de Gauss (quasi-multiplicativité donnée également par Reuns) si on veut bien s'interroger 3 minutes sur les systèmes cohérents de racines primitives de l'unité. Moi, je peux pas faire autrement car $e^{2i\pi/N}$, cela n'existe pas dans de manière algébrique.
2) Dans CubicGaussSum.tex, j'ai fourni le polynôme minimal de plusieurs éléments primitifs de $K/\Q$ où $K \subset \Q(\root p \of 1)$ est l'unique extension de degré $3$, étant entendu que $p \equiv 1 \bmod 3$. Il s'agissait des éléments (primitifs) suivants :
$$
s_0, \qquad s_1 - s_0, \qquad {s_1 - s_0 \over s_2 - s_1}, \qquad\qquad
\hbox {$s_0, s_1, s_2$ les 3 périodes de Gauss}
$$
Et j'ai retenu celui du milieu. L'élément primitif de droite est de norme 1 ; suite, à l'envers, au théorème 90 d'Hilbert et le polynôme $F_a(X) = X^3 - aX^2 - (a+3)X - 1$ : le terme constant $-1$ dit qu'une racine de $F_a$ est de norme 1 d'où une réalisation possible comme quotient qui apparaît dans le théorème 90 d'Hilbert. Je me comprends.
Mine de rien, la mise au point de CubicGaussSum a duré un certain temps (deux semaines, si je me souviens bien). Il y a eu une interaction/discussion avec K. Conrad. Pendant cette discussion, il a fait évolué un certain nombre de fois son http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/nopowerbasis.pdf. Tu verras d'importantes modifications à sa page 5. Il y avait à une époque le coup du signe de $u$ qui flottait dans $4p = t^2 + 27u^2$. Cela ne flotte plus chez moi de la manière dont je m'y prends. Par ailleurs, K. Conrad ne normalise pas $t$ (qui est noté $A$ chez lui) de la même manière que moi : $A \equiv 1 \bmod 3$ chez lui versus $t \equiv 2 \bmod 3$ chez moi (je laisse faire la nature une fois $\pi \equiv 1 \bmod 3$ retenu une fois pour toutes pour normalisation). D'où des polynômes cubiques différents because des normalisations différentes.
Tout ceci paraît sordide et incompréhensible. Mais il faut savoir (bis) que l'on a transpiré plusieurs jours dessus. Et on ne peut pas en rendre compte dans les écrits.
3) Périodes de Gauss. En attendant le pdf qui doit venir dans la la journée (hum), tu peux t'interroger (dans le cadre de la totale) sur les éléments primitifs autour des périodes de Gauss. La totale signifiant le contexte suivant : $L/K$ galoisienne de groupe $G$, base normale pilotée par $z \in L$, somme $s_A = \sum_{\sigma \in A} \sigma(z)$. Note que je mets $A$ pour n'importe quelle partie $A$ de $G$. Et pas seulement pour les classes à DROITE de $G$ modulo un sous-groupe $H$.
Question à 100 balles : montrer que chaque $s_C$ est un élément primitif de $L^H/K$ où $C$ est une classe à droite modulo $H$. Ne pas confondre cela avec le fait que la famille $(s_C)$ est une $K$-base de $L^H$ ($1$ figure bien dans la base des puissances d'un élément primitif et n'est pas pour autant un élément primitif !). Attention aux prises de tête. Pour $\tau \in G$, Il va intervenir $\tau(s_C) = s_{\tau(C)}$ et $\tau(C)$ n'est plus une classe à droite modulo $H$. D'où le besoin de relâcher la notation $s_A$. Il va aussi intervenir les $(G : H)$ plongements de $L^H$ dans $L$ et invariablement un système de représentants de $G$ modulo $H$ A GAUCHE.
Il faut mettre les mains dans le cambouis pour comprendre tout cela. De loin, on ne voit rien. Le plus lâche serait de dire : mais on veut appliquer cela en terrain abélien, pourquoi se faire ch.er avec la gauche et la droite ? Oui, c'est lâche. A cause de demain ou la semaine prochaine.
Attention aux prises de tête (bis).
4) Réfléchir à la nature des preuves. La preuve de Weil de la congruence $-J(\chi,\chi) \equiv 1 \bmod 3$ en terrain cubique est INTERNE à $\Z[j]$. Pas celle de Ireland & Rosen (ni celle de mon épreuve).
@gai requin
J'ai voulu en avoir le coeur net (c'est comme cela que l'on dit ?). Est ce qu'un système de Calcul Formel sait ce qu'est un système cohérent de racines primitives de l'unité ?
Visiblement oui. Bien sûr $\zeta_{12} = \zeta_{36}^3$, $\zeta_9 = \zeta_{36}^4$, et $3 + 4 = 7$. C'est cela la cohérence. Je connaissais le fonctionnement analogue concernant les caractères de Dirichlet (qui sont à valeurs dans $\mathbb U_\infty \cup \{0\}$) car on ne peut pas faire autrement pour les calculs. Mais je ne me souviens de l'avoir observé pour le constructeur CyclotomicField, qui assure donc une prise en charge algébrique de $\Q(\root \infty \of 1)$, de manière cohérente.
Par ailleurs, quelqu'un qui pense que $\zeta_n = e^{2i\pi/n}$, versus la classe de $X$ dans $\Z[X]/\langle \Phi_n(X)\rangle$, doit avoir du mal à comprendre de quoi je cause. Mais ce n'est pas trop (en fait, pas du tout) mon problème
@gai-requin
Suite à mon post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1559854,1575426#msg-1575426, en particulier du point 3), périodes de Gauss dans le cadre de la totale $(L,K,G)$. Ce qu'il faut noter (et que l'on ne voit pas dans le post) c'est la chose suivante : pour $\tau \in G$, l'image par $\tau$ d'une $H$-période de Gauss, ce n'est pas une $H$-période de Gauss. Sinon $L^H/K$ serait galoisienne ! Mais peut-être que cette image, c'est une $\tau H\tau^{-1}$-période de Gauss.
Et du coup, lorsque $H$ est distingué dans $G$, on obtient (sans l'avoir demandé) que $L^H/K$ est galoisienne, équipée d'une base normale s'il vous plaît, pilotée par la période principale de Gauss $s_H$. Elle est pas belle la vie ? Gauss et Artin, respect.
@gai-requin
J'avais loupé ton post sur le petit bilan. Oui, cela m'a l'air tout bon. Et je conçois que cela ne soit pas facile, à travers les échanges dans tous les sens (surtout ceux non prévus), de s'y retrouver en ce qui concerne le problème oeuf-poule.
Oui, tout cela demande réflexion comme tu dis. Mais cela ne vient pas du tout de moi mais des objets eux-même. Et j'en ajoute au panier. Tu vas penser que je joue la montre parce que le pdf promis ce Dimanche, il n'est pas prêt. C'est pas faux. Et aussi, parce ce qu'en fait, je suis incapable de réaliser Kronecker-Weber de manière effective pour une extension abélienne cubique de $\Q$. Et que du coup, je brode ; c'est pas faux.
Eh bien j'ajoute quand même au panier.
A) Avant de parler, dans le contexte cubique abélien sur $\Q$ que tu sais, du polynôme minimal des éléments primitifs $s_0$, $s_1-s_0$, $(s_1-s_0)/(s_2-s_1)$, la moindre des politesses serait de montrer que ce sont bien des éléments primitifs de la dite extension. Non ? Rien contre la politesse, j'espère.
Il faut bien comprendre que les propriétés miraculeuses des périodes de Gauss-Artin en théorie des corps (contexte général) ne passent pas toutes aux anneaux d'entiers de corps de nombres. Et les polynômes primitifs de truc ou machin, ne peuvent en aucun cas restituer l'anneau des entiers. Car il arrive que $\mathcal O_K$, dans le cas cubique abélien, ne soit pas monogène. C'est justement le titre du papier de K. Conrad ``Rings Of Integers without a power basis''. Et je vois que le théorème 1 de ce papier est attribué à Hensel. Et ne pas trop se fier au titre du papier dont le contenu va plus loin que le titre.
C) J'ai toujours eu un faible pour le polynôme $F_a(X) = X^3 - aX^2 + (a+3)X - 1$ car il restitue TOUTES les extensions abéliennes cubiques du monde dans le contexte général. Je veux dire que si $L/K$ est une extension abélienne cubique avec $K$ quelconque (même de caractéristique $3$), il existe toujours un élément primitif de $L/K$ dont le polynôme minimal est $F_a$ pour un certain $a \in K$. C'est l'époque de l'homographie d'ordre 3. Et du fil ``Petits groupes de Galois ...etc''. Mort et bien mort. Souvenirs, émotions.
