Caractères additifs et multiplicatifs

Bonjour tout le monde.

Afin d'avancer dans un exercice et presque de le conclure, je conjecture la chose suivante :

Soient $F$ un corps fini à $q=p^a$ éléments, $\chi$ un morphisme de groupes de $(F^{\times},\times)$ dans $(S^1,\times)$,

$\psi$ un morphisme de groupes de $(F,+)$ dans $(S^1,\times)$ et $F_n$ une extension de degré $n$ de $F$

alors $\displaystyle (\sum_{x \in F} \chi(x)\psi(x))^n=\displaystyle \sum_{x \in F_n} \chi(Norm(x))\psi(Tr(x))$.

Ici, les applications norme et trace sont vis-à-vis de $F_n$ comme extension de $F$.

J'arrive à obtenir une partie de la somme $\displaystyle \sum_{x \in F_n} \chi(Norm(x))\psi(Tr(x))$,

partie qui est $\displaystyle \sum_{x \in F} \chi(Norm(x))\psi(Tr(x))$

en effet, $\displaystyle \sum_{x \in F} (\chi(x)\psi(x))^n=\displaystyle \sum_{x \in F} \chi(x)^n\psi(x)^n=\sum_{x \in F} \chi(x^n)\psi(nx)=\displaystyle \sum_{x \in F} \chi(Norm(x))\psi(Tr(x))$ puisque $x \in F$

mais pour les autres termes ...