Le nombre de $3$-Sylow divise $5$ et est congru à $1$ modulo $3$, il n'y en a donc qu'un; il est distingué, je le note $S_3$.
Alors $G/S_3 \simeq \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ et donc la suite exacte $1\to S_3\to G \to G/S_3 \to 1$ se scinde par le lemme de Cauchy, de sorte que $G$ est un produit semi-direct de $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ et $S_3$. Seulement, $S_3$ est d'ordre $9=3^2$, et est donc $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ ou $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2$. Dans le premier cas, le cardinal de son groupe d'automorphismes est $\varphi(9)= 6$ qui est premier avec $5$, et dans le second, c'est $(3^2-3)(3^2-1)$ (cardinal de $GL_2(\mathbb{F}_3)$) c'est à dire quelque chose de premier avec $5$. Le produit semi-direct est donc trivial, i.e. un produit direct, de sorte que $G$ est abélien.
On a $45 = 3^2 \times 5$. Deux remarques pour faire avancer le schmilblick
$$
[d \mid 9 \hbox { et } d \equiv 1 \bmod 5] \Rightarrow d = 1, \qquad\qquad
[d \mid 5 \hbox { et } d \equiv 1 \bmod 3] \Rightarrow d = 1
$$
Parfait. Il ne reste plus qu'à répondre à la deuxième question de Yannguyen.
Le treillis de $C_{45}$ $$
\xymatrix{
&\boxed{C_{45}} \ar@{-}[ddl] \ar@{-}[dr] &&&{\bf 45} \\
&&\boxed{C_{15}} \ar@{-}[dddl] \ar@{-}[ddr] &&{\bf 15} \\
\boxed{C_{9}} \ar@{-}[ddr] &&&&{\bf 9} \\
&&&\boxed{C_{5}} \ar@{-}[ddl] &{\bf 5} \\
&\boxed{C_{3}} \ar@{-}[dr] &&&{\bf 3} \\
&&\boxed{\{1\}} &&{\bf 1}
}$$ et le treillis de $C_{15}\times C_3$ $$
\xymatrix{
&&\boxed{C_{15}\!\!\!\times\!\! C_3} \ar@{-}@/_2.5pc/[ddll] \ar@{-}[dl] \ar@{-}[d] \ar@{-}[dr]\ar@{-}[drr] &&\hphantom{\boxed{C_{15}\!\!\!\times\!\! C_3}}&&{\bf 45} \\
&\boxed{C_{15}} \ar@{-}[ddd] \ar@{-}[ddrrrr]
&\boxed{C_{15}} \ar@{-}[ddd] \ar@{-}[ddrrr]
&\boxed{C_{15}} \ar@{-}[ddd] \ar@{-}[ddrr]
&\boxed{C_{15}} \ar@{-}[ddd] \ar@{-}[ddr] &&{\bf 15} \\
\boxed{C_{3}^{\,2}} \ar@{-}[ddr] \ar@{-}[ddrr] \ar@{-}[ddrrr] \ar@{-}[ddrrrr] &&&&&&{\bf 9} \\
&&&&&\boxed{C_{5}} \ar@{-}@/^2.5pc/[ddll] &{\bf 5} \\
&\boxed{C_{3}} \ar@{-}[drr]
&\boxed{C_{3}} \ar@{-}[dr]
&\boxed{C_{3}} \ar@{-}[d]
&\boxed{C_{3}} \ar@{-}[dl] &&{\bf 3} \\
&&&\boxed{\{1\}} &&&{\bf 1}
}$$ Comme ces groupes sont commutatifs, tous les sous-groupes sont distingués (ici encadrés).
On remarquera que les $3$-Sylow et $5$-Sylow sont les uniques sous-groupes de leur ordre, donc caractéristiques dans $G$ (un automorphisme de $G$ envoie ce sous-groupe sur un sous-groupe de même ordre, donc sur lui-même).
Sur le dernier treillis, on remarquera que le sous-treillis compris entre $C_5$ et le groupe $G=C_{15}\times C_3$ est "le même" que le sous-treillis entre $\{1\}$ et $C_3^{\,2}$, cela est l'expression du théorème du treillis-quotient ( http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1404450,1405322#msg-1405322 ) qui fait que le treillis du quotient $G/C_5 \simeq C_3^{\,2}$ se retrouve comme sous-treillis des sous-groupes contenant $C_5$.
