Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
172 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Extensions cycliques d'un corps cyclotomique

Envoyé par gai requin 
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Bonjour Claude,

Pour le petit dénombrement du week-end concernant le nombre d'extensions cubiques de conducteur $p_1 \cdots p_k$, je trouve, mais sans trop de conviction, $$\frac{3^k-1}{2}-k\frac{3^{k-1}-1}{2}+\frac{k(k-1)}{2}\frac{3^{k-2}-1}{2}.$$
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Jamais je n'aurais osé te demander un truc comme cela (ta formule !). A mon avis, faut certainement se poser un petit peu. Les ingrédients sont élémentaires. Je note $m = p_1 \cdots p_k$ et $G$ le groupe des caractères qui nous concernent i.e. :
$$
G = \text{Hom}\big( (\Z/m\Z)^\times, \mathbb U_3\big)
$$
Je dis que l'on peut écrire $G$ comme un produit direct :
$$
G = \langle \chi_1\rangle . \langle \chi_2\rangle \cdots . \langle \chi_k\rangle
$$
où $\chi_1$ est de conducteur $p_1$, $\chi_2$ de conducteur $p_2$, ...etc.. Note : chaque $\chi_i$ est d'ordre 3.

Est ce que tu les vois ces $\chi_i$ ?

Et donc tout $\chi \in G$ s'écrit de manière unique :
$$
\chi = \chi_1^{a_1} \cdots \chi_k^{a_k} \qquad a_i \in \{0, \pm 1\}
$$
Je vais le noter $\chi_a$ ce caractère où $a = (a_1, \cdots, a_k)$. C'est mon espèce de forme linéaire multiplicative (sic) de l'autre jour.

Quel est le conducteur du caractère $\chi_a$ ? Quels sont les caractères $\chi_a$ qui sont primitifs i.e. de conducteur égal à $m = p_1\cdots p_k$? Combien ?

Ca, c'est purement groupiste (caractères).

Et ensuite, faut relier cela aux extensions cubiques abéliennes. Le lien est écrit dans divers posts (discriminant conductor formula).
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Pour ma formule, j'ai compté le nombre de sous-extensions cubiques de $\Q(\zeta_{p_1\cdots p_k})$ qui ne sont pas sous-extensions des $k$ extensions cyclotomiques de la forme $\Q(\zeta_{q_1\cdots q_{k-1}})$, où les $q_i\in \{p_1,\ldots,p_k\}$. Je pense maintenant qu'elle est juste...

Pour ton groupe $G$, on peut utiliser le théorème chinois pour obtenir que $\chi\in G$ s'écrit $\chi_1\cdots \chi_k$, où chaque $\chi_i$ est un caractère défini sur $(\Z/p_i\Z)^\times$ à valeurs dans $\mathbb U_3$.
De plus, chacun des $\chi_i$ peut se définir à partir de la seule donnée de $\chi_i(-1)\in \{1,j,j^2\}$.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@gai requin
Je ne comprends pas bien ce que tu as écrit. Une manière de dire que ...

D'abord, soit $\chi$ un caractère cubique ; alors $\chi(x) = 1$ si $x$ est un cube. Comme $-1$ est un cube (et même le cube de $-1$), on a $\chi(-1) = 1$.

Voici comment on obtient $\chi_i$ (dont je voulais parler). Via l'isomorphisme chinois, il est trivial sur chaque composante $j$ avec $j \ne i$. Et sur la composante $i$ :
$$
\chi_i : \mathbb F_{p_i}^* \twoheadrightarrow \mathbb F_{p_i}^* / (\mathbb F_{p_i}^*)^3 \simeq \mathbb U_3
$$
A droite, je fixe un isomorphisme une fois pour toutes.

Ce caractère $\chi_i$ est de conducteur $p_i$. Aucune allusion d'ailleurs dans ton post aux conducteurs des caractères, ce qui est pourtant une notion fondamentale ici. Un groupe de caractères, comme notre $G$, ce n'est pas qu'un groupe groupiste.

Je rappelle que $\chi_a = \chi_1^{a_1} \cdots \chi_k^{a_k}$ avec $a_i \in \{0, \pm 1\}$. Alors :
$$
\text{Conducteur}(\chi_a) = \prod_{a_i \ne 0} p_i
$$
Si bien que les caractères primitifs i.e. ceux de conducteur $p_1 \cdots p_k$, sont les $\chi_a$ avec $a_i \in \{\pm 1\}$. Il y en a $2^k$. Mais $\chi$ et $\chi^{-1}$ ont mêne noyau, ce qui nous fournit $2^{k-1}$ sous-groupes d'indice 3 de $G$ ``de bon conducteur''.

Comme le conducteur de l'extension cubique $\Q(\root m \of 1)^{\ker \chi}$ est égal au conducteur de $\chi$, cela nous donne $2^{k-1}$ sous-extensions cubiques de conducteur $p_1 \cdots p_k$.

Ce nombre $2^{k-1}$, c'est ma réponse (ainsi que la justification ci-dessus). Pour $k = 4$, cela en fait $8$. Tandis que ta formule en donne 12. Et ce que je peux affirmer sans me tromper, c'est que $12 \ne 8$.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Merci pour cette preuve.

J'ai fait l'énorme bourde de croire que $-1$ est générateur de $\mathbb F_{p_i}^* $ !thumbs up
Mais surtout, je ne suis pas du tout au point sur les caractères.
Et même que je n'y comprends rien !

1) On dirait que $p_i$ divise le conducteur de $\chi$ si, et seulement si, la restriction de $\chi$ à $\mathbb F_{p_i}^* $ n'est pas triviale.confused smiley

2) Si on fixe $\chi$, quels sont les caractères qui ont le même noyau que $\chi$ ?

3) Pourquoi le conducteur de $\Q(\root m \of 1)^{\ker \chi}$ est-il égal au conducteur de $\chi$ ?
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@gai requin
Je ne peux pas faire plus. Chaque post me demande pas mal de travail. Et j'essaie d'être le plus précis possible. Je pense que peut-être, je dis bien peut-être, il faut prendre un peu de temps pour les lire. Il y a un peu d'informations dedans. Tu as probablement loupé des trucs, non ?

De mon côté, je suis très lent (et j'ai déjà expliqué que lire 13 lignes, la section 3 de l'annexe A de ...etc.., me prenait plusieurs jours). Je ne sais pas comment font les autres.

Ce qui en cause ici, c'est la notion basique de caractères (de Dirichlet) et de leur conducteur. C'est bien plus facile que l'aspect corps de classes ou je ne sais trop quoi. Il faut peut-être revenir en arrière ?

Deux formes linéaires (non nulles) ont même noyau si et seulement si ... Une allusion à quelque chose.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
C'est exactement ce que je disais : je ne connais pas les basiques des caractères de Dirichlet.
En général, j'essaie de répondre à mes propres questions mais là, je suis un peu au bout du rouleau pour persévérer...
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Sur les produits de caractères de Dirichlet : [math.stackexchange.com]

Il y a $\phi(p^k)$ caractères de Dirichlet $\bmod\, p^k$ et $\phi(p^k)-1$ qui sont primitifs,
donc il y a $\phi(m)$ caractères de Dirichlet $\bmod\, m$ et $\prod_{p^k \| m} (\phi(p^k)-1)$ qui sont primitifs.

Pour $p \ne 2$, $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^\times$ est cyclique d'ordre $\phi(p^k)$ donc les caractères de Dirichlet $\bmod \ p^k$ sont de la forme $$\forall a,b, \qquad \chi(b p) = 0, \qquad \chi(g^a+b p^k) = e^{2 i \pi a c/\phi(p^k)}$$ où $g$ est un générateur fixé de $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^\times$ et $c \in 1,\ldots,\phi(p^k)$.

