Lignes et colonnes d'une matrice

Une relation qui lie les colonnes correspond à un élément non nul du noyau de la matrice. Une relation qui lie les lignes correspond un élément non nul du noyau de l'application transposée. Si je note $f$ l'endomorphisme associé dans $\mathbb R^n$ et $x$ un tel élément du noyau, on a $f(x)=0$. L'application transposée est $$^tf : v \mapsto (u \mapsto v(f(u))$$ de $(\mathbb R^n)^*$ dans lui-même. Si je complète $x$ en une base de $\mathbb R^n$ (disons $e_2, \dots, e_n)$ alors on forme une base $(f_1, \dots, f_n)$ à partir de $Vect(f(e_2), \dots, f(e_n))$ et d'un de ses supplémentaires, on a forcément un $f_i \not \in Vect(f(e_2), \dots, f(e_n))$ (cet espace engendré n'est bien sûr pas l'espace tout entier). L'application coordonnée par rapport à ce $f_i$ est alors dans le noyau de $^tf$, car si $y = \lambda x + \sum_{i=2}^n y_i e_i$, alors $$^tf(v)(y) = v(f(y)) = v(\lambda f(x) + \sum_{i=2}^n y_i f(e_i)) = v(\sum_{i=2}^n y_i f(e_i))=0.$$

Reste à traduire tout ça dans les bonnes bases (duales)...