Mais en aucun cas (bis), $F_a$, a lui tout seul, ne peut refléter l'arithmétique de l'anneau des entiers du corps qu'il définit. Son discriminant n'est PAS (toujours) celui de l'anneau des entiers ...etc...
D) Fixette de C.Q. sur les systèmes cohérents de racines primitives de l'unité. Bien sûr que pour moi, la famille $(\zeta_n)_{n \ge 1} $, c'est à la fois la famille $(e^{2i\pi/n})_{n \ge 1}$ et à la fois d'autre chose. A ce propos, il ne me semble pas que J.P. Serre utilise le système de Calcul Formel magma (cependant ***). Mais des systèmes cohérents de racines de l'unité, si. Cf le chapitre 6 de Topics in Galois Theory in http://www.msc.uky.edu/sohum/ma561/notes/workspace/books/serre_galois_theory.pdf, en particulier le th 6.3.1 (algebraic fundamental group). Vu les titres de section du chapitre (GAGA principle and co), il y a belle lurette que je me suis barré. Je sais que j'ai déjà raconté cela mais je voudrais pas que l'on pense : $\zeta_n = e^{2i\pi/n}$, c'est vachement simple, qu'est ce que C.Q. vient nous em.er.er, avec les systèmes cohérents ...etc.. faut toujours qu'il complique tout.
Cependant (***) : il y aurait bien des anecdotes à raconter mais pas moyen de retrouver mes sources. Faut peut-être pas que j'abuse de (***) pour éviter d'être confondu avec .. OK. là, je brode.
On voit bien dans "On a theorem of Jordan" que Serre aime aussi faire des calculs. Et quels calculs !
Hier, je me suis dit qu'on avait quand même vu beaucoup de choses dans ce fil et, en voulant voir si j'avais saisi "the big picture", je me suis rendu compte que ce n'était vraiment pas facile de tirer un bilan.
Et on n'en est qu'à trois pages !
Imagine quelqu'un qui serait en train de se remuer les méninges autour de "Homographies..." et ses modestes 64 pages !!!
Prends ton temps pour le pdf, je n'ai plus trop de temps à moi jusqu'à lundi soir... ce que je regrette parce que tes questions sur les périodes de Gauss (dont la question à 100 balles) me turlupinent déjà. ;-)
@gai requin
J'attache le torchon (pas relu) car si je ne le fais pas maintenant, je ne le ferais jamais. Et si je ne relis pas, c'est pour la raison suivante : si je relis vraiment, je ne vais pas oser envoyer. Je n'ai jamais vu un truc aussi décousu. J'ai mis des numéros par ci, par là, histoire de faire joli.
Je ne dis pas pour autant qu'il n'y a rien (par exemple le coup du $R = R_1 \times R_2$, pourtant insignifiant, apporte un peu d'eau au moulin). Je dis simplement que cela demanderait d'être structuré, avec des propositions, lemmes, remarques et tout le truc. Flemme de.
Si je vois un truc vraiment trop naze, j'apporterais un rectificatif (que je dis).
Et je n'exagère pas quand je dis ``si je n'envoie pas maintenant, cela ne se fera pas''. Car figure toi que le nom initial était JacobiSumsNov2017. Et que cela a trainé à un tel point que j'ai dû migrer vers JacobiSumsDec2017 (je ne rigole pas ni avec les noms de fichiers, ni avec les noms de variables, fonctions ..)
Deuxième attachement : de nouveau la page (pas torchon) qui date du 5 Août : la preuve de Weil concernant la congruence de la somme de Jacobi $J(\chi, \chi)$, dans le cadre cubique. Juste pour ne pas oublier que je l'avais tapée.
J'ajoute au panier POUR PLUS TARD (longues soirées d'hiver) : primary cela veut dire quoi ? Dans $\Z[j]$, certes pourquoi $\pi \equiv 1 \bmod 3$ chez nous (cocorico) et $\pi \equiv 2 \bmod 3$ chez les anglo-saxons? Et pourquoi cela donne-t-il ``ce qu'il faut'' dans les deux cas en ce qui concerne la loi de réciprocité cubique ? En en général ?
@gai requin
Oui, on peut maintenant justifier la construction de l'extension cubique abélienne de conducteur $p_1\cdots p_k$ avec $p_i \equiv 1 \mod 3$. Modulo quelques petits trucs (éléments primitifs). Je compte faire une mise à jour de mon JacobiSumsDec2017 because quelques points incompréhensibles et des coquilles.
Je me suis dit (le type I étant pratiquement réglé), que l'on pourrait s'occuper du type II. Mais est ce que l'on va faire du cubique le restant de notre vie ? Non, aucune obligation : on peut participer à d'autres fils, par exemple sur la récurrence, les quantificateurs, ou je ne sais trop quoi.
Histoire de me remettre un peu dans cette histoire d'où sortent ces types, sans refaire la totale, j'ai de nouveau considéré le cas d'une sous-extension cubique $K$ de $\Q(\root 3^e \of 1)$ avec $e \ge 2$. Car $e = 1$ est trop petit pour contenir du cubique. Je dis que $K$ est unique, contenue dans $\Q(\root 9 \of 1)$. Vois tu pourquoi en (par exemple) introduisant $G_e = (\Z/3^e\Z)^\times$ et le coup du $G_e/G_e^3$ ($G_e$ est cyclique d'ordre $2 \times 3^{e-1}$ et $G_e^3$ est l'unique sous-groupe de $G_e$ d'indice 3).
Et pour $e=2$, i.e. $\Q(\root 9 \of 1) = \Q(\zeta_9)$, l'extension cubique est la sous-extension réelle :
$$
K = \Q(\zeta_9 + \zeta_9^{-1}) , \qquad\qquad
\big(X - (\zeta_9 + \zeta_9^{-1}) \big) \big(X - (\zeta_9^2 + \zeta_9^{-2}) \big) \big(X - (\zeta_9^4 + \zeta_9^{-4}) \big) = X^3 - 3X + 1
$$
Et le polynôme que tu vois est de discriminant $9^2$ où $9$ est le conducteur et donc $\mathcal O_K$ est monogène engendré par $\zeta_9 + \zeta_9^{-1}$.
Et je me suis posé la question : étant donné un caractère $\chi$ d'ordre 3 modulo $f$ de type II, comment trouver un élément primitif agréable de $\Q(\root f \of 1)^{\ker \chi}$. On peut même virer l'adjectif agréable pour l'instant : trouver un élément primitif serait pas mal.
Note que la présence du $3^2$ fiche en l'air la stratégie des périodes de Gauss. Plus de bases normales pour les anneaux d'entiers en tout cas. Vraiment sûr que $\Z[\zeta_9]$ et/ou $\Z[\zeta_9 + \zeta_9^{-1}]$ n'ont pas de base normale. Oui, grâce au théorème de Hilbert Speiser, cf page 2 de https://www.dpmms.cam.ac.uk/~hlj31/GM_CourseNotes101.pdf. Si tu regardes en bas de la page 2 les mots-clés, tu vas être vite convaincu que l'on n'est pas obligé de faire du cubique le restant de notre vie.
Bref, je me pose des questions sur le fait d'attraper concrètement $\Q(\root f \of 1)^{\ker \chi}$.
En te lisant, je me dis que puisqu'on a fait la moitié du boulot en venant à bout du Type I, ce serait dommage de s'arrêter en si bon chemin.
Mais c'est sûr que ça risque d'être moins esthétique sans bases normales d'entiers.
A ce propos, je trouve ce théorème de Hilbert-Speiser épatant !
Finalement, Kronecker-Weber, c'est l'arbre qui cache la forêt !
Mais bon, on pourrait quand même appliquer la théorie d'Artin en se contentant d'une base normale de $\Q(\root f \of 1)^{\ker \chi}$...
C'est quand je lis des notes comme celle de Henri Johnston à la fin de la p.2 que je me sens soudain complètement ignare !
Je le trouve quand même sympa quand il dit : "these shall depend on the interests and background of the audience"...
@gai requin
Les choses s'arrangent mais effectivement pour le type II, pas question de vouloir obtenir une base normale de l'anneau des entiers du corps cubique (obstruction via le théorème de Hilbert-Speiser). Je commence par la FIN. Voici un résultat UNIFORME que ce soit pour le type I ou le type II. On considère un caractère cubique primitif $\chi$ sur $(\Z/f\Z)^\times$ et on pose:
$$
J(\chi, \chi) = a + bj \in \Z[j] \qquad \hbox {de sorte que} \qquad f = (a+bj)(a+bj^2) = a^2 - ab + b^2
$$
Alors $b$ est divisible par $3$ et le polynôme
$$
F(X) = X^3 - fX + f{b \over 3} \quad \hbox {est $p_i$-Eisenstein} \qquad\qquad \hbox {(les $p_i$ sont les premiers $\equiv 1 \bmod 3$ qui figurent dans $f$)}
$$
Il est ``abélien'' i.e. son discriminant est un carré. Et surtout, il encode $\Q(\root f \of 1)^{\ker \chi}/\Q$ i.e. cette extension cubique admet comme élément primitif n'importe quelle racine de $F$.