$(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^\times$ s'injecte dans $(\mathbb{Z}/p^{k+l}\mathbb{Z})^\times$ mais ce n'est pas compatible avec la réduction $\bmod p^k$, donc au final le groupe de tous les caractères de Dirichlet (où tous les caractères principaux $1_{\gcd(n,N)=1}$ sont considérés comme éléments neutres)
est plus compliqué que ce que je pensais.



Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par reuns.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Petits trucs (parce que je passe par là presque par inadvertance) :

$\triangleright$ il y a $(\varphi \star \mu)(q)$ caractères primitifs de Dirichlet (ainsi : il n'y a pas de caractère primitif si, et seulement si, $q=2m$ avec $m$ impair) ;

$\triangleright$ il y a $2^{\omega(q) + \alpha(q)}$ caractères réels de Dirichlet, avec $\alpha(q) = -1$ si $q \equiv \pm 2 \pmod 8$, $\alpha(q) = 1$ si $8 \mid q$ et $\alpha(q) = 0$ sinon.

$\triangleright$ la formule analytique du nombre de classes repose en grande partie sur la formule du produit : si $G$ est un groupe abélien de groupe de caractères associé $\widehat{G}$, alors pour tout $z$
$$\prod_{\chi \in \widehat{G}} \left( 1 - \chi(g) z \right) = \left( 1 -z^m \right)^{|G|/m}$$
où $g \in G$ est un élément d'ordre $m$.

Voilà ! avec ça et les relations d'orthogonalité, on est paré pour aborder les caractères dans le cadre de la théorie algébrique.

Désolé pour cette intrusion sans doute pas très utile...
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@gai requin
Il ne faut pas se décourager. Ma philosophie : faire des petites choses simples en commençant par le commencement. Je t'assure que de temps en temps (et même souvent), je passe par ce type d'étapes en faisant ce que j'appelle des pas de bébés (mais des pas de bébés les plus sûr possibles). Comme je n'ai AUCUN impératif, je sais que je peux prendre le temps que je veux, mon objectif n'étant pas de faire avancer la science, mais de comprendre 2 ou 3 trucs inventés par ceux/celles qui ont vraiment des idées en mathématiques. Je pense que c'est aussi ton objectif (enfin, je n'en sais rien).

Il n'y a aucune honte à revenir à la base concernant les caractères de Dirichlet. D'ailleurs, je suis persuadé que je vais apprendre des choses dans les posts de Reuns et noix de totos. Merci à eux. Et n'oublie pas que dans RingGaussSum.tex, je n'ai pas hésité (en m'excusant de faire de l'algèbre commutative) à étudier la totale $R$ anneau fini. Et je peux t'assurer que j'en ai bavé pour obtenir que $R^\times \to (R/I)^\times$ est surjective de noyau $R^\times \cap (1+I)$. Là où j'en ai bavé, c'est pour obtenir une preuve acceptable de la surjectivité. Acceptable signifiant ``dont je n'ai pas honte''.

Et je trouve que cela a quand même un peu avancé, certes de manière modeste. Par exemple, si $K/\Q$ est cubique abélienne de discriminant $(p_1p_2)^2$ (i.e. $k=2$), on sait maintenant que $K$ se plonge dans $\Q(\root p_1p_2 \of 1)$ et que là-dedans, il y a $2 = 2^{2-1}$ extensions possibles. C'est minuscule ? Oui, mais moi, je m'en fous, je ne veux pas faire avancer la science.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par claude quitté.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Bonjour Claude,

Oui, comprendre quelques trucs dans des thématiques qui m'intéressent, c'est cela mon objectif.

Tout est dans RingGaussSum (merci à toi) et notamment les notions de conducteur d'un caractère et de caractère primitif.
A relire d'urgence donc !

Je trouve déjà intéressant l'enchaînement $$\chi\text{ surjectif }\Rightarrow \ker\chi\text{ sous-groupe d'indice }3\Rightarrow E^{\ker\chi}\text{ de degré }3.$$

De mon côté, reste à voir pourquoi $$\text{conducteur de } E^{\ker\chi}=\text{conducteur de }\chi,$$ce qui constitue la clé de ta dernière preuve.

@reuns et noix de totos : merci pour les infos mais vous êtes bien au-dessus de mon seuil d'incompétence. smiling smiley
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@gai requin
Dans cette histoire, il y a des choses ``élémentaires'' et des choses savantes. Là où tu dis ``reste à voir pourquoi'', c'est le fameux ``Discriminant Conductor Formula'' qui contient DEUX résultats. Je suis flemmard mais dans CE fil, tu pourras retrouver les posts où j'en parle. A plusieurs reprises et en donnant des pointeurs.
Et j'en ai parlé dans d'autres fils, je ne sais plus lesquels.

Il y a des instances ``élémentaires'' de ``Discriminant Conductor Formula'' : par exemple pour l'unique sous-extension de degré $e$ de $\Q(\root p \of 1)$ quand $e \mid p-1$. Elémentaires = dont on peut faire des preuves soi-même en travaillant pendant des jours et des jours, voire des semaines.

Et les résultats sur les caractères (par exemple ceux donnés par reuns et noix de totos), je les juge ``élémentaires''. A CONDITION D'Y PASSER. De vouloir y passer. De prendre du temps. Plusieurs jours si besoin. Pas besoin de Hensel pour plonger :
$$
(\Z/p^k \Z)^\times \hookrightarrow (\Z/p^{k+1} \Z)^\times
$$
Tu dois (excuse d'être directif) EXPLICITER cette flèche. En commençant par un truc ULTRA-SIMPLE , avec $k \ge 1$ :
$$
x \equiv y \bmod p^k \quad \Rightarrow\quad x^p \equiv y^p \bmod p^{k+1}
$$
Pour un entier QUELCONQUE $p \ge 2$

Tu dois (encore !) apprendre à distinguer ce qui est élémentaire de ce qui ne l'est pas. Par exemple ``Discriminant Conductor Formula'', c'est du lourd, du très lourd. On peut l'admettre en ayant une idée de ce que cela dit. Et un bon pointeur (pour moi) est Washington, Introduction to Cyclotomic Fields. Mais ce n'est pas cela du tout qui est urgent.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@gai requin
Quelques nouvelles en vrac (comme d'habitude)

(1) J'ai retrouvé des billes concernant le signe du discriminant d'un corps de nombres. C'est dans la remarque 4, page 4 du papier de K. Conrad [www.math.uconn.edu] dont on a déjà parlé. Avec une référence à Washington. Et cette remarque vient après le théorème (3) de K. Conrad, qui donne le discriminant $p^2$ pour l'unique sous-extension cubique abélienne de $\Q(\root p \of 1)$ quand $p \equiv 1 \bmod 3$. Et ce résultat, qui est une instance d'un bout de ``Conductor Discriminant Formula'', K. Conrad en donne une preuve ``élémentaire'' à l'aide de la matrice tracique $3 \times 3$. Elémentaire mais un tantinet calculatoire (on n'a rien sans rien).

(2) Cela résout un problème de signe que j'avais et j'ai envie de reprendre/compléter un petit pdf montrant, entre autres, que $\text{Disc}(\mathcal O_K) = (p^*)^{e-1}$ où $\Q \subset K \subset \Q(\root p \of 1)$ est l'unique sous-extension de degré $e$ avec $e \mid p-1$. A coup de matrices circulantes à l'ancienne. Cela sera notre instance de bébés concernant ``Conductor Discriminant Formula''.

