Base d'Hermite

On considère la base orthonormée des fonctions d’Hermite:

$\phi_{\alpha}=\frac{(a_{\alpha}^*)}{\sqrt{\alpha!}}\frac{e^{\frac{-x^2}{2}}}{\pi^{\frac{1}{2}}}$ où $x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2$ et $\alpha\in\mathbb{N}^2$

où $a_{j}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-\partial_{x_j}+x_j)$

On note $u(q,p)=\frac{1}{L}\int_0^Lf_s(q,p)ds$ où pour tout $s\ge 0$, $f_s(q,p)=\exp\Big(-\frac 1 2\big(\big(\cosh(s)q+\sinh(s)p\big)^2+\big(\sinh(s)q+\cosh(s)p\big)^2\big)\Big)\in L^2(\mathbb{R}^2)$

On a

$||(-\partial^2_p+p^2)u||_{L^2(\mathbb{R}^2)}\le \frac{1}{L}\int_0^L||(-\partial^2_p+p^2)f_s||_{L^2(\mathbb{R}^2)} ds$


En utilisant la base d'Hermite, je veux calculer $ \frac{1}{L}\int_0^L||(-\partial^2_p+p^2)f_s||_{L^2(\mathbb{R}^2)} ds$
Pouvez vous m'aider s'il vous plait?