Mais ça, c'est la fin. Quelques pistes pour en arriver là. D'abord, on peut toujours définir $s_0, s_1, s_2$ et $G_0 = G(\chi^0)$, $G_1 = G(\chi^1)$, $G_2 = G(\chi^2)$ :
$$
s_k = \sum_{\chi(x) = j^k} \zeta_f^x, \qquad\qquad
\pmatrix {1 & 1 &1\cr 1 & j & j^2\cr 1 & j^2 & j} \pmatrix {s_0 \cr s_1 \cr s_2} = \pmatrix {G_0 \cr G_1 \cr G_2}
$$
Et le polynôme $F$ qui apparaît plus haut va être un polynôme annulateur de $s_1-s_0$, en ADAPTANT les calculs réalisés dans la proposition 2 de CubicGaussSum.pdf
Pour pouvoir adapter ces calculs, il faut des relations entre $J(\chi, \chi)$, $G_1^3$, $G_2^3$, disons sur les sommes de Gauss/Jacobi sur un anneau. Mais justement, JacobiSumsDec2017 (et la mise à jour à venir) permet de le faire (multiplicativité de $J$, quasi-multiplicativité de $G$).
Tout a commencé (modestement) avec $\Q(\root 9 \of 1) = \Q(\zeta_9)$ en contemplant :
$$
s_0 = \zeta_9 + \zeta_9^{-1}, \qquad s_1 = \zeta_9^2 + \zeta_9^{-2}, \qquad s_2 = \zeta_9^4 + \zeta_9^{-4}
$$
Suggestion : commencer par ce petit cas de bébé (c'est lui qui m'a TOUT donné i.e. qui m'a guidé). Il n'y a pas de $p_i$ mais c'est pas grave. Quels sont les cubes de $G = (\Z/9\Z)^\times$ ? Que sont les trois classes de $G/G^3$ ? J'ai pris $2$ comme générateur de $G = (\Z/9\Z)^\times$ et $\chi : 2 \to j$. Et à la main (si, si), j'ai trouvé $J(\chi,\chi) = 3j$ ....etc..
Le seul problème (pour l'instant) en ce qui concerne le type II, c'est d'obtenir une preuve directe du fait que le discriminant de l'anneau des entiers de $\Q(\root f \of 1)^{\ker \chi}$ est $f^2$ ($f$ est le conducteur de $\chi$). Eh, bien tant pis : on fait appel au Conductor Discriminant Formula. C'est l'occasion pour bien comprendre ce que dit ce résultat. Et en fait pour apprécier que toute cette histoire cubique abélienne est pilotée par les caractères cubiques primitifs.
Ajout. On oublie tout. Quels sont les $f$ tels qu'il existe un caractère cubique primitif modulo $f$ ? A mon avis, $f$ de type I ou II.
Et si on montre qu' $$\text{il existe un caractère cubique primaire modulo }f\Leftrightarrow f\text{ est de type I ou II},$$on a potentiellement à disposition toutes les extensions cubique CYCLIQUES de $\Q$ grâce à ta construction UNIFORME !
Enfin, je crois...
@gai requin
Histoire de ne pas perdre la main avec un certain langage de programmation, tu te doutes que... Ci-dessous, quelques premiers $p_i \equiv 1 \bmod 3$ : $7, 13, 19, \cdots$. J'ai tiré $k=3$ et $p_2, p_3$. Et $f = 3^2 p_2p_3$. Ensuite, on voit $2^k = 8$ affichages : le $k$-uplet de signes (ici triplet) c'est celui qui correspond aux exposants $\chi = \chi_1^{\pm 1} \cdots \chi_k^{\pm 1}$. On voit le polynôme $X^3 - fX + a_0$; on observe le terme constant $\pm a_0 \leftrightarrow \chi^{\pm 1}$.
Et tout à droite, c'est le troisième élément de la $\Z$-base de $\mathcal O_K$, les deux premiers étant $1, x$, $x$ racine de $F$. Etant entendu que la $\Z$-base de $\mathcal O_K$ est normalisée au sens de je-ne-sais-plus-qui. C'est une chose qui m'avait beaucoup étonné il y a quelques années : quelque soit le corps de nombres $K$, bien sûr que $\mathcal O_K$ possède une infinité de $\Z$-bases mais une SEULE normalisée au sens de .. Ce qui facilite l'échange dans le monde entier : pas d'unicité du polynôme qui ... mais unicité de la $\Z$-base.
Je ne crois pas que l'on puisse facilement attraper cette $\Z$-base à la main.
En tout cas, ne perd jamais $J(\chi, \chi) = a + bj$. Tu peux te permettre de perdre $f$ et $\chi$ (encore que par prudence, il est préférable de tout garder). Ce que je veux dire, c'est qu'avec $a+bj$, tu peux retrouver $f = a^2 - ab + b^2$ et $b/3$. Donc reconstituer $f, F$. Le caractère ? Je ne sais pas. Et donc, tout est encodé, certes par les caractères cubiques primitifs modulo $f$, mais aussi par leur somme de Jacobi, si l'on veut. Arg, quel c.n : j'aurais dû faire afficher $J(\chi,\chi)$. Je vais recommencer (pour moi, pour voir).
Et on voit bien que dans ton exemple, il y a seulement quatre extensions cubiques primitives distinctes via la formule $$F_{\chi^{-1}}(X)=-F_\chi(-X).$$
Comment va ?
Je suis un peu sorti du truc à cause d'obligations professionnelles.
Je crois que la construction des extensions cubiques cycliques de $\Q$ est terminée.
Mais peut-être manque-t-il des preuves ?
A moins que tu n'aies tout terminé... ;-)
@gai requin
Pour le type II, il manquait une preuve directe du fait que le discriminant de l'anneau des entiers de $\Q(\root f \of 1)^{\ker \chi}$ est $f^2$. Mais ne disposant pas d'une $\Z$-base, j'ai laissé tomber.
Et il y a quelque chose qui trainait depuis un certain temps mais je ne voulais pas le voir. C'est devenu flagrant en voulant faire une mise à jour du dernier pdf. Je reculais car je ne voulais pas mettre les mains dans la cambouis. Il s'agit dans le contexte d'un anneau fini quelconque $R$ de la relation entre sommes de Gauss et Jacobi :
$$
G_\psi(\chi_1) G_\psi(\chi_2) = J(\chi_1, \chi_2) G_\psi(\chi_1\chi_2) \qquad (\star)
$$
Avec quelques contraintes sur $\chi_1, \chi_2$. Je dis bien pour un anneau fini quelconque. Je me doutais bien que cela n'allait pas se faire tout seul. Un peu dans le même genre (et malgré les indications de l'exercice de Koblitz), j'en avais un peu bavé pour la preuve de
$$
G_\psi(\chi) \overline {G_\psi(\chi)} = \#R \qquad \hbox {($\psi$ et $\chi$ primitifs)}
$$
Bref. On peut pas toujours reculer. Et je me suis collé à $(\star)$. C'est enfin réglé. Avec comme conséquence :
$$
J(\chi_1,\chi_2)\overline {J(\chi_1,\chi_2)} = \#R \qquad \hbox {($\chi_1, \chi_2, \chi_1\chi_2$ primitifs)}
$$
Et maintenant, je cherche une preuve directe de cette égalité sans passer par les sommes de Gauss (ce qui nécessite de faire intervenir en plus un caractère additif primitif $\psi$). Pour l'instant, rien.
En un certain sens, je suis revenu des mois et des mois en arrière.
PS : on n'a jamais eu besoin de ce degré de généralité.
Pour la $\Z$-base quand $f$ est de type II, on voit [ici] qu'il est peut-être vain d'en chercher une qui soit générique.
J'ai envie de dire que ce n'est pas si grave.
En effet, dans le problème qui nous occupe, on a pu montrer "the discriminant conductor formula" grâce à [ce cheminement] quand $f$ est de type I.
Du coup, je comprends mieux cette formule donc s'il faut l'utiliser pour $f$ de type II, cela me gêne beaucoup moins que quand je n'y comprenais rien.
