Plus petit anneau

Comme le sous-entend Rescassol, il faut un $0$ (neutre pour l'addition) et un $1$ (neutre pour la multiplication). Si $0=1$, alors pour tout élément $x$ de l'anneau, on a : $0x+0x=(0+0)x=0x$ donc, par soustraction, $0x=0$ ; on en déduit que $x=1x=0x=0$. Autrement dit, si $0=1$, alors l'anneau ne contient qu'un seul élément. Si l'anneau contient deux éléments distincts, ce sont donc nécessairement $0$ et $1$ et on n'a guère le choix pour les opérations : $0+0=0$, $1+0=1=0+1$, $1+1=0$ parce que $1+1\ne1$ ($1+1=1$ entraînerait $1=0$) ; d'autre part, $0\cdot0=0\cdot1=1\cdot0=0$ (déjà vu) et $1\cdot1=1$ (car $1$ est neutre).