Question posée par Cédric Villani

@Shah D'Ock: Pourquoi $x_n = 2^n 3^{n-1}$ ne marche pas en fait ? ($n\geq 2$) Parce que si $x_{i_1}+...+x_{i_n} = b^a $ ($i_1 < ... < i_n$) alors il a $av_2(b)$ zéros en base $2$, et $av_3(b)$ zéros en base $3$, seulement $x_{i_1}+...+x_{i_n}$ a $ i_1$ zéros en base $2$, et $i_1 -1$ en base $3$, de sorte que $a$ divise à la fois $i_1$ et $i_1 - 1$, ce qui est absurde si $a\neq 1$.

Soit ça marche, soit il y a quelque chose que je n'ai pas compris dans ton argument :-S

EDIT : je viens de voir ton nouveau message, on est donc d'accord

Le théorème de Lagrange dit que tout entier naturel est somme d'au plus 4 carrés.

Tout entier naturel est donc soit le carré d'un autre entier ou la somme de deux ou bien trois ou bien 4 carrés. Ce qui fait que l'ensemble A n'existe pas. Non ?
...

C'est fort possible.
...

Les coefficients binomiaux ne sont presque jamais des puissances sauf le cas qui donne $140^2$.
Les sommes distinctes d'entiers qui donnent des coefficients binomiaux répondent à la question.


ps: Ca ne marche pas non plus. Au temps pour moi. C'est l'infinitude de l'ensemble qui complique tout.
...

Ce que j'ai compris sur le fond de la démonstration de Shah d'Ock:

On considère la suite $(u_i)_{i\geq 1}$ définie pour tout $i\geq 1$ par:

$u_1=2^1\times 3^2$
$u_2=2^3\times 3^4$
$u_3=2^5\times 3^6$

$u_i=2^{2i-1}\times 3^{2i}$



Dans une somme $S$ de $u_i$ on considère le terme qui a la plus petite puissance de $2$ disons $2^m3^{m+1}$

$S=2^{m}T$

avec $T=3^{m+1}+\text{un nombre qui est divisible par 2, par 3}$

En particulier, $T$ n'est pas divisible par $2$ puisque $3^{m+1}$ n'est pas divisible par $2$

Donc la plus grande puissance de $2$ qui divise $S$ est $2^m$

Or, le terme de la somme $S$ qui possède la plus petite puissance de 2 comme facteur est aussi le terme qui possède la plus petite puissance de $3$ comme facteur.

Et par un raisonnement similaire à celui déjà effectué on montre que la plus grande puissance de $3$ qui divise $S$ est $3^{m+1}$.

Soient $p,q$ deux nombres premiers distincts qui divisent un entier $n$, si on élève $n$ à la puissance $m>1$, un entier, on a, si $p^s$ divise $n^m$ avec $p^{s+1}$ ne divise pas $n^m$ et si $q^t$ divise $n^m$ avec $q^{t+1}$ ne divise pas $n^m$ alors le plus grand commun diviseur de $s$ et $t$ est strictement plus grand que $1$

Or, $\text{PGCD(m,m+1)}=1$

donc $S$ ne peut pas être une puissance (autre que la puissance 1 d'un nombre) d'un entier naturel.

En espérant qu'il n'y pas (trop) d'erreurs.

Ce que je comprends:

Théorème de Hindman selon Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/IP_set#Hindman.27s_theorem

On a en particulier, si je traduis bien:

On colorie tous les entiers naturels avec $n$ différentes couleurs, chaque entier est colorié avec une seule de ces $n$ couleurs, alors il existe une couleur c et un ensemble infini D d'entiers naturels tous coloriés avec la couleur c, telle que toute somme d'éléments de D est un entier naturel colorié avec la couleur c.

Si je comprends bien:

On peut considérer la "couleur", "être une puissance" , c'est à dire, un entier $x$ est de cette "couleur" s'il existe un entier $y$ et un entier $k>1$ tels que $x=y^k$.

Et on peut considérer la "couleur": "ne pas être une puissance".

Il est clair qu'on a bien une partition de l'ensemble des entiers naturels en deux sous-ensembles.

La version simplifiée du théorème affirme qu'on a:

Ou bien, il existe un ensemble infini d'entiers naturels qui ne sont pas des puissances dont toutes les sommes finies ne sont pas des puissances.

Ou bien, il existe un ensemble infini d'entiers naturels qui sont des puissances dont toutes les sommes finies sont des puissances.

Je ne suis pas sûr qu'il soit plus facile de prouver qu'il n'existe pas d'ensemble infini composé de puissances dont les sommes finis sont aussi des puissances.

Par ailleurs, cela pourrait être vrai qu'il existe un tel ensemble infini car, si je comprends la conclusion du théorème de Hindman la couleur c n'est pas nécessairement unique, donc on pourrait aussi avoir en même temps qu'il existe un ensemble infini d'entiers naturels qui ne sont pas des puissances dont toutes les sommes finies ne sont pas des puissances

Si tu multiplies un nombre qui est une puissance de 3 par le nombre 3 tu obtiens un nombre qui est encore une puissance de 3.

Par ailleurs,

Je ne pense pas qu'il soit autorisé d'additionner un nombre cherché par lui-même et à fortiori de le multiplier par un entier plus grand que 2.

Si n est un entier naturel, il existe m entier naturel tel que mn est une puissance d'un entier naturel ($mn=k^t$ avec $k,t$ entiers naturels et $t>1$)

Je ne parviens pas à grand chose.

On reprend cet exemple de partition:

1) être une puissance de 3
2) être une puissance mais pas de 3
3) ne pas être du tout une puissance

Sauf erreur, le théorème de Hindman affirme qu'on peut trouver un ensemble infini $A$ d'entiers naturels qui vérifie:

1) ou bien, tout élément de $A$ est une puissance de $3$ et les sommes d'éléments distincts de $A$ sont aussi des puissances de $3$.
2) ou bien, tout élément de $A$ est une puissance mais pas de $3$ et il en est de même de toutes les sommes d'éléments distincts de $A$.
3) ou bien, tout élément de $A$ n'est pas une puissance et il est en de même de toutes les sommes d"éléments distincts de $A$.

On peut éliminer 1).

La somme de deux puissances de $3$ n'est jamais une puissance de $3$.
si $m\geq n>0$ sont des entiers alors $3^n+3^m=3^n\left(1+3^{m-n}\right)$
et le nombre entre parenthèse est multiple de $2$.

mais je ne vois pas comment éliminer 2)

En effet.
Ce théorème que je ne connaissais pas est incroyable. Encore merci pour la leçon.

Bonjour,

je ne connaissais pas non plus ce théorème: il semble lié à la théorie des "k-free sum sets". J'hésite à la traduire en bon français.
D'après ce que j'ai vu sur internet, il existe une démonstration purement combinatoire (mais très laborieuse semble-t-il) du théorème de Hindman (je crois que c'est celle donnée par Hindman lui même) et une, simplifiée, à base d'ultrafiltres.
...

Bonjour, c'est effectivement celle à base d'ultrafiltre qui est la plus naturelle et courte. Hindman est corollaire immediat du fait qu'il existe un ultrafiltre non principal U tel que U+U =U et l'existence de de U s'obtient en prenant un fermé minimal non vide stable par + dans l'espace des ultrafiltres qui est compact.

X+Y est l'ensemble des parties A telle que l'ensemble des entiers n vérifiant A+n dans X est dans Y où A+n désigne l'ensemble des p+n quand p parcourt A.

Ça marche pour n'importe quelle opération associative (la multiplication par exemple), la commutativité ne sert pas.

Bonne journée. Talal