Le groupe x.a et a.x

Steph_ntic
Steph_ntic
dans Algèbre
Bonsoir à tous... Je bloque sur un exercice je veux des informations sur une sorte de groupe.
Soit (G,.) un groupe et x appartient à G.

1-montrer que les applications gx(a)=x.a défini de G dans G et
dx(a) =a.x défini de G dans G sont bijective

2- en déduire qu'un sous ensemble non vide fini de G soit un sous groupe de (G,.), il faut et il suffit qu'il soit stable

3-donner un exemple de sous groupe infini d'un groupe infini (G,.) stable et qui ne soit pas un sous groupe de (G,.).

Merci d'avance

Réponses

  • AD
    AD
    Bonsoir Steph_ntic
    Pour le 2), Si $A$ est une partie stable de $G$, pour montrer que c'est un sous-groupe, il reste à montrer que $1\in A$ et tout élément de $A$ a un inverse.
    Mais si $x\in A$, on a $x\in G$ fini, donc l'ordre de $x$ est fini ... déduis-en les conséquences.
    Pour le 3), prends par exemple $G=\mathbb Z$ et $A=\mathbb N$.
    Alain
  • Steph_ntic
    Steph_ntic
    Pour le 1) je suis passé pas l'injectivité et la surjectivité
  • Steph_ntic
    Steph_ntic
    Et À sera de quelle forme... Axa=x.a ou Axa=a.x
  • Steph_ntic
    Steph_ntic
    Et vue que A est un sous ensemble non vide de G on peut juste montrer que x.x' appartient à A pour prouver que c'est un sous groupe... C'est possible ???
  • AD
    AD
    Bonjour Steph_ntic
    Si $A$ est non vide, soit $x\in A$. Quel est l'ordre de $x$ ? (fini ou infini ?)
    Alain
  • Steph_ntic
    Steph_ntic
    Fini puisque A est fini
  • AD
    AD
    Si $n$ est l'ordre de $x$, que peux-tu dire de $x^n$ et de $x^{n-1}$ ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Pour la question 3, il faut sans doute lire :
    Donner un exemple de partie infinie d'un groupe infini $(G,\cdot)$ stable et qui ne soit pas un sous-groupe de $(G,\cdot)$.
    NB : « stable », c'est un peu vague, il vaudrait mieux dire « stable par $\cdots$ » ou « stable par produit ». On considère aussi souvent la stabilité par passage à l'inverse ou par conjugaison.
  • Steph_ntic
    Steph_ntic
    AD je vois pas vraiment la relation entre xn et xn-1 je sais juste que n divise l'ordre de A par Lagrange
  • gerard0
    gerard0
    C'est quoi, l'ordre de x ?
  • Steph_ntic
    Steph_ntic
    Math coss je pense que c'est par la loi de G donc la multiplication
  • AD
    AD
    Steph
    $n$ est l'ordre de $x$. Qu'est-ce que cela veut dire ? (vois dans ton cours la définition de l'ordre d'un élément).
    Que vaut $x^n$ ?
    Alain
  • Steph_ntic
    Steph_ntic
    Gérard selon la supposition de AD c'est n
  • Steph_ntic
    Steph_ntic
    AD tout ce que je sais sur l''ordre x' est que l'ordre designe la cardinal c'est tout et après le prof du cours a juste donné le theoreme de Lagrange il a pas fut autre chose... J'suis vraiment désolé si je ne vous aide pas vraiment..

    Mais je pense que le fait que gx et dx soient des bijection ne soit pas un hasard mais je sais pas comment les utiliser...
  • AD
    AD
    Si en cours tu n'as pas noté la définition, va chercher sur internet la définition de l'ordre d'un élément !

    Edit (Tu dois trouver que c'est le plus petit entier $n$ tel que $x^n= \,? $)
  • BERETE Salifou
    BERETE Salifou
    Y a t-il une relation entre la bijection demandée et les dernières questions?
  • Steph_ntic
    Steph_ntic
    Bonsoir et grand merci à vous... Pour votre aide.... BERETE Salifou c'est ce que moi aussi j'essaie de savoir... Puisqu'on demande d'enduit donc nécessaire la bijectivité doit mener à quelque chose dans le reste des calcules
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