Probabilités et algèbre bilinéaire

F.Programmer
F.Programmer
dans Algèbre
Bonjour , je suis un étudiant en ingénierie et je galère un peu avec ce cours de probabilités ,pourtant d'habitude je ne trouve pas autant de difficulté en modules d'algèbre , le problème est que je n'arrive pas a trouver une equivalence totale entre l'algèbre bilinéaire (forme bilinéaire , forme linéaire , formes quadratiques , orthogonalité etc..) et la théorie de probabilité (X variable aléatoire , loi de probabilité , fonctions caractéristique, covariance , espérance , indépendance de variable aléatoire etc..) je serais très reconnaissant si quelqu'un me liste une equivalence entre ces objets mathématiques , et ces notions.
Une autre question s'il vous plait est ce qu'un Vecteur X:(X1,X2,..Xn) de variables independantes implique que la famille (Xi ; i=<n) est libre?
Merci :-)

Réponses

  • P.
    P.
    Considerer la va $(X,Y)$ de $\R^2$ est considerer deux vecteurs du grand espace vectoriel des va reelles definies sur un certain espace de probabilite. Si $X$ et $Y$ sont independantes au sens des probabilites, elles sont generalement independantes au sens de l'algebre lineaire dans ce grand espace, mais pas toujours, car une va constante, en particulier nullle, est independante de n'importe quoi. En effet, pas independantes au sens de l'algebre lineaire signifie l'existence de nombres $a$ et $b$ non tous deux nuls tels que $aX+bY=0$ et donc $1=\mathbb{E}(e^{itaX})\mathbb{E}(e^{itbY})$ pour tout $t$, ce qui entraine $aX=bY=0$ Si $a\neq 0$ par exemple, $X$ est la va $0.$

    Bref ce n'est ni utile ni prudent de confondre ces deux sortes d'independance.
  • F.Programmer
    F.Programmer
    Merci pour votre réponse, mon but en fait est de comprendre pourquoi il n'y a pas équivalence entre vecteur gaussien et vecteur de composantes Xi variables normales pourquoi il faut que de plus que les Xi soit variables normales il faut qu'elles soient indépendantes pour qu'on ait un vecteur gaussien ? Est-ce qu'il n'y a aucune relation entre l'indépendance en algèbre et l'indépendance de variables aléatoires ? Et finalement est-ce que la loi X=0 peut être considérée comme loi normale ? Car d'après la définition de vecteur gaussien (X1..Xn) quel que soit A(a1,..ai) somme de (ai.Xi) donne une loi normale, en particulier pour A(0,0,0..) faut-il tendre l'écart type en infini ?

    Merci :)

    [En français on utilise des accents. Poirot]
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Peux-tu écrire la traduction de X et Y sont indépendants
    * en algèbre linéaire
    * en probabilités ?

    On voit tout de suite qu'on n'est pas dans le même genre de calcul.

    Cordialement.
  • F.Programmer
    F.Programmer
    Bonjour , en effet ce que je cherche au juste est une justification pourquoi il n'y a pas équivalence entre vecteur gaussien et toutes les composantes d'un vecteur X sont de loies normales , autrement dit pourquoi un vecteur dont toute les composantes suivent une loi normales ne peut être considéré gaussien que si les Xi (composantes ) sont des variables indépendantes , peux tu me démontrer d'ou vient la nécessité de l'indépendance des variables pour que le vecteur de composantes suivant une loi normales soit considéré gaussien?
    Merci
  • Poirot
    Poirot
    Bah là c'est juste une définition. Les vecteurs gaussiens jouissent de propriétés bien pratiques, qui seraient fausses si on ne demandait pas que les composantes soient des variables indépendantes.
  • P.
    P.
    Il faut s'entendre sur le mot Gaussien. Une definition parmi une demi douzaine d'autres equivalentes est de dire que la va $X=(X_1,\ldots,X_n)$ est gaussienne (centree) si il existe une matrice symetrique $\Sigma$ telle que $\mathbb{E}(e^{s_1X_1+\cdots+s_nX_n})=e^{s^T\Sigma s/2}.$ Mais en general si on sait seulement que chaque $X_i$ est gaussien cela n'entraine pas que $X$ soit gaussien, sauf par exemple si on sait de plus que les $X_i$ sont independantes
  • F.Programmer
    F.Programmer
    Merci pour votre réponse , pouvez vous me démontrer la dernière partie que vous venez d'aborder.
  • P.
    P.
    Tu prends $X\sim N(0,1)$ , une va $E$ independante de $X$ telle que $\Pr(E=\pm 1)=1/2$ et $Y=EX.$ Alors $(X,Y)$ n'est pas gaussien.
  • F.Programmer
    F.Programmer
    Merci pour votre réponse. En effet ce n'est pas une démonstration ça , un exemple d'un vecteur non Gaussien dont les composantes Xi sont dépendantes et suivent la loi normales ne veut pas dire que tout les vecteurs de composantes Xi suivant la loi normales et dépendantes ne sont pas guassiennes , je cherche une démonstration pour le cas général. Merci =)
  • aléa
    aléa
    On ne peut pas faire l'impossible. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes suivant $\mathcal{N}(0,1)$, et qu'on pose $Z=(X+Y)/\sqrt{2}$, alors $(X,Z)$ est gaussien, de coordonnées suivant $\mathcal{N}(0,1)$ et ne sont pas indépendantes.
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