Forme linéaire
dans Algèbre
Bonsoir !
J'ai un exercice, ET sa correction mais je ne comprends pas une étape, malheureusement cruciale.
Soit $B=(b_1,b_2,b_3)$ une base de $\R^3$ vérifiant : \[
\left\{
\begin{array}{r c l}
b_1 &=& e_1 - e_2\\
b_2 &=& e_1 + e_2 - e_3\\
b_3 &=& e_1-2e_3
\end{array}
\right.
\] où les $e_i$ sont les vecteurs de la base canonique.
On munit $\R^3$ du produit scalaire usuel.
Soit $f$ la forme linéaire sur $\R^3$ qui à $x=x_1 b_1+x_2 b_2+x_3 b_3$ associe $3x_1-x_2+2x_3$.
Déterminer le vecteur $a$ tel que $f(x)=(a,x)$ (où $(.,.)$ est le produit scalaire).
Voilà!
La correction établit le système suivant, après avoir posé $a=\alpha_1 b_1+\alpha_2 b_2+\alpha_3 b_3$ \[
\left\{
\begin{array}{r c l}
2\alpha_1 + \alpha_3 &=& 3\\
3\alpha_2 + 3\alpha_3 &=& -1\\
\alpha_1+3\alpha_2 + 5\alpha_3 &=& 2
\end{array}
\right.
\] Et finalement, ma question : d'où sort ce système ?
J'ai un exercice, ET sa correction mais je ne comprends pas une étape, malheureusement cruciale.
Soit $B=(b_1,b_2,b_3)$ une base de $\R^3$ vérifiant : \[
\left\{
\begin{array}{r c l}
b_1 &=& e_1 - e_2\\
b_2 &=& e_1 + e_2 - e_3\\
b_3 &=& e_1-2e_3
\end{array}
\right.
\] où les $e_i$ sont les vecteurs de la base canonique.
On munit $\R^3$ du produit scalaire usuel.
Soit $f$ la forme linéaire sur $\R^3$ qui à $x=x_1 b_1+x_2 b_2+x_3 b_3$ associe $3x_1-x_2+2x_3$.
Déterminer le vecteur $a$ tel que $f(x)=(a,x)$ (où $(.,.)$ est le produit scalaire).
Voilà!
La correction établit le système suivant, après avoir posé $a=\alpha_1 b_1+\alpha_2 b_2+\alpha_3 b_3$ \[
\left\{
\begin{array}{r c l}
2\alpha_1 + \alpha_3 &=& 3\\
3\alpha_2 + 3\alpha_3 &=& -1\\
\alpha_1+3\alpha_2 + 5\alpha_3 &=& 2
\end{array}
\right.
\] Et finalement, ma question : d'où sort ce système ?
Réponses
-
On remarque que $f(b_1)=3$. On explicite $\langle a,b_1\rangle=3$, ça nous donne la première équation du système. Je te laisse vérifier, et deviner d'où viennent les autres équations du système.
Remarque : une forme linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base. -
Les autres équations sont les images des autre vecteurs de la base. Pour l'autre question, je vais réfléchir, mais je me pose des questions sur le produit scalaire (usuel) ; doit il toujours s'exprimer dans la base canonique?
Et merci
-
Je ne comprends pas ta question.
Le produit scalaire usuel sur $\R^n$ est $(x,y)\mapsto \sum_{i=1}^n x_iy_i$. La base canonique de $R^n$ est une base orthonormée pour ce produit scalaire.
Que veux-tu dire par "toujours s'exprimer dans la base canonique" ? -
Je veux dire que $\sum_{i=1}^n x_iy_i$ est exprimé avec les coordonnées dans la base canonique, ou le résultat est indépendant du choix de la base?
-
Fais un essai...
-
Un élément de $\R^n$, c'est par définition un $n$-uple $x=(x_1,\ldots,x_n)$ de nombres réels. Le produit scalaire usuel sur $\R^n$ est défini comme $(x,y)\mapsto \sum_{i=1}^n x_iy_i$, sans qu'on parle de base canonique ou d'une quelconque autre base. Il ne dépend pas du choix d'une base.
La base canonique est une b.o.n. pour le produit scalaire usuel. Une base quelconque n'a aucune raison d'être une b.o.n. pour le produit scalaire usuel.
Vraiment, je ne comprends pas ton interrogation. -
Mais dans ce cas, quand je calcule $\langle a , b_1 \rangle$, je trouve comme résultat $\alpha_1$, car $a=\alpha_1 b_1+\alpha_2 b_2+\alpha_3 b_3$ et $b_1=...b_1$
-
Pas du tout ! On manipule des éléments de $\R^3$ :
$b_1=(1,-1,0)$, $b_2=(1,1,-1)$, $b_3=(1,0,-2)$,
$a=(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, -\alpha_1+\alpha_2, -\alpha_2-2\alpha_3)$
et il suffit d'appliquer la formule du produit scalaire usuel de deux éléments de $\R^3$ !
Il est clair par ailleurs que $(b_1,b_2,b_3)$ n'est pas une b.o.n. pour le produit scalaire usuel ! -
Ok je viens de comprendre merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 25
+16 Invités