(3) Dans RingGaussSum, Th 2, p. 7, l'égalité $G_\psi(\chi) G_\psi(\overline \chi) = \chi(-1) \times \#R$ s'écrit aussi et c'est mieux (j'omets le caractère additif pour plus de clarté) :
$$
G(\chi) \overline{G(\chi)} = \#R \qquad (\heartsuit)
$$
pour la bonne raison que $G(\overline \chi) = \chi(-1)\overline {G(\chi)}$ et $\chi(-1) = \pm 1$. Et il n'y a pas si longtemps, je t'ai dit que je ``confondais'' $G(\overline \chi)$ et $\overline{G(\chi)}$ SANS que je m'en aperçoive car j'étais en cubique et en cubique $\chi(-1) = 1$. Et c'est bien pour cela que j'ai réagi au quart de tour quand j'ai vu ton histoire de $\chi(-1)$.

L'égalité $(\heartsuit)$, tu la verras écrite en théorie algébrique des nombres sous la forme conducteur $G(\chi) \overline{G(\chi)} = \mathfrak f_\chi$ car l'anneau fini $R$ est $\Z/\mathfrak f_\chi\Z$.

4) J'ai commencé à lire le petit papier ``Harbingers of Artin's Reciprocity Law ...'' de F. Lemmermeyer in [arxiv.org]. Harbingers, je le traduis par ``précurseurs''. Si tu voyais le CHANTIER de la mise en place de la réciprocité quadratique. On n'en parle pas souvent de ce chantier et on en fournit des preuves comme si c'était du petit lait. C'est d'ailleurs devenu du petit lait. Mais les anciens : Legendre, Gauss, Dirichlet ...etc.. ont transpiré pour nous. Et ensuite, pour d'autres lois de réciprocité, énorme boulot de Kronecker, Kummer, Hilbert, Frobenius, Chebotarev et d'Artin évidemment. Je regrette de ne pas m'être intéressé à l'histoire des maths plus tôt. Maintenant, c'est un peu tard.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Bonsoir Claude,

J'essaie de répondre à la question du plongement $(\Z/p^k \Z)^\times \hookrightarrow (\Z/p^{k+1} \Z)^\times$.

1) Supposons $x=y\bmod p^k$.
Alors $x^{p-1}+yx^{p-2}+\cdots+y^{p-1}=px^{p-1}=0\bmod p$.
Comme $x^p-y^p=(x-y)(x^{p-1}+yx^{p-2}+\cdots+y^{p-1})$, on a bien $x^p=y^p\bmod p^{k+1}$.

2) Supposons $x$ inversible modulo $p^k$ et soit $y$ un entier tel que $xy=1\bmod p^k$.
D'après 1), on a $x^py^p=1\bmod p^{k+1}$ donc $x^p$ est inversible modulo $p^{k+1}$.

3) D'après 1) et 2), l'application $(\Z/p^k \Z)^\times \rightarrow (\Z/p^{k+1} \Z)^\times$, $x\mapsto x^p$ est donc bien définie. Montrons qu'elle est injective.

Pour cela, soit $x$ un entier tel que $x^p=1\bmod p^{k+1}$.
D'après Fermat, $x=1\bmod p$ ce qui implique l'injectivité si $k=1$.
On suppose donc désormais que $k\geq 2$.
Si $p^2$ ne divise pas $x-1$, alors il existe $u$ premier avec $p$ tel que $x=1+up\bmod p^2$.
D'après 1), $x^p=(1+up)^p=1+up^2\bmod p^3$ : contradiction.

D'où $1+x+\cdots+x^{p-1}=p\bmod p^2$ donc $p^2$ ne divise pas $1+x+\cdots+x^{p-1}$.
Or, $x^p-1=(x-1)(1+x+\cdots+x^{p-1})$ donc $p^k$ divise $x-1$ ce qui permet de conclure.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Bonjour,

On peut aussi montrer par récurrence sur $k\geq 1$ que pour tout choix des $p_1,\ldots,p_k$ (congrus à $1$ modulo $3$), il y a exactement $2^{k-1}$ extensions de $\Q$ de degré $3$ dont le conducteur est $p_1\cdots p_k$.

Si $k=1$, c'est vu.

Supposons le résultat vrai au rang $k-1\geq 1$ et soit $p_1,\ldots,p_k$ des premiers congrus à $1$ modulo $3$.
Notons $E=\Q(\zeta_{p_1\cdots p_k})$.
D'après l'hypothèse de récurrence, il y a :
- $k$ sous-extensions de degré $3$ de $E$ de conducteur à un seul facteur premier.
- $2\binom{k}{2}$ sous-extensions de degré $3$ de $E$ de conducteur à deux facteurs premiers.$$\vdots$$- $2^{k-2}\binom{k}{k-1}$ sous-extensions de degré $3$ de $E$ de conducteur à $k-1$ facteurs premiers.
Soit alors $$S=k+2\binom{k}{2}+\cdots +2^{k-2}\binom{k}{k-1}.$$ D'après la formule du binôme, on a $$2S=3^k-1-2^k.$$ Et finalement, il y a $$\frac{3^k-1}{2}-S=2^{k-1}\text{ sous-extensions de degré }3\text{ de }E\text{ de conducteur }p_1\cdots p_k.$$
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@gai requin
Amusant ton dénombrement $2^{k-1}$ ! Vu aussi le post d'avant. Et quitte à me répéter, le plus important, c'est de faire. Faire quoi ? N'importe quoi pour ``être dedans''.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
J'aurai appris un truc sur les caractères de Dirichlet, moi aussi : il existe un homomorphisme injectif $\psi: (\mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z})^\times \to (\mathbb{Z}/p^{k+1} \mathbb{Z})^\times$ mais il n'est pas compatible avec la surjection canonique $(\mathbb{Z}/p^{k+1} \mathbb{Z})^\times \to (\mathbb{Z}/p^{k} \mathbb{Z})^\times$

Soit $p$ impair et $g$ un générateur de $(\mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z})^\times$, donc $g$ est une racine de $x^{\varphi(p^k)}-1 \bmod p^k$ et $g^{\varphi(p^k)}-1 = c p^k$.
Alors en général il n'existe pas de racine $g+t p^k$ de $x^{\varphi(p^k)}-1 \bmod p^{k+1}$.

Lemme d'Hensel : on écrit $f(y) = (g+y)^{\varphi(p^k)}-1 = f(0)+y f'(0)+ y^2 h(y) = g^{\varphi(p^k)}-1 + y \varphi(p^k) g^{\varphi(p^k)-1}+y^2 h(y) $ alors $f(tp^k) = (g+tp^k)^{\varphi(p^k)} -1= c p^k + t p^k \varphi(p^k) g^{\varphi(p^k)-1}+t^2 p^{2k} h(t p^k)$. On veut $f(tp^k) \equiv 0 \bmod p^{k+1}$ donc $c + t \varphi(p^k) g^{\varphi(p^k)-1} \equiv 0 \bmod p$, et comme pour $k > 1$, $p |\varphi(p^k)$, il n'y a pas de solution si $c \not \equiv 0 \bmod p$ donc $g^{\varphi(p^k)} \not \equiv 1 \bmod p^{k+1}$, ce qui est évidemment le cas pour $k$ suffisamment grand.

Question : comment comprendre pour un $p$ fixé le groupe de tous les caractères de Dirichlet $\bmod\, p^k, k \ge 1$ ? (où l'élément neutre c'est le caractère principal $1_{\gcd(n,p) = 1}$)



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par reuns.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
avatar
Bonjour,

juste un passage furtif car je ne comprends pas grand chose à ce que vous écrivez, cette histoire de plongement a cependant retenu mon attention...

