Division polynôme

Yann Le Gac · November 2017

Bonjour à tous,

Voilà, je veux prouver le fait suivant : Si $P$ est un polynôme à coefficients entiers qui admet une racine $n$-ième de l'unité pour racine et si $|P(\omega) | \leqslant 1$ pour toute racine $n$-ième de l'unité, alors $X^n-1$ divise $P$.

Il faudrait bien entendu prouver que toutes les racines $n$-ième de l'unité sont racines de $P$ mais je ne vois pas vraiment comment y arriver...

Une idée?

reuns · November 2017

Pour $(a,n) = 1$, $P(\zeta_n)=0$ ssi $P(\zeta_n^a)=0$ donne que $\Phi_n | P$ (le polynôme minimal de $\zeta_n= e^{2i \pi /n}$.

De plus $|\prod_{a=1,(a,n)=1}^n P(\zeta_d^a)| =| N_{\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}}(P(\zeta_d))| = \# \mathbb{Z}[\zeta_n]/P(\zeta_d)\mathbb{Z}[\zeta_n]$ qui est un entier.

Donc il suffit qu'on ait $\forall d| n,\ |\prod_{a=1,(a,n)=1}^n P(\zeta_d^a)| < 1$ pour avoir $P(\zeta_d) =0$ et $x^n-1 | P$.

Division polynôme

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 2