Alain
Réponses
Dresser alors les différents treillis des sous-groupes des groupes d'ordre 45.
Yann
Le nombre de $3$-Sylow divise $5$ et est congru à $1$ modulo $3$, il n'y en a donc qu'un; il est distingué, je le note $S_3$.
Alors $G/S_3 \simeq \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ et donc la suite exacte $1\to S_3\to G \to G/S_3 \to 1$ se scinde par le lemme de Cauchy, de sorte que $G$ est un produit semi-direct de $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ et $S_3$. Seulement, $S_3$ est d'ordre $9=3^2$, et est donc $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ ou $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2$. Dans le premier cas, le cardinal de son groupe d'automorphismes est $\varphi(9)= 6$ qui est premier avec $5$, et dans le second, c'est $(3^2-3)(3^2-1)$ (cardinal de $GL_2(\mathbb{F}_3)$) c'est à dire quelque chose de premier avec $5$. Le produit semi-direct est donc trivial, i.e. un produit direct, de sorte que $G$ est abélien.
$$
[d \mid 9 \hbox { et } d \equiv 1 \bmod 5] \Rightarrow d = 1, \qquad\qquad
[d \mid 5 \hbox { et } d \equiv 1 \bmod 3] \Rightarrow d = 1
$$
Le treillis de $C_{45}$ $$
\xymatrix{
&\boxed{C_{45}} \ar@{-}[ddl] \ar@{-}[dr] &&&{\bf 45} \\
&&\boxed{C_{15}} \ar@{-}[dddl] \ar@{-}[ddr] &&{\bf 15} \\
\boxed{C_{9}} \ar@{-}[ddr] &&&&{\bf 9} \\
&&&\boxed{C_{5}} \ar@{-}[ddl] &{\bf 5} \\
&\boxed{C_{3}} \ar@{-}[dr] &&&{\bf 3} \\
&&\boxed{\{1\}} &&{\bf 1}
}$$ et le treillis de $C_{15}\times C_3$ $$
\xymatrix{
&&\boxed{C_{15}\!\!\!\times\!\! C_3} \ar@{-}@/_2.5pc/[ddll] \ar@{-}[dl] \ar@{-}[d] \ar@{-}[dr]\ar@{-}[drr] &&\hphantom{\boxed{C_{15}\!\!\!\times\!\! C_3}}&&{\bf 45} \\
&\boxed{C_{15}} \ar@{-}[ddd] \ar@{-}[ddrrrr]
&\boxed{C_{15}} \ar@{-}[ddd] \ar@{-}[ddrrr]
&\boxed{C_{15}} \ar@{-}[ddd] \ar@{-}[ddrr]
&\boxed{C_{15}} \ar@{-}[ddd] \ar@{-}[ddr] &&{\bf 15} \\
\boxed{C_{3}^{\,2}} \ar@{-}[ddr] \ar@{-}[ddrr] \ar@{-}[ddrrr] \ar@{-}[ddrrrr] &&&&&&{\bf 9} \\
&&&&&\boxed{C_{5}} \ar@{-}@/^2.5pc/[ddll] &{\bf 5} \\
&\boxed{C_{3}} \ar@{-}[drr]
&\boxed{C_{3}} \ar@{-}[dr]
&\boxed{C_{3}} \ar@{-}[d]
&\boxed{C_{3}} \ar@{-}[dl] &&{\bf 3} \\
&&&\boxed{\{1\}} &&&{\bf 1}
}$$ Comme ces groupes sont commutatifs, tous les sous-groupes sont distingués (ici encadrés).
On remarquera que les $3$-Sylow et $5$-Sylow sont les uniques sous-groupes de leur ordre, donc caractéristiques dans $G$ (un automorphisme de $G$ envoie ce sous-groupe sur un sous-groupe de même ordre, donc sur lui-même).
Sur le dernier treillis, on remarquera que le sous-treillis compris entre $C_5$ et le groupe $G=C_{15}\times C_3$ est "le même" que le sous-treillis entre $\{1\}$ et $C_3^{\,2}$, cela est l'expression du théorème du treillis-quotient ( http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1404450,1405322#msg-1405322 ) qui fait que le treillis du quotient $G/C_5 \simeq C_3^{\,2}$ se retrouve comme sous-treillis des sous-groupes contenant $C_5$.
Alain