Conjugaison de permutations
Bonjour
Soient $a = (1 5 7)(2 4 8 10)(3 9)$, $ b=(1 4 6 7 3 8 9 5 10)$, $ c =(1 2 3 4 5 6 7 8 9) \in \mathfrak S_{10}$
Je souhaiterais vérifier si $a$ et $c$ sont conjuguées et je procède par l'absurde.
Supposons que $a$ et $c$ soient conjuguées.
Donc $\exists \tau \in S_{10},\ \tau c \tau ^{-1} = a$
Or $c$ est d'ordre $9$ donc $\tau c \tau ^{-1} = (\tau(1), \tau(2)...\tau(9)) = a $ est d'ordre $9$, ce qui est absurde car $a$ est d'ordre $PPCM(3,4,2)=12$
Est-ce que mon raisonnement vous paraît correct ?
Je vous remercie.
Soient $a = (1 5 7)(2 4 8 10)(3 9)$, $ b=(1 4 6 7 3 8 9 5 10)$, $ c =(1 2 3 4 5 6 7 8 9) \in \mathfrak S_{10}$
Je souhaiterais vérifier si $a$ et $c$ sont conjuguées et je procède par l'absurde.
Supposons que $a$ et $c$ soient conjuguées.
Donc $\exists \tau \in S_{10},\ \tau c \tau ^{-1} = a$
Or $c$ est d'ordre $9$ donc $\tau c \tau ^{-1} = (\tau(1), \tau(2)...\tau(9)) = a $ est d'ordre $9$, ce qui est absurde car $a$ est d'ordre $PPCM(3,4,2)=12$
Est-ce que mon raisonnement vous paraît correct ?
Je vous remercie.
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Réponses
Et de manière générale, soit $\sigma, \sigma' \in S_n$ deux permutations. On considère leurs décompositions en cycles à supports disjoints et on note $d_1, d_2, \cdots$, $d'_1, d'_2, \cdots$ les longeurs des cycles en faisant en sorte que :
$$
d_1 \ge d_2 \ge \cdots \ge d_k, \qquad\qquad d'_1 \ge d'_2 \ge \cdots \ge d'_{k'}
$$
As tu une idée d'une condition nécessaire et suffisante sur ces longueurs de cycles pour que $\sigma, \sigma'$ soient conjuguées dans $S_n$ ?
Je ne suis pas sûr mais je pense qu'une condition nécessaire et suffisante serait que les longueurs$ \{d_1, ...d_k\}$ et
$\{d^{'}_1, ...d^{'}_{k^{'}}\}$forment des partitions de l'intervalle $[1,n]$ ?
Par ailleurs, pour vérifier la conjugaison de $b$ et $c$ je pars sur le même raisonnement :
Supposons que $b$ et $c$ soient conjuguées.
Donc $\exists \tau \in S_{10},\ \tau c \tau ^{-1} = b$
Or $c$ est d'ordre $9$ donc $\tau c \tau ^{-1} = (\tau(1), \tau(2)...\tau(9)) = b $ est d'ordre $9$.
Dans ce cas là il existe $9$ conjugaisons possibles de$ b$ et $c$
Je vous remercie
Est-ce que dans $S_{10}$ du point de vue de la conjugaison avec :
$\tau =(1 2 3 4 5 6 7 8 9) $
$\tau^{'}= (2 3 4 5 6 7 8 9 1) $
Est-ce que c'est la même chose ?
Merci à vous !
Comme tu as pu le voir, l'erreur d'inattention n'était que dans le titre :-D, mais j'apprécie ton assiduité.
Qu'est-ce que tu penses de ma démonstration pour la conjugaison entre b et c?
Merci beaucoup.
$$
\alpha (i, j, k, \cdots) \alpha^{-1} = (\alpha(i), \alpha(j), \alpha(k), \cdots)
$$
Ton avant dernier post. Je pense que nous ne nous sommes pas compris. Je note $d_1 \ge d_2 \ge \cdots \ge d_k$ les longueurs des cycles à supports disjoints de la première permutation $\sigma \in S_n$, de sorte que $d_1 + d_2 + \cdots + d_k = n$ i.e. il faut tenir compte des points fixes qui contribuent à des cycles de longueur $1$. Idem pour la seconde, mais pour l'instant il y a $k'$ cycles à supports disjoints pour $\sigma'$. Attention au prime sur le $k'$ qui ne se voit pas bien.
