Lignes et colonnes d'une matrice
Bonjour,
Je considère une matrice $A\in \mathcal M_n(\R)$ et je suppose que les colonnes de la matrice forment une famille liée.
Je sais alors que les lignes forment une famille liée.
Ma question est la suivante : si on connaît une relation qui lie les colonnes (par exemple $3C_1+2C_2-4C_3=0$) peut-on trouver explicitement une relation entre les lignes de $A$ ?
Merci d'avance pour vos réponses, Michal
Je considère une matrice $A\in \mathcal M_n(\R)$ et je suppose que les colonnes de la matrice forment une famille liée.
Je sais alors que les lignes forment une famille liée.
Ma question est la suivante : si on connaît une relation qui lie les colonnes (par exemple $3C_1+2C_2-4C_3=0$) peut-on trouver explicitement une relation entre les lignes de $A$ ?
Merci d'avance pour vos réponses, Michal
Réponses
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Bonjour.
pourquoi ne pas essayer de répondre toi-même à ta question ? Il est facile de regarder toutes les matrices $3\times 3$ telles que $3C_1+2C_2-4C_3=0$.
Bon travail personnel. -
Une relation qui lie les colonnes correspond à un élément non nul du noyau de la matrice. Une relation qui lie les lignes correspond un élément non nul du noyau de l'application transposée. Si je note $f$ l'endomorphisme associé dans $\mathbb R^n$ et $x$ un tel élément du noyau, on a $f(x)=0$. L'application transposée est $$^tf : v \mapsto (u \mapsto v(f(u))$$ de $(\mathbb R^n)^*$ dans lui-même. Si je complète $x$ en une base de $\mathbb R^n$ (disons $e_2, \dots, e_n)$ alors on forme une base $(f_1, \dots, f_n)$ à partir de $Vect(f(e_2), \dots, f(e_n))$ et d'un de ses supplémentaires, on a forcément un $f_i \not \in Vect(f(e_2), \dots, f(e_n))$ (cet espace engendré n'est bien sûr pas l'espace tout entier). L'application coordonnée par rapport à ce $f_i$ est alors dans le noyau de $^tf$, car si $y = \lambda x + \sum_{i=2}^n y_i e_i$, alors $$^tf(v)(y) = v(f(y)) = v(\lambda f(x) + \sum_{i=2}^n y_i f(e_i)) = v(\sum_{i=2}^n y_i f(e_i))=0.$$
Reste à traduire tout ça dans les bonnes bases (duales)... -
Bonjour
matrice à trois colonnes et n lignes $M= [C_1,C_2,C_3]$
et matrice colonne $V=\begin {pmatrix} 3 \\2 \\-4 \end {pmatrix}$
là tu as $MV=\begin {pmatrix} 0 \\0 \\0 \end {pmatrix}$
donc tu as $V^t.M^t=...$ à ton avis...
ici $V^t$ possède trois colonnes et $M^t$ possède trois lignes
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Bonjour!
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