Division polynôme
dans Algèbre
Bonjour à tous,
Voilà, je veux prouver le fait suivant : Si $P$ est un polynôme à coefficients entiers qui admet une racine $n$-ième de l'unité pour racine et si $|P(\omega) | \leqslant 1$ pour toute racine $n$-ième de l'unité, alors $X^n-1$ divise $P$.
Il faudrait bien entendu prouver que toutes les racines $n$-ième de l'unité sont racines de $P$ mais je ne vois pas vraiment comment y arriver...
Une idée?
Voilà, je veux prouver le fait suivant : Si $P$ est un polynôme à coefficients entiers qui admet une racine $n$-ième de l'unité pour racine et si $|P(\omega) | \leqslant 1$ pour toute racine $n$-ième de l'unité, alors $X^n-1$ divise $P$.
Il faudrait bien entendu prouver que toutes les racines $n$-ième de l'unité sont racines de $P$ mais je ne vois pas vraiment comment y arriver...
Une idée?
Réponses
-
Pour $(a,n) = 1$, $P(\zeta_n)=0$ ssi $P(\zeta_n^a)=0$ donne que $\Phi_n | P$ (le polynôme minimal de $\zeta_n= e^{2i \pi /n}$.
De plus $|\prod_{a=1,(a,n)=1}^n P(\zeta_d^a)| =| N_{\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}}(P(\zeta_d))| = \# \mathbb{Z}[\zeta_n]/P(\zeta_d)\mathbb{Z}[\zeta_n]$ qui est un entier.
Donc il suffit qu'on ait $\forall d| n,\ |\prod_{a=1,(a,n)=1}^n P(\zeta_d^a)| < 1$ pour avoir $P(\zeta_d) =0$ et $x^n-1 | P$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres