Matrice de rang 1 et de trace nulle
bonjour , je souhaite savoir pourquoi et comment deux matrices de rang 1 et de trace nulle sont semblables . dans l'énoncé de l'exo il y a marqué en déduire ! ça a beau etre une déduction ça me saute pas vraiment au yeux ! je sais que deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le meme endomorphisme dans des bases différentes , mais j'ai pas reussi a trouver un rapport avec l'énoncé , auriez vous une idée a me proposer ?? merci d'avance
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Réponses
Quelle est ta réponse à la question 8 ? Si ça se trouve, la matrice que tu trouves dans cette question ne dépend pas de $A$, du moins si sa trace est nulle. Ça ne te permettrait pas de répondre à la question ?
Au fait, quelle est la trace d'une matrice de la forme $U\,{}^tV$ ?
Tu as apparemment constaté que $f(V)=W$, or $f$ est de rang 1, donc l'image de $f$ est $\mathbb{K} W$. Cela devrait déjà simplifier ta matrice.
Si on suppose de plus que la trace de $A$ est nulle, on peut calculer $c_{n-1}$. Ensuite, il faut voir comment modifier la base pour faire en sorte que $c_1=\cdots=c_{n-2}=0$ (indice : remplacer $E_j$ par $E_j-d_jV$ pour $d_j$ à déterminer). Alors, c'est gagné parce que la matrice ne dépend plus de $A$.
[Pense à te relire avant d'envoyer. Cela te permettra de corriger les coquilles/fautes qui gênent la lecture.
Enfin, n'oublie pas que toutes les phrases commencent par une majuscule. AD]
Je note $A^{\mathbf{T}}$ la matrice transposée d'une matrice $A\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ (notation normalisée en vigueur).
Soit $n\geq 2$. On voit sans mal qu'une matrice $A\in \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{K})= \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$, de rang $1$, est de la forme $A=XY^{\mathbf{T}}$, avec $X\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb K)= \mathbb{K}^{n}$, $Y\in \mathcal{M}_{n,1}(K) = \mathbb{K}^{n}$, $X\neq 0$, $Y\neq 0$.
Soit alors $\mu =Y^{\mathbf{T}}X\in \mathcal{M}_{1,1}(\mathbb{K})=\mathbb{K}$. On a : $A^{2}=\mu A$.
- Si $\mu \neq 0$, alors la matrice $A$ est diagonalisable, semblable à $Diag(\mu ,0,...0)$, de trace non nulle.
- Si $\mu =0$, alors $A^2=0$, et la matrice $A$ est semblable à : $\left[
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0%
\end{array}%
\right] $, de trace nulle.
Épicétou.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
D'abord, mieux vaudrait donner l'énoncé en entier, on y verrait plus clair.
J'ai dit ce qu'il y a à dire sur les matrices carrées de rang 1, de la façon la plus simple. Accessoirement, je démontre que les matrices carrées de rang 1 et de trace nulle sont toutes semblables.
Maintenant si l'auteur de l'énoncé prend plaisir à compliquer inutilement, je ne saurais le suivre.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
C'est chouette les maths, on en apprend tous les jours.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
[small]Il avait la tête chenue
et le cœur ingénu[/small]
[Ajout du lien. :-) AD]
1°) Si $f(y) \neq 0$ alors il existe $\lambda \in K\backslash \{0\}$ tel que $f(y)=\lambda y$ (car l'image de $f$ est de dimension $1$) et comme alors $\ker(f) \cap Ky=\{0\}$ et $dim \left( \ker (f)\right)$ est de dimension $1=n-dim\left (\text{im} (f) \right)$ (d'après le théorème du rang), si on considère une base $(e_2,...,e_n)$ de $\ker (f)$ et qu'on pose $e_1:=y$, la famille $(e_i)_{1\leq i \leq n}$ est alors une base de $V$ dans laquelle la matrice de $f$ est $$\begin{pmatrix}
\lambda & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix} \tag{i}$$
Remarquer que $\lambda =\text{trace}(f)$.
2°) Si $f(y)=0$, alors soit $x\in V$ tel que $f(x)=y$ (rappelons que $y$ est dans l'image de $f$). Comme au 1°) ci-dessus, $\ker (f)$ est un supplémentaire de $Kx$. On pose $e_1:=x$, $e_2:=y \in \ker (f)$ et on complète $e_2$ en une base $e_3,...,e_n$ de $\ker (f)$, de sorte que $(e_1,...,e_n)$ est une base de $V$ dans laquelle la matrice de $f$ s'écrit $$\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots& \vdots & \ddots & \ddots &\vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix} \tag{ii}$$
Les points (i) et (ii) ci-dessus fournissent en fait une classification complète des classes de similitude des matrices de rang 1.
On peut en déduire plusieurs choses (pour des applications linéaires mais les énoncés analogues pour les matrices s'en déduisent immédiatement):
3°) le fait que pour tout endomorphisme $g$ linéaire de rang 1, on a $g^2=trace(g) \times g$
4°) le fait que deux endomorphismes de rang 1 sont semblables si et seulement si ils ont même trace.