Par ailleurs, je comprends bien ta problématique sur les différentes sommes puisqu'il y a quelques mois, tu avais entrepris de bosser les sommes de Gauss sur un anneau fini. C'est donc tentant de faire la même chose avec les sommes de Jacobi pour boucler la boucle. Et c'est tout à ton honneur de rester sur un terrain plus général.
Réponses
On n'a pas le droit de faire l'erreur gauche-droite ici ! ;-)
Donc on a les sous-extensions de $L$ avec une base pour chacune d'entre elle si on a la chance de connaître une base normale (pour moi, ça ne court pas les rues même si on sait que...).
Pour le 2), j'ai pensé utiliser un truc du type $$\Q\subset\Q(\zeta_1)\subset \Q(\zeta_1)(\zeta_2)\subset\cdots \subset\Q(\zeta_1,\ldots,\zeta_{k-1})(\zeta_k)=L.$$Mais est-ce que les bases normales sont stables par multiplication ?
j'essayé de tenir compte de vos remarques !
A bientôt je pense.
$$\overline{\chi(a)}G(\chi)\overline{\psi(b)} G(\psi) = \sum_{n=1}^q \chi(n) e^{-2i \pi an/q} \sum_{m=1}^r \psi(m) e^{-2i \pi bm/r}=\sum_{l=1}^{qr} \chi\psi(l) e^{-2 i\pi l/(qr)} = G(\chi \psi)$$
ça m'intéresserait beaucoup de mettre tout ça dans le contexte des courbes elliptiques avec multiplication complexe, dont le comptage des points se fait justement avec des sommes de Jacobi.
En particulier je me demande si on peut partir de $F =\mathbf{Q}(\sqrt{-d})$, prendre une extension abélienne cubique $L/F$, écrire que $\zeta_L(s) = \zeta_F(s)L(s,\psi)L(s,\psi^2)$ où $\psi$ est un caractère de Hecke cubique de $\mathcal{O}_F$, montrer que $\psi(\mathfrak{p}) = \frac{J(\chi,\chi)}{N(\mathfrak{p})^{1/2}}$ où $\chi$ est un certain caractère de $\mathcal{O}_F/\mathfrak{p}$, et montrer que $J(\chi,\chi)$ donc $\psi$ compte le nombre de points $\bmod \, p$ d'une certaine courbe elliptique $E/\mathbb{Q}$ avec multiplication complexe par un order de $\mathcal{O}_F$.
J'ai relu la p.46 du fil Homographies...
Donc, puisque $f$ est sans facteurs carrés, la famille des racines primitives de l'unité d'ordre $f$ est une $\Z$-base normale de $\Z[\root f \of 1]$.
On voit dans cette page qu'effectivement, tu as joué avec le produit tensoriel pour construire des bases de plus en plus grosses.
Faut que je regarde ça de plus près...
Oui, mais cette page 46 dont tu parles, ce n'est peut-être pas assez détaillé. Comme ce n'est pas écrit partout, cela vaudrait le coup que cela soit écrit noir sur blanc, c'était prévu que je m'y colle. Car figure toi, il y a une semaine, que je l'avais oublié cette histoire de base normale de $\Z[\root N \of 1]$ pour $N$ sans facteur carré. Et j'avais également oublié que j'avais tapé la preuve de Weil pour $-J(\chi, \chi) \equiv 1 \bmod 3$ dans $\Z[j]$ dans le contexte que tu sais.
Bilan : mettre de l'ordre,cela prend du temps.
@jean-éric Vu et merci.
@reuns : Vu ton avant dernier post. Pour les sommes de Jacobi, il y a une preuve directe de la multiplicativité car il y a de la fonctorialité en l'anneau fini $R$. I.e. si $R = R_1 \times R_2$, alors .. Cette manière de procéder vient du fait que j'ai fait un peu d'Algèbre Commutative. Je suis en train d'écrire cela car je ne m'y retrouve pas (en un certain sens, même si c'est contradictoire, je n'aime pas l'information par les posts car je n'arrive pas à lire). Vu aussi la règle de multiplicativité des sommes de Gauss.
Quant à ton post où figure une histoire de courbes elliptiques, j'ai lu et relu. Et c'est trop fort pour ma pauvre petite tête en tout cas trop ambitieux pour moi. Je ne te cache pas que j'ai commencé à jouer (il y a 3 - 4 semaines) avec les courbes elliptiques (à multiplication complexe), les caractères de Hecke ...etc... Mais dans un cadre beaucoup plus simple. Pour ne rien te cacher la courbe $y^2 = x^3 - n^2 x^2 = x (x - nx) (x + nx)$, à multiplication complexe par $\Z[i\rbrack$. Certes, c'est petit, mais j'en ai bavé pour implémenter ce binz à cause d'histoires de conducteurs, de types ..
Je reprends ton post [ici].
Pas de problèmes pour l'isomorphisme d'algèbres $\Z[x,y]\rightarrow \Z[t]$.
Pour le reste, on dirait que le compositum $\Z[x,y]$ vu comme $\Z$-module, c'est pareil que $\Z[\root n \of 1] \otimes_\Z \Z[\root m \of 1]$ dont une base serait (hypothèse de récurrence) $(\zeta_{i,n}\otimes \zeta_{j,m})_{\substack{1\leq i\leq \varphi (n )\\ 1\leq j\leq\varphi (m)}}$, où les $\zeta_{i,n}$ (resp. les $\zeta_{j,m}$) sont les racines primitives de l'unité d'ordre $n$ (resp. d'ordre $m$).
Peut-être aussi que par construction, le transport de $\Z$-bases est donné par $$\zeta_{i,n}\otimes \zeta_{j,m}\mapsto \zeta_{i,n}^v \zeta_{j,m}^u \ni \Z[\root nm \of 1].$$Tout ceci est très certainement approximatif.
Je vois à quoi tu fais allusion évidemment. J'aime bien mon commentaire ``Avec .., on peut faire du transport de $\Z$-bases'' !! Quand on relit cela des mois après, on peut se demander ce que cela veut dire exactement. Je suis un peu gonflé. Il va falloir terminer les vérifications, si besoin.
Je n'ai pas été très efficace pendant ces deux derniers jours. J'ai passé plusieurs heures à chasser une erreur de signe (chez moi) dans un binz combinatoire nommé ``MacMahon Master Theorem''. J'ai cru ne pas pouvoir y arriver. Mais c'est réglé. Ouf.
J'ai étudié le produit tensoriel il y a très très longtemps.
Je suis toujours partant pour réactualiser mes connaissances. B-)
J'ai quand même pris le temps d'assurer le transport des familles. C'est bon. Mais non, je ne parle pas de ma voiture mais ...
Et je dis ``familles'' et pas ``bases'' tant qu'elles ne pas élues en tant que telle(s).
Surtout pas de produit tensoriel. Si $P \in \Z[X]$ et $Q \in \Z[Y]$, au lieu de parler de $\Z[X]/\langle P \rangle \otimes_\Z \Z[Y]/\langle Q\rangle$, il suffit de parler de $\Z[X,Y]/\langle P, Q \rangle$. Cela aura le même effet.
J'avance tout doucement dans mon pdf (3 pages) mais je me suis interrompu pour jouer avec des polytopes. Bref, rien avant Mardi à mon avis.
De mon côté, je pense que ça peut le faire de la façon suivante :
Comme $n$ et $m$ sont premiers entre eux, $\Q(\zeta_n)$ et $\Q(\zeta_m)$ sont linéairement disjointes sur $\Q$ donc une base de $\Q(\zeta_n,\zeta_m)=\Q(\zeta_{nm})$ est $(\zeta_{i,n}\zeta_{j,m})_{\substack{1\leq i\leq \varphi (n )\\ 1\leq j\leq\varphi (m)}}$ (par l'hypothèse de récurrence).
On montre ensuite que cette base est en fait la collection de toutes les racines primitives de l'unité d'ordre $nm$.
Je reviens sur ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1559854,1573332#msg-1573332. On part d'une extension abélienne cubique $L$ d'un corps quadratique imaginaire que je vais noter $K$ (sorry). Cette donnée ferait apparaître un ``caractère cubique'' $\psi$ ``sur'' $\mathcal O_K$. Via la factorisation de $\zeta_L$. Question bête : est ce que l'on est bien sûr de cela ? I.e. de $\zeta_L = \zeta_F L_\psi L_{\overline \psi}$.
Ce caractère cubique $\psi$, c'est un caractère de Hecke, c'est ce que tu dis. Donc qui mouline sur les idéaux de $\mathcal O_K$ (modulo l'équivalence qui définit le ray class group) étrangers à un certain modulus (ici, vu quadratique imaginaire, pas de premiers infinis dans le modulus). Mais quel serait le modulus $\mathfrak m$ de $\psi$ ? Rapport avec l'idéal discriminant de $L/K$ ?