$\alpha \tau \alpha^{-1} = \tau^{'}$
Dans ce cas là je comprends bien que $\tau$ et $\tau^{'}$ soient conjuguées, et quelles représentent différentes permutations de $S_{10}$ et donc il y a 9 possibilités de conjugaison entre b et c de mon premier message, bien que concrètement, $\tau$ et $\tau^{'}$ renvoient vers les mêmes images des mêmes éléments de [1,n].
En ce qui concerne la condition nécessaire et suffisante, je sais que les cycles d'ordre $p \in [1,n]$ sont tous conjugués dans $S_{10}$.
Cela pousse à penser que la condition suffisante est que : $ k= k^{'} $ et $\forall i \in [1,k]: d_i=d'_i$.
Mais j'avoue que je n'ai pas pu pousser plus loin le raisonnement.
Aurais-tu des indices ?
Merci beaucoup Claude.
Je constate encore une fois que la communication n'est pas toujours facile. Essayons de reprendre de manière posée et en prenant le temps.
1) J'avoue que j'ai lu trop vite le post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1560222,1560236#msg-1560236. Dans ce post, $\tau = \tau'$ (OUI, OUI !) et du coup, on a du mal à comprendre ton discours concernant la conjugaison entre $\tau$ et $\tau'$. Tu dis ``je suis confus par rapport au nombre de conjugaisons ...etc..''. Et on peut même se demander quelle est la signification de la dernière phrase ``Est ce que c'est la même chose ?''. Quoi est la même chose que quoi ?
Pourquoi $\tau = \tau'$ ? Car il y a plusieurs manières d'écrire le MEME cycle. Par exemple :
$$
(1,2,3) = (2,3,1) = (3,1,2)
$$
Est ce que c'est OK ? Plusieurs manières d'écrire le même cycle (sans grand rapport avec la conjugaison). Il faut d'abord clarifier ce point 1).
2) Concernant ton dernier post : oui, la condition portant sur la suite des longueurs des cycles qui doit être la même (si on convient de la ranger de manière décroissante par exemple) est nécessaire et suffisante pour la conjugaison dans $S_n$. Mais je voulais juste te le signaler et c'est pour cela que j'avais utilisé ``As tu une idée ...etc..". Mais je ne sais pas si c'est utile de se lancer là-dedans pour toi. Tu as probablement d'autres choses à faire.
Dans un sens : si $\sigma' = \alpha \circ \sigma \circ \alpha^{-1}$, et si $\sigma = c_1 \circ c_2 \circ \cdots$ est la décomposition en cycles à supports disjoints de $\sigma$, alors celle de $\sigma'$ est $c'_1 \circ c'_2 \circ \cdots$ avec $c'_i = \alpha \circ c_i \circ \alpha^{-1}$. D'où la conservation des longueurs.
Dans l'autre sens, tu as évoqué la chose. En tout cas, ce qui est important, c'est d'avoir deviné la bonne condition.
1) Je suis rassuré de savoir que $\tau = \tau^{'}$, puisque les deux cycles $\tau$ et $ \tau^{'}$ sont deux représentations valides de la même permutation dans $S_{10}$.
Ce qui posait problème dans mon esprit c'est que grâce au trick plus haut:
$\tau c \tau^{-1} = (\tau(1), ...,\tau(9))$ alors que $\tau^{'} c \tau^{'-1} = (\tau^{'}(1), ...,\tau^{'}(9))$
En m'arrêtant à ce niveau, je pensais que ces deux conjugaisons étaient différentes. Ce qui est faux, ces deux conjugaisons donnent exactement le même résultat, à représentation près...
Oui maintenant c'est OK et du coup j'imagine pour répondre à ma question sur le nombre de choix possibles de $\tau $ tels que : $\tau^{'} c \tau^{'-1} = b$: Il en existe 9 possibilités données par : $ (\tau(1), ...,\tau(9)) = b$
2) Tu as très bien fait de me le signaler, je vais essayer de le démontrer
Je te remercie Claude pour ta patience et le temps que tu as m'accordé.
$$
\tau \circ c \circ \tau^{-1} = c
$$
Si tu mets la main dessus, tu pourras les compter.