J'ai lu la question posée par Claude et mis un bon moment à détailler la réponse de Gai Requin : voici ma synthèse.

Bonne continuation

Jean-éric
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - prolongement.pdf (40.6 KB)
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
jean-éric,
Salut à toi et merci. Ca va ? Si tu t'ennuies, tu peux pas nous TeXer (quelle horreur ce verbe) les autres posts ? Je plaisante of course. Mais peut-être que ce qui vient peut t'intéresser ?

Gai-requin (et jean-éric, tu peux plus te barrer maintenant).
Qui dit caractère de Dirichlet dit groupe multiplicatif $(\Z/m\Z)^\times$, n'est ce pas ? Je te (=vous) propose d'étudier la structure du quotient :
$$
{(\Z/m\Z)^\times \over {(\Z/m\Z)^\times}^2 }
$$
Au dénominateur, c'est le sous-groupe des carrés que je n'ai pas envie d'écrire $((\Z/m\Z)^\times)^2$, because le magma de parenthèses.

Cela se fait en décomposant en produit de premiers et en pestant sur le nombre premier $2$.

Et une fois que l'on a la structure du groupe quotient, on a son cardinal, n'est ce pas ? Et on explique ainsi le deuxième item de [www.les-mathematiques.net]
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
avatar
Re Claude,

J'ai lu un truc (dans le Ribenboim) concernant ce dont tu parles : les caractères dit quadratiques (d'ordre 2) d'un groupe $G$ peuvent s'identifier aux caractères de $G/G^2$.

C'est page 468 c'est joli tout plein mais là pas trop le temps de jouer aux caractères faute de temps.

Je continue à lire et à essayer de comprendre un post de temps en temps.

@ bientôt.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@Reuns
Moi aussi, j'apprends quelque chose. Je n'avais pas fait gaffe. Ou j'avais oublié. Effectivement, la projection n'a pas de section. Prenons $k=2$ et considérons la surjection canonique :
$$
\pi : (\Z/p^3\Z)^ \times \twoheadrightarrow (\Z/p^2\Z)^ \times
$$
Eh bien, elle n'admet pas de section. Faut le justifier. Le noyau est d'ordre $\varphi(p^3)/\varphi(p^2) = p$ et est engendré par $1 + p^2$. Faut juste voir que $\langle 1 + p^2\rangle$ ne possède pas ``de complément'' dans $(\Z/p^3\Z)^ \times$. L'apparente vacherie c'est que l'on a un produit direct :
$$
(\Z/p^3\Z)^ \times = H . \langle 1+p^2\rangle \qquad \hbox {où $H$ est l'image de $(\Z/p^2\Z)^ \times$ par l'élévation à la puissance $p$}
$$
Je réfléchis (à un argument pour le fait que $\langle 1 + p^2\rangle$ ne dispose pas de complément).
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Hello,
Suite de mon post précédent. J'ai un argument pour voir que $\langle 1 + p^2\rangle$ n'admet pas de complément dans $(\Z/p^3\Z)^\times$ mais il faut que je laisse les jeunes travailler. Indications : d'une part $(\Z/p^3\Z)^\times$ est cyclique donc des compléments, il n'y en a pas 36 possible(s) (rigidité des groupes cycliques) et d'autre part, c'est écrit quelque part (oui mais) que $x^p \equiv 1 \bmod p^3$, cela entraîne $x \equiv 1 \bmod p^2$.

jean-éric : il y a une coquille à la dernière ligne de ton plongement.pdf. Tu as écrit : si $x^p = 1 \bmod p^{k+1}$, alors $x^p = 1 \bmod p^k$. Mais c'est évidemment PAS cela qu'il faut écrire. Peux tu modifier ? Merci (j'ai peur d'une descente de police).
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Hello,
La tête dans le guidon. Je parle de moi. Prenons du recul (suite aux deux posts précédents). Soit une surjection :
$$
\pi : G_1 \twoheadrightarrow G_2, \qquad \hbox {$G_1$ cyclique d'ordre $N_1$, $G_2$ cyclique d'ordre $N_2$}
$$
Si $N_1/N_2$ et $N_2$ ne sont PAS premiers entre eux, alors $\pi$ n'admet PAS de section. C'est le truc à prouver.

Exemple : $k \ge 2$, $G_1 = (\Z/p^{k+1}\Z)^\times$ d'ordre $N_1 = p^k (p-1)$, $G_2 = (\Z/p^{k}\Z)^\times$ d'ordre $N_2 = p^{k-1}(p -1)$, $N_1/N_2 = p$.


@gai requin
Autre chose. Je pense à la vie du forum. Tu te souviens que tu as ouvert ce fil pour ne pas empiéter sur celui de tatal qui avait posté une question sur les groupes de Galois cycliques et la résolubilité par radicaux. Et ensuite, on l'a peu vu en Algèbre (talal). Mais dans d'autres rubriques. Oui et alors ? Non, juste comme cela, c'est que la vie du forum, c'est important, non ?
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Pour la question de Claude [là],si on ne recherche que le cardinal, il suffit de trouver $$\#\{x\in (\Z/m\Z)^\times;x^2=1\bmod m\}.$$
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@gai requin
Oui, on peut se contenter du cardinal. Sauf que je préfère le cardinal du QUOTIENT. Décomposons $m$ en produits de premiers. Pour te montrer ma bonne volonté, je prends en charge TOUS les premiers impairs et je te laisse juste le premier $2$ (s'il y est). En ce qui concerne ma participation, je trouve comme contribution $2^h$ où $h$ est le nombre de premiers IMPAIRS divisant $m$.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Soit $r$ la valuation $2$-adique de $m$.
Si $r\leq1$, pas de contribution.
La contribution vaut $2$ si $r=2$ et $4$ dès que $r\geq 3$.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@gai requin
Et le rapport avec les caractères réels sur $(\Z/m\Z)^\times$ ?
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
avatar
Re, je ne regarde que ce que je comprends... le fameux cardinal des carrés des inversibles de $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$

et donc j'ai tout compris on utilise la décomposition de $m$ en produit de facteurs premiers $m=2^{n_2}\times 3^{n_3}\times \cdots \times p_k^{n_{p_k}}$ et aussi que $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times $ soit isomorphe à $(\mathbb{Z}/2^{n_2}\mathbb{Z})^\times \times \cdots\times \ (\mathbb{Z}/p_k^{n_k}\mathbb{Z})^\times$.

Alors le cardinal de ce qui est demandé dépend de $n_2$ : si $n_2=0$ c'est bien $2^k$ ce que Claude appelle sa contribution qui s'écrivent $(\pm 1, \dots,\ \pm 1)$.

Après je ne comprends pas d'où Gai Requin sort son $r=2$ et $4$ mais je dois confondre des trucs.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par jean-éric.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@Claude : Je vois que tu connais bien mes points faibles. winking smiley

Je dirais que si on prend ton $h$ et mon exposant $c(r)$ qui vaut $0,1$ ou $2$, le nombre de tels caractères devrait ressembler à $2^{h+c(r)}$.
L'idée serait de factoriser un caractère $\chi$ via $G/G^2$, où $G=(\Z/m\Z)^\times$.

Note bien l'usage sans parcimonie du conditionnel...smoking smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par gai requin.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@gai requin
C'est tout bon. Un caractère réel $\chi$ sur $G$ est à valeurs dans $\mathbb U_2 = \{ \pm 1 \}$ et donc c'est pareil qu'un caractère sur $G/G^2$. De plus, on a un isomorphisme NON canonique :
$$
\text{Hom}(G/G^2, \{\pm 1\}) \simeq G/G^2
$$
Du même tonneau que le dual en dimension finie : $E^* \simeq E$ pour un espace vectoriel $E$ sur un corps commutatif, ici $\mathbb F_2$.

