Composition par passage au quotient

Ce que tu veux démontrer:

Soient E,F,G des espaces topologiques

$f_1,f_2:E\rightarrow F$ et $g_1,g_2:F\rightarrow G$ des applications continues.

On suppose $f_1$ et $f_2$ homotopes et $g_1$ et $g_2$ homotopes d'autre part.

alors $g_1\circ f_1$ et $g_2\circ f_2$ sont homotopes.

PS:
Il me semble que c'est du même tonneau que montrer que le groupe fondamental d'un espace topologique connexe par arcs est un groupe. Celui-ci est défini comme un ensemble de classes d'équivalences de lacets (fonction continue $\varphi$ de $[0,1]$ dans l'espace topologique considéré telle que $\varphi(0)=\varphi(1)$)