Mais tu as probablement d'autres choses à faire.
AJOUT Prendre pour $c$ le cycle standard $(1,2, \cdots, n)$.
Je fais suite à ta question maintenant que j'ai plus de temps
La question est mettre la main sur cet ensemble: $F_c=\{ \tau \in S_n : \tau \circ c \circ \tau^{-1} = c \}$.
$S_n$ opère alors sur $c$ par conjugaison et $F_c$ serait alors le centraliseur de $c$. Je ne connais pas de méthodes pour déterminer le centraliseur d'une permutation (à part le fameux trick) mais j'ai lu quelque part que son cardinal est de $\prod_{i=1}^{n}k_i!i^{k_i}$, ce qui donnerait pour le cas que tu m'as proposé d'étudier:
$|F_c|= \prod_{i=1}^{n}k_i!i^{k_i} = 9!$ car la longueur du cycle unique de $c$ est $k_1=9$.
Je ne comprends pas. Intuitivement, j'ai tendance à ne pas compter les arrangements mais plutôt des translations et au bout de 9 translations on est sensés retomber sur le cycle initial $(1 2 3 4 5 6 7 8 9)$
Je te remercie pour ton aide.
Il y a 5 paragraphes dans ton (dernier) post. Et malheureusement, je ne comprends pas les paragraphes 3, 4, 5. Qui est $k_i$ ? Que vient faire $k_1 = 9$ i.e. qui a parlé de 9 ?
Peu importe, repartons à la base avec le cycle $c = (1, 2, \cdots, n)$ de $S_n$. Il s'agit de déterminer les $\tau \in S_n$ vérifiant $\tau \circ c \circ \tau^{-1} = c$. Ca, on est d'accord : c'est la question. Dit autrement, il s'agit de déterminer les $\tau \in S_n$ qui commutent au cycle $c$. C'est un sous-groupe qui contient visiblement le sous-groupe $\langle c\rangle = \{c^0, c^1, c^2, \cdots, c^{n-1}\}$ engendré par $c$.
Je ne le cache plus : il s'agit de montrer que l'on a l'égalité $\{\tau \in S_n \mid \tau \circ c \circ \tau^{-1} = c\} = \langle c\rangle$.
Je propose les étapes suivantes :
1) On remplace $(\{1, 2, \cdots, n\}, c)$ par $(\Z/n\Z, x \mapsto x + 1)$. I.e. à partir de maintenant, on travaille en considérant l'anneau $\Z/n\Z$ et la permutation $c$ de $\Z/n\Z$ définie par $x \mapsto x + 1$ (translation).
On dispose d'une permutation $\tau$ de $\Z/n\Z$ vérifiant $\tau \circ c = c \circ \tau$ i.e. $\tau(x+1) = \tau(x) + 1$ pour tout $x \in \Z/n\Z$. Il s'agit de montrer que $\tau$ est une puissance de $c$.
Est ce que tu comprends que ``c'est pareil'' que le problème initial ?
2) Que vaut $c^2$ au sens $c^2 : x \mapsto ?$. Et $c^3$ ? And so on...
3) A partir de $\tau(x+1) = \tau(x) + 1$, pourrais dire quelque chose de pertinent concernant $\tau(x + 2)$ ? Concernant $\tau(x + 3)$ ? Et pourquoi pas concernant $\tau(x + k)$. En principe, si tout va bien, en faisant $x=0$, tu as obtenu $\tau(k) = ...$, qui fournit la détermination complète de $\tau$. Et la réponse.
Au cas où tu serais déstabilisé par $(\Z/n\Z, x \mapsto x + 1)$, laisse béton. Personnellement, j'aime bien ce modèle pour pouvoir faire des calculs.
Je vais d'abord répondre à tes questions puis j'essaierai plus tard de m'expliquer pour les paragraphes 3, 4 et 5 quand j'aurai compris ce que tu es entrain de m'expliquer, mais tu pourrais aussi les ignorer si jamais cela ne fait aucun sens.