D'où le coup d'étudier $G/G^2$ pour $G = (\Z/m\Z)^\times$. Autant de caractères réels sur $G$ que d'éléments dans $G/G^2$.

Et en relisant le deuxième item du post de noix de totos, tu dois trouver pareil. Note : $\omega(m)$ c'est le nombre de diviseurs premiers de $m$ et je crois me souvenir que dans son post, $m$ c'était $q$.

OK ? (que tu trouves pareil, si tout va bien). Autre mission : retrouver l'auteur de la phrase ``vous êtes bien au-dessus de mon seuil d'incompétence''.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Bonjour Claude,

J'ai vérifié qu'on retrouve bien les mêmes résultats sur les caractères réels que noix de toto. Ouf !

@jean-éric : pour la contribution du facteur $2$ quand $m$ est pair, j'ai cherché le nombre de solutions de l'équation $$x^2=1\bmod 2^r$$ en fonction de $r$.

Et au fait, tu n'as toujours pas modifié la petite coquille à la fin de prolongement.pdf. winking smiley
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@gai requin
Et donc ce n'était pas si compliqué que cela cette histoire de $2^{\rm truc}$ caractères réels.

Suite/reprise de l'histoire.
Soient $p_1, \ldots, p_k$ $k$ premiers distincts vérifiant $p_i \equiv 1 \bmod 3$ et $f = p_1\cdots p_k$. On sait qu'il y a exactement $2^k$ caractères PRIMITIFS CUBIQUES sur $(\Z/f\Z)^\times$ et qu'ils vont deux par deux via $\chi \leftrightarrow \chi^{-1}$. Ce qui nous fait $2^{k-1}$ paires.

A un tel caractère cubique $\chi$, on va associer explicitement un polynôme de degré $3$ qui encode l'extension cyclique cubique $\Q(\root f \of 1)^{\ker \chi}$. Il s'agit du polynôme :
$$
F_\chi(X) = X^3 - fX + fu, \qquad u = u_\chi
$$
où $\fbox {$u_\chi = \displaystyle {y \over 3}$} $ est construit à partir de la somme de Jacobi de $\chi$ de la manière suivante :
$$
z = -J(\chi,\chi) = x + jy \in \Z[j] \quad \hbox {qui vérifie} \quad f = z\overline z = x^2 - xy + y^2, \qquad u_\chi = {y \over 3}
$$
Détails : $z$ vérifie dans $\Z[j]$ la congruence de normalisation $z \equiv -\mu(f) \bmod 3$ (où $\mu$ est la fonction de Moebius) et donc $y$ est divisible par 3 assurant que la définition de $u = u_\chi$ est licite. On a même, en posant $t = 2x-y$, l'égalité ultra-classique $4f = t^2 + 27u^2$, chère à Gauss.

Il y a d'autres précisions à ajouter mais je n'insiste pas pour l'instant. Je veux juste appuyer sur le côté explicite de la chose. On notera que ``les $u$'' fournis par $\chi$ et $\overline \chi = \chi^{-1}$ sont opposés i.e. $u_{\chi^{-1}} = -u_\chi$. En effet :
$$
J(\chi, \chi) = \sum_{x \in (\Z/f\Z)^\times} \chi(x)\chi(1-x), \qquad \hbox {donc} \qquad
\overline {J(\chi,\chi)} = J(\overline\chi, \overline\chi) \qquad
\overline {x + jy} = x + j^2 y = x-y + j \times (-y)
$$
Et les polynômes $F_\chi$ et $F_{\chi^{-1}}$ fournissent la même extension cubique puisque :
$$
F_{\chi^{-1}}(X) = -F_{\chi}(-X)
$$
Une fois ceci explicité, l'implémentation est un jeu d'enfants

ConductorFactorisation := function(chi)
  // chi est un caractère cubique primitif.
  // Retourne z = -J(chi,chi) in Z[j]
  // z vérifie z * conjugate(z) = f où f est le conducteur de chi
  assert Order(chi) eq 3 and IsPrimitive(chi) ;
  f := Conductor(chi) ;
  // ci-dessous : long
  J := &+[chi(x)*chi(1-x) : x in [1..f-1] | Gcd(x,f) eq 1] ;
  z := Zj!(-J) ;
  // z = -MoebiusMu(f) modulo 3
  assert IsDivisibleBy(z + MoebiusMu(f), 3) ;
  x := Z!(z[1]) ;  y := Z!(z[2]) ;
  assert z eq x + j*y ;
  assert (x + MoebiusMu(f)) mod 3 eq 0   and    y mod 3 eq 0 ;
  assert f eq x^2 - x*y + y^2 ;
  t := 2*x-y ;  u := ExactQuotient(y,3) ;
  assert 4*f eq t^2 + 27*u^2 ;
  return z, t,u ;
end function ;

Le polynôme $F_\chi$ associé à $\chi$ :

CubicPolynomial := function(chi)
  f := Conductor(chi) ;
  z, t,u := ConductorFactorisation(chi) ;
  F := X^3 - f*X + f*u ;
  assert Discriminant(F) eq (f*t)^2 ;
  return F ;
end function ;

J'en profite pour rappeler à gai-requin le coup de la rosace qui suit. Ou l'on voit que factorisations de $p$ dans $\Z[j]$, caractères cubiques modulo $p$ et racines de l'unité dans $\mathbb F_p$, même combat (lorsque $p \equiv 1 \bmod 3$). C''est encore vrai pour $f$ produit de premiers distincts.

Gai-requin : dans mon CubicGaussSum.tex, si on remplace un peu près partout $p$ par $f$ (pas n'importe comment quand même), ça le fait !


Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
jean-éric

1) Cf mon post [www.les-mathematiques.net] où je dis, par rapport à la dernière ligne de ton pdf, que j'ai peur d'une descente de police.

2) Tu as posé une question en [www.les-mathematiques.net] concernant la contribution du premier 2 dans le dénombrement de $(\Z/m\Z)^\times / (\Z/m\Z)^{\times 2}$. Et gai-requin t'a répondu en [www.les-mathematiques.net]

Et on voit que lui aussi s'inquiète d'une descente de police.

Variante pour la contribution du facteur $2$ quand $r \ge 3$, $r$ étant la valuation de $2$ dans $m$. J'utilise :
$$
(\Z/2^r\Z)^\times \simeq C_2 \times C_{2^{r-2}}, \qquad\qquad
{(\Z/2^r\Z)^\times \over (\Z/2^r\Z)^{\times2}} \simeq {C_2 \times C_{2^{r-2}} \over C_2^2 \times C_{2^{r-2}}^2} \simeq C_2 \times C_2
$$
ce qui colle (en cardinal) avec le 4 de gai-requin.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Sacrée construction ! thumbs down

Et donc on doit avoir, en notant $K$ le corps des racines de $F_{\chi}$ (corps de rupture suffit, cf le discriminant de $F_\chi$) :
1) $\text{Disc}(\mathcal O_K) = f^2$ (ce discriminant doit pouvoir se calculer directement).
2) $K=\Q(\root f \of 1)^{\ker \chi}$ (doit pouvoir se justifier par correspondance galoisienne).
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@gai requin
Evidemment, ce n'était pas prévu. Mais maintenant, il reste à faire TOUTES les preuves. Car je suis loin d'avoir tout montré. J'ai par contre solidement expérimenté (à un point qu'il est peut-être difficile d'imaginer : tirage au hasard de $k$ puis de $k$ entiers premiers vérifiant ..etc..).

