Complément de Schur défini positif
Je m'en remets vers vous pour chercher de l'aide sur une question liée au complément de Schur.
J'ai une matrice $A$ décomposée par blocs de sous-matrices cette manière là :
$A =
\begin{pmatrix}
B & C^T \\
C & D
\end{pmatrix}$
Je cherche alors à prouver que : A est définie positive équivaut à
$S = D - CB^{-1}C^T$ est définie positive (complément de Schur).
Merci d'avance pour votre aide !
J'ai une matrice $A$ décomposée par blocs de sous-matrices cette manière là :
$A =
\begin{pmatrix}
B & C^T \\
C & D
\end{pmatrix}$
Je cherche alors à prouver que : A est définie positive équivaut à
$S = D - CB^{-1}C^T$ est définie positive (complément de Schur).
Merci d'avance pour votre aide !
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Réponses
c'est $X^*AX\ge 0$ si et seulement si $A\ge 0$.
J'avais (jadis) fait un petit topo sur le complément de Schur : lien.
On retrouve les idées évoquées précédemment.
Bien cordialement,
Ritchie
Dans le lien que j'ai indiqué, il est supposé (dans le corollaire 3) que $B$ (avec les notations de ce fil) est définie positive. C'est effectivement nécessaire.
Bien cordialement,
Ritchie