Je reviens deux minutes sur la situation analogue au dessus de $\Q$. Si $L/\Q$ est abélienne cubique, cela fait naître un caractère cubique. Sur quoi ? On va dire sur le groupe de Galois de $L/\Q$. Précisons que $L/\Q$ possède un conducteur $f$, en particulier $L \subset \Q(\root f \of 1)$, et $G = (\Z/f\Z)^\times$ groupe de Galois de l'extension cyclotomique coiffante. Et le caractère cubique, disons qu'il est relié à $G/G^3 \simeq \mathbb U_3$.
Dans le cas au dessus de $\Q$, on profite ainsi de l'extension cyclotomique maximale $\Q(\root \infty \of 1)$, disons du théorème de Kronecker-Weber.
Retour à la base avec un corps quadratique imaginaire $K$. Je prends le plus simple qui me vient sous la main i.e. $K = \Q(i)$. Il est très particulier car principal. Tant pis ou tant mieux. Quel est l'analogue de $\Q\root \infty \of 1)$ pour $\Q(i)$ ? Il semble que cela soit donné par tous les points de $n$-torsion ($n$ variable) de la courbe elliptique $C : y^2 = x^3 + x$, de conducteur 64 (un chapitre de Silverman/Tate est consacré à cela). C.a.d. que l'on prend les $x$-coordonnées et $y$-coordonnées (au dessus de $\overline\Q$) du groupe de $n$-torsion $C[n]$ et avec cela, on forme une $\Q(i)$-extension $K_n$. Et $K_n/\Q(i)$ est abélienne. Et toute extension abélienne de $\Q(i)$ est contenue dans une $K_n$. Et donc le pendant de $\Q(\root \infty \of 1)$ est $\bigcup_{n \ge 1} K_n$.
On a donc ici un terrain de jeu avec $\Q(i)$ et les $K_n$. Sauf que je suis ignorant sur $\text{Gal}(K_n/\Q(i))$. Qui va se rêvéler plus compliqué que $\text{Gal}(\Q(\root n \of 1)/\Q)$.
Evidemment, je ne suis clair sur rien. Sur le web, tu vas trouver ``Extensions abéliennes de corps quadratiques imaginaires'' de Karwasz et Pandey, 30 décembre 2003, en français. On a l'impression qu'il s'agit d'un mémoire mais je n'en suis pas sûr. Ils suivent de près Silverman I et Silverman-Tate (ce sont les seules références bibliographiques). En général, les étudiant(e)s dans un mémoire, suivent fidèlement leurs sources. Mais dans leur mémoire, la courbe elliptique qui intervient est $y^2 = 4x^3 - 4x$ disons $y^2 = x^3 - x$ (diviser par $4$ et happer $y$). Mais cette dernière est de conducteur 32, donc n'est pas isogène à l'autre de conducteur $64$. Il doit y avoir une histoire de twist.
Tu vois bien ci-dessus, de nouveau, que je ne suis pas clair. Si je précise certains détails (conducteurs des courbes elliptiques), c'est pour la raison suivante : lorsque l'on se lance dans une expérimentation d'un terrain inconnu, on prend quand même quelques précautions extrêmes afin de ne pas faire n'importe quoi.
Faut bien se lancer n'est ce pas ? Je me suis pas trop fait ch.er, j'ai pris le polynôme $F_a$ (simplest cubic field)
$$
F_a = X^3 - aX^2 - (a+3)X - 1, \qquad\qquad \text {Disc}(F_a) = (a^2 + 3a + 9)^2
$$
Sur $\Q$, je n'en connais même pas le statut en général i.e. avec $a$ en paramètre. J'ai fait $a=1$,si bien que le discriminant est $13^2$ et sur $\Q$, vu que 13 est premier, cela conduit à l'unique extension abélienne cubique contenue dans $\Q(\root 13 \of 1)$.
Je l'ai (le polynôme $F_a$ avec $a = 1$) considéré au dessus de $\Q(i)$. Il reste irréductible, pas de garbage i.e. $\mathcal O_L = \mathcal O_K[x]$ avec $x$ racine de $F_a$.
Question très bête : à quoi pouvait-on s'attendre concernant la factorisation $\zeta_L = \zeta_K L_1 L_2$ où j'ai eu du mal à regrouper $L_1$, $L_2$, cf ci-dessous ? Pouvait-on prévoir la chose à partir du comportement au dessus de $\Q$ ? Quid de ton caractère de Hecke $\psi$ par rapport au caractère cubique au dessus de $\Q$ ? ...etc..
J'ai essayé de mettre bout à bout les infos que tu as données ces derniers temps.
Grâce à ton exposé du travail d'Artin sur les bases normales, j'obtiens que si $$s_0 = \sum_{\chi(x) = j^0} \zeta_f^x,s_1 = \sum_{\chi(x) = j^1} \zeta_f^x,s_2 = \sum_{\chi(x) = j^2} \zeta_f^x,\text{ alors }\Q(\zeta_f)^{\ker\chi}=\Q(s_0,s_1,s_2).$$
J'imagine que le bonus arithmétique, c'est que ton $F_\chi$ [ici] a pour racines $s_0,s_1,s_2$.
Je fais un peu n'importe quoi en ce moment ! Bonne idée de mettre bout à bout ces choses cubiques.
Pour la détermination du polynôme, c'est le polynôme minimal de $s_1-s_0$, enfin j'espère ! j'ai copié sur CubicGaussSum.pdf (4 pages), proposition 2 en remplaçant $p$ par $f$. Pour comprendre ce que j'ai fabriqué dans ces 4 pages, il faut voir le calcul symbolique que j'ai réalisé en haut de la page 2. Et ensuite, dans le document, j'ai utilisé des propriétés des sommes de Gauss/Jacobi sur $\mathbb F_p$. Et pour notre histoire où $\mathbb F_p$ doit être remplacée par $(\Z/f\Z)^\times$, je ne l'ai jamais vérifié mathématiquement ! J'ai juste fait de l'analogie. C'est pas bien.
Je pense qu'on cherche des preuves justement parce que tu as testé positivement cette substitution dans un très grand nombre de cas.
Par ailleurs, OK pour $s_1-s_0$ ce qui ne change pas grand chose à ce que j'ai écrit dans mon dernier post, mais qui doit présenter l'avantage d'encoder $\Q(\zeta_f)^{\ker\chi}$ avec un joli polynôme $F_\chi$.
A la lecture de CubicGaussSum.pdf, je crois qu'on va devoir en passer par une preuve de $$J(\chi,\chi) = \prod\limits_{i=1}^k J(\chi_i, \chi_i)=\mu(f)\bmod 3,$$ce qui en soi est un très beau résultat !
Je poursuis mon bilan en tentant d'éviter le problème œuf-poule.
1) Tu as déterminé [ici] les $2^{k-1}$ caractères primitifs de noyaux distincts deux à deux. On va voir qu'on peut arrêter de lire ce message après la phrase qui s'achève par "de bon conducteur" ($4$ lignes avant la fin).
2) Soit $\ker\chi$ un tel noyau et $K=\Q(\zeta_f)^{\ker\chi}$.
Grâce à Artin, $(s_0,s_1,s_2)$ est une $\Z$-base de $\mathcal O_K$.
Donc, d'après [ce calcul], $K$ est de conducteur $f$.
En particulier, il y a $2^{k-1}$ sous-extensions cubiques de $\Q(\zeta_f)$ de conducteur $f$.
Et on a démontré dans un cas particulier une instance de la "discriminant conductor formula", à savoir $$\text{conducteur de } \Q(\zeta_f)^{\ker\chi}=\text{conducteur de }\chi(=f).$$
Je pense pouvoir fournir quelque chose dans la journée.
1) A propos de ton égalité pour $J(\chi,\chi)$. Cela vient de la multiplicativité de la somme de Jacobi. Reuns en avait parlé. De mon côté, je passe par l'aspect structurel $R = R_1 \times R_2$ (produit d'anneaux finis) et reste INTERNE au cadre des sommes de Jacobi. Cet aspect structurel est aussi payant pour les sommes de Gauss (quasi-multiplicativité donnée également par Reuns) si on veut bien s'interroger 3 minutes sur les systèmes cohérents de racines primitives de l'unité. Moi, je peux pas faire autrement car $e^{2i\pi/N}$, cela n'existe pas dans de manière algébrique.