Ceci veut dire qu'il faut maintenant mettre sur le devant de la scène les sommes de Gauss et Jacobi sur $(\Z/f\Z)^\times$ et pas seulement sur les corps finis. Je n'en connais évidemment pas toutes les propriétés. J'ai été surpris par :
$$
-J(\chi, \chi) \equiv -\mu(f) \bmod 3 \quad \hbox {dans $\Z[j]$}
$$
Pas par le signe $-$ devant $J$, mais par le coup de $-\mu(f)$ qui autrefois valait $- (-1) = 1$ quand $f$ est réduit à un seul $p$. La vraie vérité sur cette histoire serait donc :
$$
J(\chi,\chi) \equiv \mu(f) \bmod 3
$$
Et quand les gens rouspètent que l'on a fait le mauvais choix de $J$ versus $-J$, c'est de la faute à personne si $\mu(p) = -1$.

Autre chose. Je viens de découvrir, de manière expérimentale, des propriétés de multiplicativité des sommes de Jacobi :
$$
J(\chi,\chi) = \prod_{i=1}^k J(\chi_i, \chi_i)
$$
où les $\chi_i$ sont les ``composantes'' de $\chi$ sur $\mathbb F_{p_i}^*$. J'ai intégré cette relation (pas encore prouvée) dans le moteur et je peux t'assurer que maintenant, le calcul des sommes de Jacobi, cela carbure.


Et je dis OUI aux deux points de ton (dernier) post. Grosso modo, je dis que l'on peut TOUT expliciter. Par exemple, le polynôme $F_\chi$ est le polynôme minimal de $s_1-s_0$ où $(s_0, s_1, s_2)$ sont les 3 périodes de Gauss, cf la proposition 2 page 3 de mon CubicGauss, établie seulement dans le cas $f = p$.

Et bien sûr, on retrouve $\chi, \chi^{-1}$ dans la fonction zeta de $K = \Q(\root f \of 1)^{\ker\chi}$.

Et donc, il reste vachement de boulot ! Reprendre CubicGaussSum.tex de A à Z, en remplaçant $p$ par $f$. Tout en louchant sur le petit papier de Conrad [www.math.uconn.edu] qui lui aussi est en terrain $\Q(\root p \of 1)$ pour $p \equiv 1 \bmod 3$.

Dans ces deux pdf (celui de K. Conrad et le mien), il y a des calculs sordides, j'en conviens. Mais on n'a rien sans rien.

Si tu as moins peur des caractères qu'avant (il y a quelques jours), je trouve que c'est l'occasion d'en remettre une couche concernant les caractères sur les anneaux $\Z/m\Z$ (et leurs sommes de Gauss, de Jacobi, les périodes ...etc..).


Autre chose : je suis tombé sur [people.math.carleton.ca]. Et je vois qu'en section 5, les auteurs disent que Cohen possède une paramétrisation des corps cycliques cubiques. Ce qui prouve encore une fois qu'on ne lit pas car j'ai le Cohen depuis 15 ans ou plus (je ne sais plus) et je l'ignorais. Ce n'est PAS la paramétrisation de mon post précédent. Je ne sais pas si tu disposes du Cohen (A Course in Computational Algebraic Number Theory) mais tu verras, section 6.4.6, que là aussi, il y a des choses assez ``sordides''. Ce n'est pas dû à Cohen ! Mais à la chose cubique cyclique.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
C'est sûr qu'avec tous ces ingrédients, va falloir faire mijoter un certain temps !

Je pense qu'il faut commencer par :

Lemme 1 : $J(\chi,\chi) = \prod\limits_{i=1}^k J(\chi_i, \chi_i)=\mu(f)\bmod 3$.

On sent le structurel à plein nez. Je connais un spécialiste. winking smiley
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@gai requin
C'est plutôt une bonne chose d'avoir des trucs à faire, non ? Tu vas me dire que je n'ai pas du tout répondu à ta question initiale : comment plonger une extension cyclique de $\Q$ dans une extension cyclotomique. C'est pas faux. Mais dans le cas (modeste) cubique, avant de plonger ..., j'ai d'abord voulu savoir où je plonge. Probablement que je plongerais jamais mais au moins j'aurais vu le plongeoir et ce qu'il y a en dessous.

Pour te convaincre que c'est du CONCRET et que ça tourne (je suis pas trop du genre yaka-fokon), voici une trace d'exécution. Je tire $k$ au hasard entre 1 et 4, puis $k$ premiers parmi .. Et je réalise les choses de la vie.

> AdHocPrimes ;
[ 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97 ]
> k := Random(1,4) ;
> P := Tirer(k) ;
> P ;
[ 61, 79, 97 ]
> f := &*P[1..k] ;
> f ;
467443
> G := DirichletGroup(f, Qj, j, 3) ;
> assert #G eq 3^k ;
> 
> Chi := [chi : chi in Elements(G) | Conductor(chi) eq f] ;
> assert #Chi eq 2^k ;
> 
> chi := Random(Chi) ;
> time z, t,u := ConductorFactorisation(chi) ;
Time: 0.010
> Qj!z ;
-639*j + 82
> assert ConductorFactorisation(chi^-1) eq Conjugaison(z) ;
> 
> F := CubicPolynomial(chi) ;
> F ;
X^3 - 467443*X - 99565359
> G := CubicPolynomial(chi^-1) ;
> G ;
X^3 - 467443*X + 99565359
> assert G eq -Evaluate(F,-X) ;
> 
> K := NumberField(F) ;
> assert Discriminant(MaximalOrder(K)) eq f^2 ;
> 
> // L-séries et tutti-quanti
> precision := 2*10^2 ;
> AssertAttribute(PSR, "Precision", precision) ;
> 
> ZetaK := LSeries(K) ;
> assert Conductor(ZetaK) eq f^2 ;
> SK<q> := FormalSeries(ZetaK, precision) ;
> SK ;
q + 3*q^3 + q^8 + 6*q^9 + 3*q^11 + 3*q^17 + 3*q^23 + 3*q^24 + 10*q^27 + 3*q^29 + 3*q^31 + 9*q^33 + 3*q^37 + 9*q^51 + 
    q^61 + q^64 + 9*q^69 + 3*q^71 + 6*q^72 + 3*q^73 + q^79 + 15*q^81 + 9*q^87 + 3*q^88 + 3*q^89 + 9*q^93 + q^97 + 
    18*q^99 + 3*q^107 + 9*q^111 + 3*q^113 + 6*q^121 + q^125 + 3*q^127 + 3*q^131 + 3*q^136 + 3*q^137 + 3*q^151 + 18*q^153
    + 3*q^167 + 3*q^173 + 3*q^179 + 3*q^183 + 3*q^184 + 9*q^187 + 3*q^192 + 3*q^193 + 3*q^197 + 3*q^199
> L := LSeries(chi) * LSeries(chi^-1) * RiemannZeta() ;
> S := FormalSeries(L, precision) ;
> assert S eq SK ;
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
J'ai ressorti Gauss Sums de Lang (chap IV, section 3, 14 pages, qui bosse sur $\Z/m\Z$) que j'avais tiré un jour pour lire en détails. Et qu'évidemment, je n'ai pas fait. Il faut mixer le fait de trouver des petits trucs tout seul (histoire de ne pas subir tout le temps) et le fait d'aller lire les informations au bon endroit (ce qui n'est pas toujours facile).
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@gai requin
Trois indéterminées $S_0, S_1, S_2$ et une identité :
$$
\left| \matrix {
S_0 & S_1 & S_2\cr
S_2 & S_0& S_1\cr
S_1 & S_2 & S_0\cr} \right| =
(S_0 + S_1 + S_2) (S_0 + jS_1 + j^2 S_2) (S_0 + j^2 S_1 + jS_2)
$$
Comme c'est une identité, par ``principe'', ce n'est pas ``difficile'' à montrer. Attention cependant à l'organisation circulante de cette matrice, cf note à la fin.

