Une curiosité algébrique

$\def\AA{\Z[\sqrt 6]} \def\Astar{\Z[\sqrt 6]^\times} \def\Aplus{\Z[\sqrt 6]^\times_+} \def\sq{\sqrt 6} $
J'essayes de comprendre la structure du groupe des unités de l'anneau $\AA$ pour l'exercice. L'idée est de mettre en oeuvre une version multiplicative des " sous-groupes discrets de $\R$ ". Lien : ici et là.

Notons $\Astar := \{ z \in \AA \mid |N(z)|= 1 \}$ le groupe des inversibles de $\AA$ et notons également $\Aplus := \Astar \cap [ z > 1]$.

Alors $\Astar$ est l'ensemble des solutions entières d'une des deux équations $x^2-6y^2=1$ et $x^2-6y^2=-1$. On constate, par réduction modulo $3$, que la seconde est impossible.

Ainsi : $\Astar= \{ z \in \AA \mid N(z)= 1 \}$.

Soit $z \in \Aplus$ que l'on écrit $z=x+y \sq$. Alors on a : ${1 \over z} = x-y \sq$ et également : $0 < {1 \over z} < 1$. D'où : $2x > 1$ et comme $x$ est entier : $x \geq 1$. De l'inégalité $x- y \sq < 1$, on tire : $y \sq > x-1 \geq 0$ et par suite $y \geq 1$. En testant, on trouve $z \geq 5+2 \sq = : \epsilon $. En particulier, $\epsilon$ est l'élément minimal de $\Aplus$.

Soit $z \in \Aplus$, comme la suite $z_n := \epsilon^n$ est strictement croissante et non bornée, il existe un entier $n$ tel que :
$ z_n < z \leq z_{n+1}$. D'où : $ 1 < z \epsilon^{-n} \leq \epsilon$. Comme $z \epsilon^{-n} \in \Aplus$ et $\epsilon$ est minimal, on obtient : $z = \epsilon^{n+1}$.

Ainsi $\Aplus = \{ \epsilon^n \mid n \in \N^* \}$.

Maintenant, soit $z \in \Astar$, tel que $z \ne \pm 1$ alors il existe un unique nombre $Z$ de l'ensemble $\{ z ,{ 1 \over z}, -z ,-{ 1 \over z} \}$ vérifiant $Z \in \Aplus$. On en déduit que :
$$ \Astar := \{ \pm \epsilon^n \mid n \in \Z \}$$

Alors dans le texte que j'ai trouvé, on parle de fractions continues pour trouver $\epsilon$. Je dois lire un peu. Mais je n'ai pas répondu a tes questions et je pense que Reuns à déjà expliqué les $2$ décompositions de $6$ que tu proposes.

Pour le côté Euclidien, pas d'idée.

@math coss : Pour la norme, il faut considérer $| z \overline z |$ pour la "norme". Et effectivement, ça passe sans problème pour $\Z[ \sqrt{ 2}]$.
Soit $ z = x+y \sqrt 2 \in \Q[ \sqrt 2]$, en prenant $a$ et $b$ les entiers les plus proche de $x$ et $y$. On a :
$$
\mid (x-a)^2- 2(y -b)^2 \mid \leq {1 \over 4} + {2 \over 4} = {3 \over 4} < 1
$$
Mais l'argument ne tiens plus pour $\sqrt{6}$.

Niveau référence : j'ai trouvé un texte où l'auteur annonce une démonstration.

Je n'ai pas encore lu.

@LOU
Je ne vois pas pourquoi tu dis ``bricolage''. Je n'ai pas encore vérifié que cela fonctionne mais il me semble que cela a une bonne tête. Est ce que tu as utilisé un dessin (comme à la page 22 de la thèse pointée) ?

Serais tu capable de faire plus en montrant que $M(\Q(\sqrt 6)) \le 3/4$. Rappel : si $K$ est un corps de nombres, poour $x \in K$, on définit le minimum euclidien en $x$ par :
$$
M_K(x) = \inf \{ | N_{K/\Q}(x-y)| \mid y \in \mathcal O_K \}
$$
C'est un inf qui est atteint (cf la proposition 1.10 de la thèse). Si bien que $\mathcal O_K$ est euclidien pour la valeur absolue de la norme si et seulement si $M_K(x) < 1$ pour tout $x \in K$. On introduit :
$$
M(K) = \sup \{ M_K(x) \mid x \in K \}
$$
Et ce qui m'impressionne beaucoup, c'est qu'il y a un algorithme pour calculer $M(K)$. Avec la surprise expérimentale (si je comprends bien) concernant le caractère rationnel (conjectural) de $M(K)$, cf la thèse.

Thèse de Cerri : https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011151/document

Bonjour Claude,


Pour répondre à ta toute première question, j' ai certes utilisé un dessin dont le cadre était un "domaine fondamental"
( un carré $ [0 ; 1] \times[0 ; 1$]) , mais comme je ne recherchais pas la valeur de $M (K)$, il était nettement plus rudimentaire que celui de la page 22 et ne contenait pas d'hyperbole.
Amicalement,