Ordre lexicographique sur $\mathbb{R}^2$

jibounet · November 2017

Bonjour,

Je note $\leq^{\ast}$ l'ordre lexicographique sur $\mathbb{R}^2$. C'est-à-dire que : $$
\forall (x,y), (x', y') \in \mathbb{R}^2, \ (x,y) \leq^{\ast} (x', y') \; \Leftrightarrow \; (x < x') \; \text{ou} \; \big( \, x = x' \; \text{et} \; y \leq y' \, \big).
$$ Je souhaite montrer que $\mathbb{R}_{-}^{\ast} \times \mathbb{R}$ ne possède pas la propriété de la borne supérieure, c'est-à-dire que tout partie non vide majorée de cet ensemble ne possède pas nécessairement de borne sup. Cependant, je n'arrive pas à exhiber une partie de $\mathbb{R}_{-}^{\ast} \times \mathbb{R}$ non vide et majorée qui conviendrait.

Merci pour votre aide.

gerard0 · November 2017

Bonjour.

Que penses-tu de $\{1\}\times \mathbb R$ ?

NB : Pourquoi ne pas avoir conservé les (0,x) ??

jibounet · November 2017

En effet, si je prends $\Omega = \lbrace (-1, x), \; x \in \mathbb{R} \rbrace$, alors je peux dire que :

$$ \forall (-1,v) \in \Omega, \; (-1,v) \leq^{\ast} (-0.5, 1) $$

car $-1 < -0.5$. Donc la partie $\Omega$ est majorée. Mais je n'arrive pas à me convaincre que cette partie n'admet pas de borne sup. L'ensemble des majorants serait, il me semble, $]-1, 0[ \times \mathbb{R} \cup \lbrace -1 \rbrace \times \mathbb{R}$. Si on cherche le "plus petit des majorants", on a envie de le prendre dans $\lbrace -1 \rbrace \times \mathbb{R}$, qui n'est pas minorée. Est-ce ainsi qu'il faut procéder ?

Poirot · November 2017

Tu n'as pas du tout les bons majorants. Penses-tu que $(-1, 53\pi)$ soit un majorant de $\Omega$ par exemple ? Et il n'y a pas que ça qui pose problème.

jibounet · November 2017

J'ai été trop vite. Par contre, les éléments de $]-1, 0[ \times \mathbb{R}$ sont dans $A = \mathbb{R}_{-}^{\ast} \times \mathbb{R}$ et sont bien bien des majorants puisque si $(-1, x) \in \Omega$, alors :

$$ (-1, x) \leq^{\ast} (s, t) $$

avec $s \in ]-1,0[$.

Poirot · November 2017

Ah je n'avais pas vu que tu te restreignais à des parties de $\Bbb{R}^{-*}\times\Bbb{R}$. Dans ce cas tes majorants sont bons. Est-ce que ton ensemble de majorants admet un minimum ?

gerard0 · November 2017

Drôle d'idée d'avoir pris -1 au lieu de 1. De ce fait, tu ne prends pas l'ensemble des majorants (pour en trouver un plus petit élément). Il restera à traiter le cas des autres.

Cordialement.