A partir de cela (et d'autres bricoles), on arrive à prouver, dans le contexte cubique de ces derniers jours, que $\text{Disc}(s_0, s_1, s_2) = f^2$ où $(s_0, s_1, s_2)$ est la $\Z$-base des périodes de Gauss de $\mathcal O_K$, cf le point 1) de ton post ce matin.

Et la preuve est bien plus simple (et plus générale) que la preuve de K. Conrad page 3 de [www.math.uconn.edu] (qui opère sur la matrice tracique)

Mais je me dis que peut-être tu es perdu ??


Matrices circulantes : attention au pata-caisse de la circulation. La circulation doit être réalisée dans un CERTAIN sens si on veut éviter des problèmes de signe. C'est un souci ``bien connu'' quand on s'y frotte. Et attention également aux choix des anciens (Catalan, Cremona, Spottiswoode), cf page 3 de Origin of Representation Theory de K. Conrad in [www.math.uconn.edu]. C'est sur la matrice circulante fournie par Conrad que je m'aligne (en l'ayant contrôlée).
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
J'ai regardé ce chapitre de Lang et aussi ce que racontent les monumentaux Ireland, Kenneth & Rosen.
Il y a vraiment beaucoup de choses chez ces derniers et notamment des lois de réciprocités cubique et biquadratique !
Mais les caractères étudiés sont toujours sur $\mathbb F_p$ et, dans ce contexte, on a beaucoup de résultats sous le coude pour les sommes de Jacobi.

Mais nous, même pas peur, on étudie des caractères sur $\Z/f\Z$ !
Peut-être qu'on peut s'en sortir en invoquant $$\chi = \chi_1^{a_1} \cdots \chi_k^{a_k} \qquad a_i \in \{\pm 1\}.$$

N.B. : Pour tout $i$, $a_i\neq 0$ quand $\chi$ a le bon goût d'être primitif.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@Claude :
J'ai un peu révisé le discriminant d'un corps de nombres.
D'après ton post précédent, je pense qu'il reste à montrer que $$(s_0 + s_1 + s_2) (s_0 + js_1 + j^2 s_2) (s_0 + j^2 s_1 + js_2)=f.$$
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@gai requin
BINGO (modulo petit signe mais pas grave). Rappel quand même du contexte : on est PARTI d'un caractère cubique primitif $\chi$ sur $(\Z/f\Z)^\times$. Ce caractère a défini 3 PERIODES de Gauss :
$$
s_0 = \sum_{\chi(x) = j^0} \zeta_f^x, \qquad s_1 = \sum_{\chi(x) = j^1} \zeta_f^x, \qquad s_2 = \sum_{\chi(x) = j^2} \zeta_f^x \qquad\quad
\hbox {étant entendu que $x$ est dans $(\Z/f\Z)^\times$}
$$
Et ce caractère $\chi$ a également défini 3 SOMMES de Gauss $G(\chi^k)$ pour $k = 0, 1, 2$. Et ce que tu as écrit est exactement :
$$
G(\chi^0) G(\chi) G(\chi^{-1}) = G(\chi^0) G(\chi) G(\overline {\chi})
$$
Je te laisse trouver la chute :

a) $G(\chi^0)$ est la somme sur toutes les racines primitives de l'unité d'ordre $f$ est vaut donc : à toi

b) $G(\chi) G(\overline {\chi})$ figure quelque part comme théorème (qui s'applique car $\chi$ est primitif) dans RingGaussSum et vaut : à toi
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
avatar
Bonsoir à tous les deux,

j'ai bien pris note de mon erreur (merci !) mais là je suis surbooké pour même rectifier.

Jean-éric
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
On a montré quelque part que $$G(\chi^0)=\mu(f).$$ On a aussi $$G(\chi) G(\overline {\chi})=\chi(-1)\times f=f.$$ Donc $$(s_0 + s_1 + s_2) (s_0 + js_1 + j^2 s_2) (s_0 + j^2 s_1 + js_2)=\mu(f)\times f.$$ Et finalement, $$\text{Disc}(s_0, s_1, s_2) = f^2.$$ Et on est bon pour le conducteur ! thumbs down
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@gai requin
YES. Et maintenant, on se fait l'identité circulante et même plus. Ici $S_0, S_1, S_2$ sont n'importe quoi. Je colle un PREMIER vecteur propre
$$
\pmatrix {
S_0 & S_1 & S_2\cr
S_2 & S_0& S_1\cr
S_1 & S_2 & S_0\cr}
\pmatrix {1\cr 1 \cr 1\cr } = (S_0 + S_1 + S_2) \pmatrix {1\cr 1 \cr 1\cr }
$$
A toi de jouer
$$
\pmatrix {
S_0 & S_1 & S_2\cr
S_2 & S_0& S_1\cr
S_1 & S_2 & S_0\cr}
\pmatrix {1\cr j \cr j^2 \cr } = ? \times \pmatrix {1\cr j \cr j^2\cr }
\qquad\qquad
\pmatrix {
S_0 & S_1 & S_2\cr
S_2 & S_0& S_1\cr
S_1 & S_2 & S_0\cr}
\pmatrix {1\cr j^2 \cr j\cr } = ? \times \pmatrix {1\cr j^2 \cr j\cr }
$$
Je note $C$ la matrice circulante. Et les 3 égalités vectorielles ci-dessus, on les met côte à côte pour obtenir une égalité entre matrices $3 \times 3$ :
$$
C \times V = V \times D \qquad\quad (\heartsuit)
$$
La lettre $D$ car il s'agit d'une matrice diagonale. Et $V$ car cela sent Vandermonde (ou sa transposée).

De quoi je cause ? Surtout qui est $D$ ? Et si je prends le déterminant dans $(\heartsuit)$, cela donne quoi ?


PS : faut comprendre que certains résultats montrés dans le cadre cubique $n=3$ vont se généraliser sans aucun problème pour $n$ quelconque.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Bonjour Claude,

Peu de calculs en fait. thumbs down

Je trouve $$V=\rm{Vand}(1,j,j^2)\text{ et }D=\rm{Diag}(S_0+S_1+S_2,S_0+jS_1+j^2S_2,S_0+j^2S_1+jS_2)$$donc $$\det C=(S_0+S_1+S_2)(S_0+jS_1+j^2S_2)(S_0+j^2S_1+jS_2).$$
Une généralisation a l'air possible en remplaçant $j$ par $\zeta_n$...
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
@gai requin
J'espère que tu maintiens des notes sur un brouillon. Ca va durer un certain temps. Sommes de Jacobi : c'est réglé (et évident via recul structurel). Je vais te présenter plus tard un topo sur les périodes de Gauss générales (terrain galoisien quelconque). Mais pour l'instant deux mots sur les matrices circulantes. Plusieurs modèles :
$$
x_{(i+j)\ \bmod\ n}, \qquad\qquad x_{(j-i)\ \bmod\ n}, \qquad\qquad x_{(i-j)\ \bmod\ n}
$$
Hier pour pouvoir échanger et s'aligner sur K. Conrad, j'ai utilisé le modèle du milieu. Le modèle symétrique (gauche) : pouah car introduit un signe $(-1)^{(n-1)(n-2) \over 2}$. J'ai une préférence pour le modèle de droite ``en colonnes'' (mes habitudes à la française, cocorico). C'est la transposée du modèle du milieu donc même déterminant.

