Matrice compagnon - diagonalisation
Bonjour,
J'ai dû mal à comprendre le raisonnement qui consiste à montrer qu'une matrice compagnon est diagonalisable sur C.
Soit $P(X) = 1 + 2X + 3X^2 + 2X^3 + X^4$ le polynôme associé à une matrice compagnon.
$P'(X) = 2 + 6X + 6X^2 + 4X^3$
En premier lieu, on effectue une division euclidienne de P(X) par P'(X), on trouve que $X^2 + X + 1$ est le pgcd de P et P', noté R.
Ensuite on remarque que $X^2 + X + 1$ est différent de $1$ donc que P est différent de R. C'est plus précisément l'utilité de cette étape que je ne comprends pas.
Pour finir, on constate que R(A) est différent de 0 donc que ce n'est pas diagonalisable, mais à quoi sert l'étape du dessus ?
Merci!
J'ai dû mal à comprendre le raisonnement qui consiste à montrer qu'une matrice compagnon est diagonalisable sur C.
Soit $P(X) = 1 + 2X + 3X^2 + 2X^3 + X^4$ le polynôme associé à une matrice compagnon.
$P'(X) = 2 + 6X + 6X^2 + 4X^3$
En premier lieu, on effectue une division euclidienne de P(X) par P'(X), on trouve que $X^2 + X + 1$ est le pgcd de P et P', noté R.
Ensuite on remarque que $X^2 + X + 1$ est différent de $1$ donc que P est différent de R. C'est plus précisément l'utilité de cette étape que je ne comprends pas.
Pour finir, on constate que R(A) est différent de 0 donc que ce n'est pas diagonalisable, mais à quoi sert l'étape du dessus ?
Merci!
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Réponses
Reprenons dans l'ordre. On part d'un polynôme unitaire $P$, et on lui associe sa matrice compagne $A$. On sait que le polynôme caractéristique de cette matrice compagne est $P$.
On sait aussi qu'une matrice est diagonalisable sur $\C$ si et seulement si elle est annulée par la partie sans facteur carré de son polynôme caractéristique (et si on ne le sait pas, on le démontre). Je rappelle que si $P=\prod_{i=1}^r (X-\lambda_i)^\alpha_i$ où les $\lambda_i$ sont distincts et les $\alpha_i$ des entiers $>0$, la partie sans facteur carré de $P$ est $P=\prod_{i=1}^r (X-\lambda_i)$
La partie sans facteur carré de $P$, c'est $P$ divisé par le pgcd de $P$ et $P'$.
Donc : la matrice $A$ compagne de $P$ est diagonalisable sur $C$ si et seulement si elle est annulée par le quotient de $P$ par le pgcd de $P$ et $P'$.
J'aurais une autre question.
On a donc $R(X) = X^2 + X + 1 = ( X - \alpha) (X- \beta)$
$ \delta = (i + \sqrt3)^2$
$ \alpha = (-1 - i \sqrt3) / 2 $ et $ \beta = (-1 + i \sqrt3) / 2 $
Ce que je ne comprends pas, c'est qu'on dit que $ R(A) = (A - j I_4 ) ( A- j^2 I_4) $
D'où viennent les $ j I_4 $ et $j^2 I_4 $ ?
Merci.
Est-ce une coïncidence que le PGCD de P et P' soit égal à R(X) ?
Une autre chose incompréhensible dans ce que tu écris : le fait que le pgcd de $P$ et $P'$ n'annule pas $A$ n'est en rien un argument pour montrer que $A$ n'est pas diagonalisable ! Par contre, le fait que le quotient de $P$ par le pgcd de $P$ et $P'$ n'annule pas $A$ entraîne bien que $A$ n'est pas diagonalisable.
Tu devrais relire tes notes pour voir si elles correspondent bien à ce que tu as écrit.
Dans l'énoncé, on nous donne R = P divisé par le PGCD de P et P'.
Dans mes notes, il est écrit que le PGCD de $P(X)$ et $P'(X)$ est égal à $X^2 + X + 1$ qui est différent de 1, ce qui nous permet de dire que P est différent de R. A la base, je demandais justement en quoi le fait que P soit différent de R nous était utile pour montrer la diagonalisabilité de la matrice compagnon.
Ensuite, il est noté :
$R(X) = X^2 + X + 1$
(le calcul de R(A) vient juste après)
C'est donc pour cela que dans mon post, j'ai dit que R était défini comme le PGCD de P et P'. Je me demande donc finalement si le fait que $ R(X) = PGCD (P,P') = X^2 + X + 1 $ est une coïncidence.