Commutant de matrice triangulable (niveau PC)

Fabrice2 · November 2017

Bonjour,

D'une manière générale, sauriez-vous comment on détermine la dimension et une base du commutant d'une matrice triangulable (trigonalisable) (et non diagonalisable) avec des outils de PC ?

Merci d'avance !

Fabrice2 · November 2017

Bonjour, je reviens à la charge avec un exemple. On cherche la dimension est une base du commutant de la matrice M =
3 -1 1
1 3 1
2 0 4

Alors j'ai bien sûr pu la jordaniser, M est donc semblable à la matrice de Jordan T =
2 0 0
0 4 1
0 0 4

Sur cet exemple simple, a-t-on une astuce pour répondre à la question ?
Merci d'avance

Chaurien · November 2017

Sur l'exemple, tout se résume à trouver le commutant de la petite matrice
0 1
0 0
ce qui n'est pas difficile.
Le cas général est plus compliqué.
Bon courage.
Fr. Ch.

Chaurien · November 2017

J'ai trouvé ça, qui je pense peut t'être utile
http://www.klubprepa.fr/Site/Document/ChargementDocument.aspx?IdDocument=3653

Fabrice2 · November 2017

Une base de cette petite matrice N nilpotente d'ordre 2 serait (I, N) donc son commutant serait de dimension 2.
Au final le commutant de ma matrice M serait de dimension 1^2+2 = 3 ?

Chaurien · November 2017

Il semble que oui.
Le commutant est l'ensemble des matrices :
p 0 0
0 a b
0 0 a

Guego · November 2017

Remarque : le commutant est de dimension 3, comme l'ensemble des polynômes en $M$ (le polynôme minimal de $M$ est de degré $3$). Donc le commutant de $M$ est l'espace engendré par $(I,M,M^2)$.

Fabrice2 · November 2017

Merci bien !

Commutant de matrice triangulable (niveau PC)

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Bonjour!

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