> SymmetricCirculantMatrix(x) ;
[x0 x1 x2 x3 x4]
[x1 x2 x3 x4 x0]
[x2 x3 x4 x0 x1]
[x3 x4 x0 x1 x2]
[x4 x0 x1 x2 x3]
> RowCirculantMatrix(x) ;
[x0 x1 x2 x3 x4]
[x4 x0 x1 x2 x3]
[x3 x4 x0 x1 x2]
[x2 x3 x4 x0 x1]
[x1 x2 x3 x4 x0]
> ColCirculantMatrix(x) ;
[x0 x4 x3 x2 x1]
[x1 x0 x4 x3 x2]
[x2 x1 x0 x4 x3]
[x3 x2 x1 x0 x4]
[x4 x3 x2 x1 x0]

Ma préférence vient du fait qu'en désignant par $\Phi$ la matrice compagnon à la française de $X^n - 1$ i.e. la matrice du cycle $(1, \cdots, n)$, on a :
$$
C_x = x_0\Phi^0 + x_1\Phi^1 + \cdots + x_{n-1} \Phi^{n-1}
$$

> Phi := Transpose(CompanionMatrix(X^n - 1)) ;
> Phi ;
[0 0 0 0 1]
[1 0 0 0 0]
[0 1 0 0 0]
[0 0 1 0 0]
[0 0 0 1 0]
> cycle := Sym(n) ! ([2..n] cat [1]) ;
> cycle ;
(1, 2, 3, 4, 5)
> Phi eq Transpose(PermutationMatrix(A, cycle)) ;
true
> S := &+[c(i)*Phi^i : i in [0..n-1]]  where c is map < [0..n-1] -> x | i :-> x[i+1] > ;
> S ;
[x0 x4 x3 x2 x1]
[x1 x0 x4 x3 x2]
[x2 x1 x0 x4 x3]
[x3 x2 x1 x0 x4]
[x4 x3 x2 x1 x0]
> S eq ColCirculantMatrix(x) ;
true

Tu vois que les anglo-saxons (magma) m'obligent à mentionner la transposée car ils sont en lignes, alors que moi, je suis en colonnes.

$\Phi$ réalise $\Phi(e_i) = e_{i+1}$ sur la base canonique, indices modulo $n$, numérotation de $0$ à $n-1$. Chaque $\xi \in \mathbb U_n$ fournit un vecteur propre $u_\xi$ de $\Phi$ :
$$
u_\xi = e_0 + \xi^{-1} e_1 + \xi^{-2} e_2 + \cdots + \xi^{-(n-1)} e_{n-1},\qquad\qquad
\Phi(u_\xi) = \xi \ u_\xi
$$
Tu reconnais une indexation de type résolvantes de Lagrange-Hilbert.

Le coup de $u_\xi$ vecteur propre de $\Phi$ passera sans problème aux puissances de $\Phi$ donc à $C_x$ par combinaison linéaire (accorder les valeurs propres).


Et pour $\Phi$, tu obtiens, en désignant par $V$ la matrice de Vandermonde en lignes i.e. $(1, \cdots, 1)$, une égalité de type :
$$
\Phi \times V = V \times D, \qquad\qquad D = \text{Diag} (\xi, \xi \in \mathbb U_n)
$$
Et pour $C_x$ à la place de $\Phi$, pareil (accorder la matrice diagonale $D$, pas changer $V$).

Tu vas trouver que je suis un peu rigide. C'est pas faux. Mais j'aime pas me prendre un signe $(-1)^{(n-1)(n-2) \over 2}$ dans la gu.ule. Note : j'ai vu pas mal de gens, ils ne savaient même pas dans quel sens ils circulaient.
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Donc le résultat se généralise bien.

J'ai bien compris que relier caractères cubiques et extensions de degré $3$, ça ne se fait pas en un jour !
J'ai commencé un petit pdf (j'écris comme un cochon) avec notamment deux références : RingGaussSum de CQ, lemme 11 et théorème 2. winking smiley
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
$\def\OK{\mathcal O_K}\def\OL{\mathcal O_L}$@gai-requin
Là, je réponds à ton point 2) dans [www.les-mathematiques.net] où tu parles de correspondance galoisienne. Oui et non, car il faut la REVISITER. Petit topo.

1) Théorème de la base normale d'Artin. Contexte général de $L/K$ galoisienne de groupe $G$. Impact : si on dispose d'une base normale de $L/K$ pilotée par $z \in L$, la correspondance galoisienne se trouve explicitée par la théorie des périodes de Gauss i.e. pour $H \subset G$, on définit la période de Gauss :
$$
s_C = \sum_{\sigma \in C} \sigma(z), \qquad\quad \hbox {$C$ classe à DROITE de $G$ modulo $H$}
$$
On obtient ainsi une $K$-base $(s_C)$ de $L^H$, indexée par les $[G:H]$-classes à droite $C$. En un certain sens, Artin a trivialisé la théorie de Galois en au moins 3 endroits clés (SA preuve de l'indépendance des morphismes de Dedekind, le coup de base normale et bien sûr le théorème d'Artin $L^{\rm groupe\ fini}$).

Est ce que c'est écrit partout, le coup des périodes de Gauss ? Je n'en sais rien (et je m'en fous un peu car tous les gens au courant le savent). Bien sûr, Gauss n'a traité que le cas cyclotomique de niveau premier (la théorie de Galois n'existait pas encore et Artin encore moins).

Etre super-clair sur ce point 1). Sans cela, on ne peut rien faire.


2) Passage en théorie des nombres. Une extension galoisienne $L/K$ de groupe $G$ de corps de nombres. Et regard sur l'étage $\OL/\OK$. Est ce que $\OL/\OK$ possède une base normale ? NIET-1 : $\OL$ n'est même pas libre sur $\OK$ ($\OK$ n'est pas un anneau principal). On particularise à $K = \Q$, si bien que $\OL$ est libre sur $\Z$. Existence d'une base normale ? : NIET-2 $\Z[i\rbrack/\Z$ non normale.

Il est très rare que $\OL/\Z$ soit normale. Mais il y a le cas exceptionnel $L = \Q(\root N \of 1)$, $N$ SANS FACTEUR CARRE, où là, on dispose d'une base normale naturelle, à la fois $\Q$-base de $L$ mais surtout $\Z$-base de $\OL$. Je compte l'écrire (c'est le coup du ``produit tensoriel cyclotomique'' pour les enfants, j'ai pas mieux pour l'instant).

Et dans ce contexte, BINGO. Le coup des périodes de Gauss passe aux anneaux d'entiers.

Ceci est la BASE. Si on n'a pas cela avec soi, on ne peut rien faire (bis).
Re: Extensions cycliques d'un corps cyclotomique
il y a deux semaines
Voilà ce que je comprends du point 1).

D'abord, par le choix de $z$, $(s_C)$ est une famille $K$-libre à $(G:H)$ éléments.
De plus, l'espace vectoriel $E$ qu'elle engendre est de degré $[L^H:K]$ d'après Artin.
Enfin, par le choix de la droite pour les classes de $G$ modulo $H$, on a pour tout $\sigma\in H$ et pour toute classe $C$, $$\sigma(s_C)=s_C.$$ Donc $E\subset L^H$ et, pour des raisons de degré, on a bien $$E=L^H.$$
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 124 440, Messages: 1 188 305, Utilisateurs: 19 594.
Notre dernier utilisateur inscrit senpai.


Ce forum
Discussions: 14 989, Messages: 145 232.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page