2) Dans CubicGaussSum.tex, j'ai fourni le polynôme minimal de plusieurs éléments primitifs de $K/\Q$ où $K \subset \Q(\root p \of 1)$ est l'unique extension de degré $3$, étant entendu que $p \equiv 1 \bmod 3$. Il s'agissait des éléments (primitifs) suivants :
$$
s_0, \qquad s_1 - s_0, \qquad {s_1 - s_0 \over s_2 - s_1}, \qquad\qquad
\hbox {$s_0, s_1, s_2$ les 3 périodes de Gauss}
$$
Et j'ai retenu celui du milieu. L'élément primitif de droite est de norme 1 ; suite, à l'envers, au théorème 90 d'Hilbert et le polynôme $F_a(X) = X^3 - aX^2 - (a+3)X - 1$ : le terme constant $-1$ dit qu'une racine de $F_a$ est de norme 1 d'où une réalisation possible comme quotient qui apparaît dans le théorème 90 d'Hilbert. Je me comprends.
Mine de rien, la mise au point de CubicGaussSum a duré un certain temps (deux semaines, si je me souviens bien). Il y a eu une interaction/discussion avec K. Conrad. Pendant cette discussion, il a fait évolué un certain nombre de fois son http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/nopowerbasis.pdf. Tu verras d'importantes modifications à sa page 5. Il y avait à une époque le coup du signe de $u$ qui flottait dans $4p = t^2 + 27u^2$. Cela ne flotte plus chez moi de la manière dont je m'y prends. Par ailleurs, K. Conrad ne normalise pas $t$ (qui est noté $A$ chez lui) de la même manière que moi : $A \equiv 1 \bmod 3$ chez lui versus $t \equiv 2 \bmod 3$ chez moi (je laisse faire la nature une fois $\pi \equiv 1 \bmod 3$ retenu une fois pour toutes pour normalisation). D'où des polynômes cubiques différents because des normalisations différentes.
Tout ceci paraît sordide et incompréhensible. Mais il faut savoir (bis) que l'on a transpiré plusieurs jours dessus. Et on ne peut pas en rendre compte dans les écrits.
3) Périodes de Gauss. En attendant le pdf qui doit venir dans la la journée (hum), tu peux t'interroger (dans le cadre de la totale) sur les éléments primitifs autour des périodes de Gauss. La totale signifiant le contexte suivant : $L/K$ galoisienne de groupe $G$, base normale pilotée par $z \in L$, somme $s_A = \sum_{\sigma \in A} \sigma(z)$. Note que je mets $A$ pour n'importe quelle partie $A$ de $G$. Et pas seulement pour les classes à DROITE de $G$ modulo un sous-groupe $H$.
Question à 100 balles : montrer que chaque $s_C$ est un élément primitif de $L^H/K$ où $C$ est une classe à droite modulo $H$. Ne pas confondre cela avec le fait que la famille $(s_C)$ est une $K$-base de $L^H$ ($1$ figure bien dans la base des puissances d'un élément primitif et n'est pas pour autant un élément primitif !). Attention aux prises de tête. Pour $\tau \in G$, Il va intervenir $\tau(s_C) = s_{\tau(C)}$ et $\tau(C)$ n'est plus une classe à droite modulo $H$. D'où le besoin de relâcher la notation $s_A$. Il va aussi intervenir les $(G : H)$ plongements de $L^H$ dans $L$ et invariablement un système de représentants de $G$ modulo $H$ A GAUCHE.
Il faut mettre les mains dans le cambouis pour comprendre tout cela. De loin, on ne voit rien. Le plus lâche serait de dire : mais on veut appliquer cela en terrain abélien, pourquoi se faire ch.er avec la gauche et la droite ? Oui, c'est lâche. A cause de demain ou la semaine prochaine.
Attention aux prises de tête (bis).
4) Réfléchir à la nature des preuves. La preuve de Weil de la congruence $-J(\chi,\chi) \equiv 1 \bmod 3$ en terrain cubique est INTERNE à $\Z[j]$. Pas celle de Ireland & Rosen (ni celle de mon épreuve).
Juste pour t'occuper en attendant le truc promis.
J'ai voulu en avoir le coeur net (c'est comme cela que l'on dit ?). Est ce qu'un système de Calcul Formel sait ce qu'est un système cohérent de racines primitives de l'unité ?
Visiblement oui. Bien sûr $\zeta_{12} = \zeta_{36}^3$, $\zeta_9 = \zeta_{36}^4$, et $3 + 4 = 7$. C'est cela la cohérence. Je connaissais le fonctionnement analogue concernant les caractères de Dirichlet (qui sont à valeurs dans $\mathbb U_\infty \cup \{0\}$) car on ne peut pas faire autrement pour les calculs. Mais je ne me souviens de l'avoir observé pour le constructeur CyclotomicField, qui assure donc une prise en charge algébrique de $\Q(\root \infty \of 1)$, de manière cohérente.
Par ailleurs, quelqu'un qui pense que $\zeta_n = e^{2i\pi/n}$, versus la classe de $X$ dans $\Z[X]/\langle \Phi_n(X)\rangle$, doit avoir du mal à comprendre de quoi je cause. Mais ce n'est pas trop (en fait, pas du tout) mon problème
Suite à mon post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1559854,1575426#msg-1575426, en particulier du point 3), périodes de Gauss dans le cadre de la totale $(L,K,G)$. Ce qu'il faut noter (et que l'on ne voit pas dans le post) c'est la chose suivante : pour $\tau \in G$, l'image par $\tau$ d'une $H$-période de Gauss, ce n'est pas une $H$-période de Gauss. Sinon $L^H/K$ serait galoisienne ! Mais peut-être que cette image, c'est une $\tau H\tau^{-1}$-période de Gauss.
Et du coup, lorsque $H$ est distingué dans $G$, on obtient (sans l'avoir demandé) que $L^H/K$ est galoisienne, équipée d'une base normale s'il vous plaît, pilotée par la période principale de Gauss $s_H$. Elle est pas belle la vie ? Gauss et Artin, respect.
Juste pour être sûr, es-tu d'accord avec mon petit bilan [ici] ?
J'avais loupé ton post sur le petit bilan. Oui, cela m'a l'air tout bon. Et je conçois que cela ne soit pas facile, à travers les échanges dans tous les sens (surtout ceux non prévus), de s'y retrouver en ce qui concerne le problème oeuf-poule.
Oui, tout cela demande réflexion comme tu dis. Mais cela ne vient pas du tout de moi mais des objets eux-même. Et j'en ajoute au panier. Tu vas penser que je joue la montre parce que le pdf promis ce Dimanche, il n'est pas prêt. C'est pas faux. Et aussi, parce ce qu'en fait, je suis incapable de réaliser Kronecker-Weber de manière effective pour une extension abélienne cubique de $\Q$. Et que du coup, je brode ; c'est pas faux.
Eh bien j'ajoute quand même au panier.
A) Avant de parler, dans le contexte cubique abélien sur $\Q$ que tu sais, du polynôme minimal des éléments primitifs $s_0$, $s_1-s_0$, $(s_1-s_0)/(s_2-s_1)$, la moindre des politesses serait de montrer que ce sont bien des éléments primitifs de la dite extension. Non ? Rien contre la politesse, j'espère.
C) J'ai toujours eu un faible pour le polynôme $F_a(X) = X^3 - aX^2 + (a+3)X - 1$ car il restitue TOUTES les extensions abéliennes cubiques du monde dans le contexte général. Je veux dire que si $L/K$ est une extension abélienne cubique avec $K$ quelconque (même de caractéristique $3$), il existe toujours un élément primitif de $L/K$ dont le polynôme minimal est $F_a$ pour un certain $a \in K$. C'est l'époque de l'homographie d'ordre 3. Et du fil ``Petits groupes de Galois ...etc''. Mort et bien mort. Souvenirs, émotions.
Mais en aucun cas (bis), $F_a$, a lui tout seul, ne peut refléter l'arithmétique de l'anneau des entiers du corps qu'il définit. Son discriminant n'est PAS (toujours) celui de l'anneau des entiers ...etc...
D) Fixette de C.Q. sur les systèmes cohérents de racines primitives de l'unité. Bien sûr que pour moi, la famille $(\zeta_n)_{n \ge 1} $, c'est à la fois la famille $(e^{2i\pi/n})_{n \ge 1}$ et à la fois d'autre chose. A ce propos, il ne me semble pas que J.P. Serre utilise le système de Calcul Formel magma (cependant ***). Mais des systèmes cohérents de racines de l'unité, si. Cf le chapitre 6 de Topics in Galois Theory in http://www.msc.uky.edu/sohum/ma561/notes/workspace/books/serre_galois_theory.pdf, en particulier le th 6.3.1 (algebraic fundamental group). Vu les titres de section du chapitre (GAGA principle and co), il y a belle lurette que je me suis barré. Je sais que j'ai déjà raconté cela mais je voudrais pas que l'on pense : $\zeta_n = e^{2i\pi/n}$, c'est vachement simple, qu'est ce que C.Q. vient nous em.er.er, avec les systèmes cohérents ...etc.. faut toujours qu'il complique tout.