1) Oui je comprends bien que la translation sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ c'est "pareil" que notre problème initial.
2) Dans ce cas, $c^2: x \rightarrow x+2$ et plus généralement $c^k: x \rightarrow x+k$
3) Généralement aussi, soit $\tau \in \{\tau \in S_n: \tau \circ c \circ \tau^{-1} = c \}$
on a d'après ton modèle $\tau(x+k) = \tau(x)+k$
Pour les conséquences de ces réponses, je suis confus:
En combinant 2) et 3) pour $x=0$, on a $\tau(k) = \tau(0) + c^{k}(0)$
Par conséquent $\tau(k) - \tau(0) = c^{k}(0)$.
Ma confusion: Comment cela se traduirait-il en $\tau \in <c>$
Par ailleurs, il est évident que $ <c> \subset \{ \tau \in S_n: \tau \circ c \circ \tau^{-1} = c \}$
En définitive, tu as bien raison.
Je me demande à quel point on peut généraliser ce modèle?
[EDIT] Es-ce que $ <c> = \{ \tau \in S_n: \tau \circ c \circ \tau^{-1} = c \}$ est vraie pour n'importe quelle permutation $c$ de $S_n$?
Je te remercie pour tes lumières.
Tes deux dernières lignes : c'est vrai que pour tout groupe $G$ et tout $c \in G$, on a $\langle c\rangle \subseteq \{b \in G \mid b c b^{-1} = c\}$ ; une manière plus simple de le dire est que toute puissance de $c$ commute à $c$.
Merci de ton aide, je comprends maintenant.
Par rapport à ma dernière question, il y avait une erreur de copier-coller.
J'ai réédité mon message. je pensais surtout à l'autre inclusion qui est moins évidente:
Est-ce que le modèle que tu as proposé permet d'affirmer que $ \{ \tau \in S_n: \tau \circ c \circ \tau^{-1} = c \} \subset <c> $ pour toute permutation de $S_n$
Merci beaucoup!
Non, aucune raison d'avoir l'égalité de ta dernière ligne pour une permutation quelconque de $S_n$. Comme je suis un pinailleur de première, je note maintenant $\alpha$ cette permutation de $S_n$ (au lieu de $c$ qui évoquait cycle, sous-entendu, cycle de longueur $n$). Eh bien, une permutation de $S_n$ qui commute à $\alpha$ n'a aucune raison d'être une puissance de $\alpha$.
Prenons par exemple $n = 5$ et $\alpha$ la transposition $(1,2)$ de $S_5$. Alors, on voit facilement deux permutations de $S_5$ qui commutent à $\alpha$ ; d'une part $\alpha$ elle-même, et d'autre part $(3,4,5)$. Cette dernière n'est pas une puissance de $\alpha$.
On peut montrer que le centralisateur de $\alpha = (1,2)$ dans $S_5$ est le sous-groupe de $S_5$ engendré par $\alpha$ et $(3,4,5)$.
PS1 : étant donnée une permutation quelconque $\alpha$ de $S_n$, il est possible de déterminer son centralisateur (en fonction de la décomposition en cycles à supports disjoints de $\alpha$) mais cela nous emmènerait trop loin. Centralisateur de $\alpha$ = sous-groupe constitué des éléments qui commutent à $\alpha$.
PS2 : si la décomposition en cycles à supports disjoints de $\alpha$ possède $k_i$ cycles de longueur $i$, alors le centralisateur de $\alpha$ est un sous-groupe de cardinal $\prod_{i=1}^n k_i! \times i^{k_i}$. Du coup, je comprends mieux un paragraphe de ton avant dernier post. Par exemple, pour notre cycle $c$ de longueur $n$, on a $k_n=1$, les autres $k_i$ étant nuls. Et le cardinal du centralisateur est $1! \times n^1 = n$, ce qui est bien le cardinal de $\langle c\rangle$. Note que lorsqu'il n'y a pas de cycle de longueur $i$, on a $k_i = 0$ et la contribution de $i$ dans le produit est 1.
Merci aussi de m'avoir expliqué la formule du cardinal du centraliseur, c'est clair maintenant pour moi.
Bonne soirée!