Cependant (***) : il y aurait bien des anecdotes à raconter mais pas moyen de retrouver mes sources. Faut peut-être pas que j'abuse de (***) pour éviter d'être confondu avec .. OK. là, je brode.
Hier, je me suis dit qu'on avait quand même vu beaucoup de choses dans ce fil et, en voulant voir si j'avais saisi "the big picture", je me suis rendu compte que ce n'était vraiment pas facile de tirer un bilan.
Et on n'en est qu'à trois pages !
Imagine quelqu'un qui serait en train de se remuer les méninges autour de "Homographies..." et ses modestes 64 pages !!!
Prends ton temps pour le pdf, je n'ai plus trop de temps à moi jusqu'à lundi soir... ce que je regrette parce que tes questions sur les périodes de Gauss (dont la question à 100 balles) me turlupinent déjà. ;-)
J'attache le torchon (pas relu) car si je ne le fais pas maintenant, je ne le ferais jamais. Et si je ne relis pas, c'est pour la raison suivante : si je relis vraiment, je ne vais pas oser envoyer. Je n'ai jamais vu un truc aussi décousu. J'ai mis des numéros par ci, par là, histoire de faire joli.
Je ne dis pas pour autant qu'il n'y a rien (par exemple le coup du $R = R_1 \times R_2$, pourtant insignifiant, apporte un peu d'eau au moulin). Je dis simplement que cela demanderait d'être structuré, avec des propositions, lemmes, remarques et tout le truc. Flemme de.
Si je vois un truc vraiment trop naze, j'apporterais un rectificatif (que je dis).
Et je n'exagère pas quand je dis ``si je n'envoie pas maintenant, cela ne se fera pas''. Car figure toi que le nom initial était JacobiSumsNov2017. Et que cela a trainé à un tel point que j'ai dû migrer vers JacobiSumsDec2017 (je ne rigole pas ni avec les noms de fichiers, ni avec les noms de variables, fonctions ..)
Deuxième attachement : de nouveau la page (pas torchon) qui date du 5 Août : la preuve de Weil concernant la congruence de la somme de Jacobi $J(\chi, \chi)$, dans le cadre cubique. Juste pour ne pas oublier que je l'avais tapée.
J'ajoute au panier POUR PLUS TARD (longues soirées d'hiver) : primary cela veut dire quoi ? Dans $\Z[j]$, certes pourquoi $\pi \equiv 1 \bmod 3$ chez nous (cocorico) et $\pi \equiv 2 \bmod 3$ chez les anglo-saxons? Et pourquoi cela donne-t-il ``ce qu'il faut'' dans les deux cas en ce qui concerne la loi de réciprocité cubique ? En en général ?
Je pense maintenant qu'on peut justifier complètement [cette construction].
Oui, on peut maintenant justifier la construction de l'extension cubique abélienne de conducteur $p_1\cdots p_k$ avec $p_i \equiv 1 \mod 3$. Modulo quelques petits trucs (éléments primitifs). Je compte faire une mise à jour de mon JacobiSumsDec2017 because quelques points incompréhensibles et des coquilles.
Mais je ne sais pas si tu te souviens qu'il y avait deux types de conducteurs 3-cycliques :
$$
\text {Type I} : f = p_1 \cdots p_k, \qquad \text {Type II} : f = 3^2 p_2 \cdots p_k, \qquad\qquad \hbox {$p_i$ premiers distincts, $p_i \equiv 1 \bmod 3$}
$$
Et à chaque fois, $2^{k-1}$ extensions cubiques, disons $2^k$ caractères cubiques modulo $f$ mais qui vont deux par deux via $\chi \leftrightarrow \chi^{-1}$. Chose confirmée par le haut de la page 2 de (pointeur déjà fourni) https://ac.els-cdn.com/S0022314X09002388/1-s2.0-S0022314X09002388-main.pdf?_tid=f383834c-d8d8-11e7-a5ae-00000aab0f01&acdnat=1512381377_b4f36d6006bbd108db96c8c88ba6b2c4
Je me suis dit (le type I étant pratiquement réglé), que l'on pourrait s'occuper du type II. Mais est ce que l'on va faire du cubique le restant de notre vie ? Non, aucune obligation : on peut participer à d'autres fils, par exemple sur la récurrence, les quantificateurs, ou je ne sais trop quoi.
Histoire de me remettre un peu dans cette histoire d'où sortent ces types, sans refaire la totale, j'ai de nouveau considéré le cas d'une sous-extension cubique $K$ de $\Q(\root 3^e \of 1)$ avec $e \ge 2$. Car $e = 1$ est trop petit pour contenir du cubique. Je dis que $K$ est unique, contenue dans $\Q(\root 9 \of 1)$. Vois tu pourquoi en (par exemple) introduisant $G_e = (\Z/3^e\Z)^\times$ et le coup du $G_e/G_e^3$ ($G_e$ est cyclique d'ordre $2 \times 3^{e-1}$ et $G_e^3$ est l'unique sous-groupe de $G_e$ d'indice 3).
Et pour $e=2$, i.e. $\Q(\root 9 \of 1) = \Q(\zeta_9)$, l'extension cubique est la sous-extension réelle :
$$
K = \Q(\zeta_9 + \zeta_9^{-1}) , \qquad\qquad
\big(X - (\zeta_9 + \zeta_9^{-1}) \big) \big(X - (\zeta_9^2 + \zeta_9^{-2}) \big) \big(X - (\zeta_9^4 + \zeta_9^{-4}) \big) = X^3 - 3X + 1
$$
Et le polynôme que tu vois est de discriminant $9^2$ où $9$ est le conducteur et donc $\mathcal O_K$ est monogène engendré par $\zeta_9 + \zeta_9^{-1}$.
Et je me suis posé la question : étant donné un caractère $\chi$ d'ordre 3 modulo $f$ de type II, comment trouver un élément primitif agréable de $\Q(\root f \of 1)^{\ker \chi}$. On peut même virer l'adjectif agréable pour l'instant : trouver un élément primitif serait pas mal.
Note que la présence du $3^2$ fiche en l'air la stratégie des périodes de Gauss. Plus de bases normales pour les anneaux d'entiers en tout cas. Vraiment sûr que $\Z[\zeta_9]$ et/ou $\Z[\zeta_9 + \zeta_9^{-1}]$ n'ont pas de base normale. Oui, grâce au théorème de Hilbert Speiser, cf page 2 de https://www.dpmms.cam.ac.uk/~hlj31/GM_CourseNotes101.pdf. Si tu regardes en bas de la page 2 les mots-clés, tu vas être vite convaincu que l'on n'est pas obligé de faire du cubique le restant de notre vie.
Bref, je me pose des questions sur le fait d'attraper concrètement $\Q(\root f \of 1)^{\ker \chi}$.
En te lisant, je me dis que puisqu'on a fait la moitié du boulot en venant à bout du Type I, ce serait dommage de s'arrêter en si bon chemin.
Mais c'est sûr que ça risque d'être moins esthétique sans bases normales d'entiers.
A ce propos, je trouve ce théorème de Hilbert-Speiser épatant !
Finalement, Kronecker-Weber, c'est l'arbre qui cache la forêt !
Mais bon, on pourrait quand même appliquer la théorie d'Artin en se contentant d'une base normale de $\Q(\root f \of 1)^{\ker \chi}$...
C'est quand je lis des notes comme celle de Henri Johnston à la fin de la p.2 que je me sens soudain complètement ignare !
Je le trouve quand même sympa quand il dit : "these shall depend on the interests and background of the audience"...
Les choses s'arrangent mais effectivement pour le type II, pas question de vouloir obtenir une base normale de l'anneau des entiers du corps cubique (obstruction via le théorème de Hilbert-Speiser). Je commence par la FIN. Voici un résultat UNIFORME que ce soit pour le type I ou le type II. On considère un caractère cubique primitif $\chi$ sur $(\Z/f\Z)^\times$ et on pose:
$$
J(\chi, \chi) = a + bj \in \Z[j] \qquad \hbox {de sorte que} \qquad f = (a+bj)(a+bj^2) = a^2 - ab + b^2
$$
Alors $b$ est divisible par $3$ et le polynôme
$$
F(X) = X^3 - fX + f{b \over 3} \quad \hbox {est $p_i$-Eisenstein} \qquad\qquad \hbox {(les $p_i$ sont les premiers $\equiv 1 \bmod 3$ qui figurent dans $f$)}
$$
Il est ``abélien'' i.e. son discriminant est un carré. Et surtout, il encode $\Q(\root f \of 1)^{\ker \chi}/\Q$ i.e. cette extension cubique admet comme élément primitif n'importe quelle racine de $F$.
Mais ça, c'est la fin. Quelques pistes pour en arriver là. D'abord, on peut toujours définir $s_0, s_1, s_2$ et $G_0 = G(\chi^0)$, $G_1 = G(\chi^1)$, $G_2 = G(\chi^2)$ :
$$
s_k = \sum_{\chi(x) = j^k} \zeta_f^x, \qquad\qquad
\pmatrix {1 & 1 &1\cr 1 & j & j^2\cr 1 & j^2 & j} \pmatrix {s_0 \cr s_1 \cr s_2} = \pmatrix {G_0 \cr G_1 \cr G_2}
$$
Et le polynôme $F$ qui apparaît plus haut va être un polynôme annulateur de $s_1-s_0$, en ADAPTANT les calculs réalisés dans la proposition 2 de CubicGaussSum.pdf
Pour pouvoir adapter ces calculs, il faut des relations entre $J(\chi, \chi)$, $G_1^3$, $G_2^3$, disons sur les sommes de Gauss/Jacobi sur un anneau. Mais justement, JacobiSumsDec2017 (et la mise à jour à venir) permet de le faire (multiplicativité de $J$, quasi-multiplicativité de $G$).
Tout a commencé (modestement) avec $\Q(\root 9 \of 1) = \Q(\zeta_9)$ en contemplant :
$$
s_0 = \zeta_9 + \zeta_9^{-1}, \qquad s_1 = \zeta_9^2 + \zeta_9^{-2}, \qquad s_2 = \zeta_9^4 + \zeta_9^{-4}
$$
Suggestion : commencer par ce petit cas de bébé (c'est lui qui m'a TOUT donné i.e. qui m'a guidé). Il n'y a pas de $p_i$ mais c'est pas grave. Quels sont les cubes de $G = (\Z/9\Z)^\times$ ? Que sont les trois classes de $G/G^3$ ? J'ai pris $2$ comme générateur de $G = (\Z/9\Z)^\times$ et $\chi : 2 \to j$. Et à la main (si, si), j'ai trouvé $J(\chi,\chi) = 3j$ ....etc..
Le seul problème (pour l'instant) en ce qui concerne le type II, c'est d'obtenir une preuve directe du fait que le discriminant de l'anneau des entiers de $\Q(\root f \of 1)^{\ker \chi}$ est $f^2$ ($f$ est le conducteur de $\chi$). Eh, bien tant pis : on fait appel au Conductor Discriminant Formula. C'est l'occasion pour bien comprendre ce que dit ce résultat. Et en fait pour apprécier que toute cette histoire cubique abélienne est pilotée par les caractères cubiques primitifs.
Ajout. On oublie tout. Quels sont les $f$ tels qu'il existe un caractère cubique primitif modulo $f$ ? A mon avis, $f$ de type I ou II.
Et si on montre qu' $$\text{il existe un caractère cubique primaire modulo }f\Leftrightarrow f\text{ est de type I ou II},$$on a potentiellement à disposition toutes les extensions cubique CYCLIQUES de $\Q$ grâce à ta construction UNIFORME !
Enfin, je crois...
Histoire de ne pas perdre la main avec un certain langage de programmation, tu te doutes que... Ci-dessous, quelques premiers $p_i \equiv 1 \bmod 3$ : $7, 13, 19, \cdots$. J'ai tiré $k=3$ et $p_2, p_3$. Et $f = 3^2 p_2p_3$. Ensuite, on voit $2^k = 8$ affichages : le $k$-uplet de signes (ici triplet) c'est celui qui correspond aux exposants $\chi = \chi_1^{\pm 1} \cdots \chi_k^{\pm 1}$. On voit le polynôme $X^3 - fX + a_0$; on observe le terme constant $\pm a_0 \leftrightarrow \chi^{\pm 1}$.
Et tout à droite, c'est le troisième élément de la $\Z$-base de $\mathcal O_K$, les deux premiers étant $1, x$, $x$ racine de $F$. Etant entendu que la $\Z$-base de $\mathcal O_K$ est normalisée au sens de je-ne-sais-plus-qui. C'est une chose qui m'avait beaucoup étonné il y a quelques années : quelque soit le corps de nombres $K$, bien sûr que $\mathcal O_K$ possède une infinité de $\Z$-bases mais une SEULE normalisée au sens de .. Ce qui facilite l'échange dans le monde entier : pas d'unicité du polynôme qui ... mais unicité de la $\Z$-base.
Je ne crois pas que l'on puisse facilement attraper cette $\Z$-base à la main.
En tout cas, ne perd jamais $J(\chi, \chi) = a + bj$. Tu peux te permettre de perdre $f$ et $\chi$ (encore que par prudence, il est préférable de tout garder). Ce que je veux dire, c'est qu'avec $a+bj$, tu peux retrouver $f = a^2 - ab + b^2$ et $b/3$. Donc reconstituer $f, F$. Le caractère ? Je ne sais pas. Et donc, tout est encodé, certes par les caractères cubiques primitifs modulo $f$, mais aussi par leur somme de Jacobi, si l'on veut. Arg, quel c.n : j'aurais dû faire afficher $J(\chi,\chi)$. Je vais recommencer (pour moi, pour voir).
Et on voit bien que dans ton exemple, il y a seulement quatre extensions cubiques primitives distinctes via la formule $$F_{\chi^{-1}}(X)=-F_\chi(-X).$$
Comment va ?
Je suis un peu sorti du truc à cause d'obligations professionnelles.
Je crois que la construction des extensions cubiques cycliques de $\Q$ est terminée.
Mais peut-être manque-t-il des preuves ?
A moins que tu n'aies tout terminé... ;-)
Pour le type II, il manquait une preuve directe du fait que le discriminant de l'anneau des entiers de $\Q(\root f \of 1)^{\ker \chi}$ est $f^2$. Mais ne disposant pas d'une $\Z$-base, j'ai laissé tomber.
Et il y a quelque chose qui trainait depuis un certain temps mais je ne voulais pas le voir. C'est devenu flagrant en voulant faire une mise à jour du dernier pdf. Je reculais car je ne voulais pas mettre les mains dans la cambouis. Il s'agit dans le contexte d'un anneau fini quelconque $R$ de la relation entre sommes de Gauss et Jacobi :
$$
G_\psi(\chi_1) G_\psi(\chi_2) = J(\chi_1, \chi_2) G_\psi(\chi_1\chi_2) \qquad (\star)
$$
Avec quelques contraintes sur $\chi_1, \chi_2$. Je dis bien pour un anneau fini quelconque. Je me doutais bien que cela n'allait pas se faire tout seul. Un peu dans le même genre (et malgré les indications de l'exercice de Koblitz), j'en avais un peu bavé pour la preuve de
$$
G_\psi(\chi) \overline {G_\psi(\chi)} = \#R \qquad \hbox {($\psi$ et $\chi$ primitifs)}
$$
Bref. On peut pas toujours reculer. Et je me suis collé à $(\star)$. C'est enfin réglé. Avec comme conséquence :
$$
J(\chi_1,\chi_2)\overline {J(\chi_1,\chi_2)} = \#R \qquad \hbox {($\chi_1, \chi_2, \chi_1\chi_2$ primitifs)}
$$
Et maintenant, je cherche une preuve directe de cette égalité sans passer par les sommes de Gauss (ce qui nécessite de faire intervenir en plus un caractère additif primitif $\psi$). Pour l'instant, rien.
En un certain sens, je suis revenu des mois et des mois en arrière.
PS : on n'a jamais eu besoin de ce degré de généralité.
Pour la $\Z$-base quand $f$ est de type II, on voit [ici] qu'il est peut-être vain d'en chercher une qui soit générique.
J'ai envie de dire que ce n'est pas si grave.
En effet, dans le problème qui nous occupe, on a pu montrer "the discriminant conductor formula" grâce à [ce cheminement] quand $f$ est de type I.
Du coup, je comprends mieux cette formule donc s'il faut l'utiliser pour $f$ de type II, cela me gêne beaucoup moins que quand je n'y comprenais rien.
Par ailleurs, je comprends bien ta problématique sur les différentes sommes puisqu'il y a quelques mois, tu avais entrepris de bosser les sommes de Gauss sur un anneau fini. C'est donc tentant de faire la même chose avec les sommes de Jacobi pour boucler la boucle. Et c'est tout à ton honneur de rester sur un terrain plus général.